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专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题

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RB

A

6122图

6121图F合

F1

F2

v

专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题 【学习目标】 1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点． 2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心． 3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法． 4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动． 【教材解读】 1. 竖直平面内的圆周运动的特点 竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动． 2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果 做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果．

12

FFF 合产生向心加速度产生切线方向加速度半径方向的分力改变速度的方向

切线方向的分力改变速度的大小 因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1提供向心力． 3. 变速圆周运动中的正交分解 应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？） 4. 处理竖直平面内圆周运动的方法 如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或

沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度vgR；在杆（或管）的约束下，最高点速度v ≥ 0． 【案例剖析】 例1．如图6-12-2所示，质量为m的小球自半径为R的光滑半圆形轨道最高点A处由静止滑下，当滑至最低点B时轨道对小球的支持力是多大？ 解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒． 212mgRmv由机械能守恒定律得:

2 , 3vBFmgmFmgR在点,根据牛顿第二定律有:由可解得

例2．如图6-12-3所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴质量为m的小球，在O点正下方距离O点d处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d应满足什么条件？ 解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周的最高点，设小球运动的轨道半径为R，则小球在最高点的速度应满足：vgR．

21 22mglmgRmv根据机械能定律有:

由此可解得：R ≤ 0.4l．所以，d满足的条件是：0.6l ≤ d < l． 例3．风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l的细线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图6-12-4所示），当小球静止在A点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求： ⑴ 水平风力的大小； ⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，小球的速度最大？最大速度是多少？ 解析： ⑴参照图6-12-5，根据平衡知识，可求得风力大小F = mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cosα． ⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图6-12-6所示的坐标系：在x轴方向，当Fcosβ >mgsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ 时，小球速度在减小．当Fcosβ = mgsinβ时小球的速度达到最大，将第⑴问中的F代入即可解得：β = α．

21sin(1cos)2Flmglmv根据动能定理得:

2(1cos)tanglFmgvcos将代入可解得

思考：⑴小球静止在A点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ 如图6-12-7所示，小球必须能通过B点才能做完整的圆周运动，设通过B点时小球的最小速度为vmin，则此时绳上拉力恰好为零． 222min

min

11 2coscos225cosvmgmgmlmvmvlglv(1)(2)

由(1)(2)可解得: ⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．

风A6124图

lOm

d

6123图

AmgF

6125图

x

y

Fmg6126图

Av

mg

FB

6127图分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动． 【知识链接】 飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲状态往上拉时（图6-12-8），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血． 【目标达成】 1．如图6-12-9所示，小球在竖直放置的光滑圆弧轨道内侧做圆周运动，下列关于小球加速度方向的说法中，正确的是（ ） A. 一定指向圆心 B. 一定不指向圆心 C. 只有在最高点和最低点指向圆心 D. 除最高点和最低点外，肯定不指向圆心 解析：对小球受力分析可知，只有小球处于最高点和最低点时，弹力与重力的合力才指向圆心，其他位置均不指向圆心，故选项C、D正确． 2．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为98m的圆周上每隔一定位置固定一座舱，每座舱有6个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断下列说法中正确的是（ ） A. 每时每刻，乘客受到的合力都不为零 B. 每个乘客都在做加速度为零的匀速运动 C. 乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变 D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变 解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，选项A正确、B错误．将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压力小于人的重力，故选项C错误．在运动过程中，人动能始终不变，而势能在变化，所以选项D错误．故本题正确选项为A． 3．如图6-12-10所示，细线长为l，一端固定在O点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为a，线的拉力为F，则它们之间的关系为（ ） A． l越长，a越大，F也越大 B． l越长，a越大，F不变 C． l越长，F越大，a不变 D． a、F均不随l的变化而变化 解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg，a = 2g，故选项D正确． 4．如图6-12-11所示，将完全相同的两个小球A、B，用长0.8m的细线悬于以v = 4m/s向右匀速行驶的车厢顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，车厢突然停止，此时前后悬线的拉力之比为（ ） A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3

O61210图

6129图

61211图v

6128图D. 1：4 解析：车厢停止时，前面小球也静止，故拉力等于重力；后面小球由于惯性开始做圆周运动，根据牛顿第二定律可解得此时绳上拉力是其重力的3倍，故选项C正确． 5．如图6-12-12所示，质量为m的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为mg，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ） A．3mg B．5mg C．7mg D．9mg

解析：在最高点：21vmgmgmR，在最低点：22vFmgmR

由机械能守恒定律：222111222mgRmvmv；由此可得正确选项为C． 6．如图6-12-13所示，从光滑的1/4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1和R2应满足的关系是（ ）

2121

2121

A. B.2C. D. 2RRRRRRRR 解析：为使小物块不沿半球面下滑，则它在球顶端的速度2vgR，由机械能守恒定律可得：2112mgRmv，联立解得D为正确选项． 7．童非是我国著名的体操运动员，首次在单杠项目上实现了“单臂大回环”，即用一只手抓住单杠，伸展身体以单杠为轴做圆周运动．假设童非的质量为65kg，那么，在完成“单臂大回环”的过程中，童非的单臂至少要能够承受 N的力（g取10m/s2） 解析：设童非做圆周运动的轨道半径为R（R为其重心离转轴的距离），则在最高点，其最小速度可为0．

在最低点：2vFmgmR

由机械能守恒定律：2122mgRmv，由此解得F = 5mg=3250N． 8．如图6-12-14所示，支架质量为M，放在水平地面上，转轴O处用长 l 的细绳悬挂质量为m的小球． ⑴ 把小球拉起到细绳水平的位置，然后释放小球，当它运动到最低点时地面对支架的支持力多大？ ⑵若小球在竖直平面内摆动到最高点时，支架恰对地面无压力，则小球在最高点的速度是多大？

61212图OmM

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圆周运动与能量的综合问题 专题卷(全国通用)

圆周运动与能量的综合问题 专题卷(全国通用)

物理二轮 圆周运动与能量的综合问题 专题卷（全国通用）1．如图1所示，长为L 的轻杆一端固定质量为m 的小球，另一端有固定转轴O 。

现使小球在竖直平面内做圆周运动，P 为圆周轨道的最高点，若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为92gL ，则以下判断中正确的是( )图1A ．小球不能到达P 点B ．小球到达P 点时的速度大于gLC ．小球能到达P 点，且在P 点受到轻杆向上的弹力D ．小球能到达P 点，且在P 点受到轻杆向下的弹力 解析：选C 由机械能守恒得12m ⎝⎛⎭⎫92gL 2＝mg ·2L ＋12m v P 2，解得v P ＝12gL 。

由轻杆模型可得，0<v P <gL 时，杆对小球有竖直向上的支持力，故C 正确。

2.如图2所示是半径为r 的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O 处于同一水平面的A 点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动。

要使小车不脱离轨道，则在A 处使小车获得竖直向下的最小初速度应为( )图2A.7grB.5grC.3grD.2gr解析：选C 小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg ＝m v 2r 。

小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒。

设小车在A 处获得的最小初速度为v A ，由机械能守恒定律得12m v A 2＝mgr ＋12m v 2，解得v A ＝3gr 。

故选项C 正确。

3．(多选)如图3所示，半径为R 的14光滑圆弧槽固定在小车上，有一小球静止在圆弧槽的最低点。

小车和小球一起以速度v 向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止后，小球上升的高度可能( )图3A ．等于v 22gB ．大于v 22gC ．小于v 22gD ．与小车的速度v 无关解析：选AC 设小球的质量为m ，上升的高度为h 。

如果v 较小，小车停止运动后， 小球还没有脱离圆弧槽，则根据机械能守恒定律有12m v 2＝mgh ，可得h ＝v 22g ，选项A 正确；如果v 较大，小车停止运动后，小球能够跑出圆弧槽，那么小球出了圆弧槽后将做斜抛运动，当小球到达最高点时，其还有水平方向上的速度，所以12m v 2＞mgh ，可得h ＜v 22g ，选项C 正确。

圆周运动综合问题

圆周运动综合问题


审题模板 解析 (1)对物块，由静止开始做匀加速直线运动，由牛顿第
二定律和运动学公式有 μmg＝ma 1 v0 ＝2a·L 2
2
解得 μ＝0.15 (2)物块刚滑过 C 点时的速度 vC＝vB＝3 m/s
vC 2 在 C 点，由牛顿第二定律有 N－mg＝m R 解得 N＝32.5 N 由牛顿第三定律知，物块对轨道的压力大小为 32.5 N，方向 竖直向下．
由(1)问可知，物块在传送带上减速运小速度为 vA′ 由运动学公式有 vB′2－vA′2＝－2aL 解得 vA′＝ 38 m/s 答案 (1)0.15 (2)32.5 N，方向竖直向下
(3) 38 m/s
审题模板 【思维提升】
1．物块在传送带上的运动，当初速度为零或初速度小于 3 m/s 时， 物块先做加速运动， 后做匀速运动． 当初速度大于 3 m/s 时，物块做减速运动． 2．物块通过最高点的条件是 vD≥ gR，要使物块通过最高点， 必须在传送带上做减速运动，才有可能到 C 点时速度大于 等于 20 m/s.
(1)B 点与抛出点 A 正下方的水平距离 x ； （2）圆弧 BC 段所对的圆心角θ ； (3)小球滑到 C 点时对圆轨道的压力．
解析
(1)设小球做平抛运动到达B点的时间为t，由平抛运
1 动规律知，l＝ gt2，x＝v0t， 2 联立解得x＝2l.
(2)设小球到达 B 点时竖直分速度为 vy.vy 2＝2gl， tan θ＝vy/v0＝1，解得 θ＝45° .
考题3 作业
为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的
设想，取一个与水平方向夹角为 37°、长为 L ＝2.0 m 的粗 糙倾斜轨道 AB ，通过水平轨道 BC 与竖直圆轨道相连， 出 口为水平轨道 DE ，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的． 其 中 AB 与 BC 轨道以微小圆弧相接，如图 8 所示，一个小 物块以初速度 v 0＝4.0 m/s，从某一个高度水平抛出，到 A 点时速度方向恰沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物 块与倾斜轨道的动摩擦因数μ ＝0.5 (g 取 10 m/s2，sin 37°＝0.6， cos 37°＝ 0.8)求：
专题十四：竖直平面内的圆周运动及实例分析

专题十四：竖直平面内的圆周运动及实例分析

专题十四：竖直平面内的圆周运动实例分析 一 竖直平面内圆周运动的两类模型 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

轻绳模型 轻杆模型

常见类型

过最高点的临界条件 由mg＝mv2r 得v临＝gr 由小球能运动即可得v临＝0 讨论 分析 (1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、轨道对球产生弹力FN (2)不能过最高点v＜gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v＜gr时，－FN＋mg＝mv2r，FN背向圆心，随v的增大而减小 (3)当v＝gr时，FN＝0 (4)当v＞gr时，

FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大 二 .竖直平面内的圆周运动的求解思路 （1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是：“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体.

（2）确定临界点：v临=，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点. （3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. （4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向. （5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.

三、可化为这两类模型的圆周运动 竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等，可化为轻竖直平面内轻杆类圆周运动。 四 典例分析： 例1（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。 (h的取值范围是2．5R≤h≤5R )

圆周运动和平抛运动的综合问题

圆周运动和平抛运动的综合问题


FN-mg=
m
v
2 b
，
联立解得FN=6mg，B项错误；小球由c点平抛，
R
在平抛运动过程中由运动学公式得：x
vc2 R ， x=2R，D项正确，C项错误。
g
3.(2014·三明模拟)如图所示,用内壁光滑的薄壁细圆管弯的 由半圆形APB(圆半径比细管的内径大得多)和直线BC组成的轨 道固定在水平桌面上,已知半圆形APB的半径R=1.0m,BC段 L=1.5m。弹射装置将一个质量为1kg的小球(可视为质点)以 v0=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道,小球从C点离开轨道随即 水平抛出,桌子的高度h=1.25m,不计空气阻力,g取10m/s2,π 取 3.14,求:
热点专题突破系列(三) 圆周运动与平抛运动的综合问题
【热点概述】 圆周运动和平抛运动是两种典型的曲线运动,圆周运动与平抛 运动结合的综合问题,是高考的热点,也是高考的重点。此类综 合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖 直面内圆周运动与平抛运动的综合考查。
【热点透析】 一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 1.此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动,后做平 抛运动,有时还要结合能量关系分析求解,多以选择题或计算题 考查。
【热点集训】
1.小明撑一雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径
为R，现将雨伞绕竖直伞杆以角速度ω 匀速旋转，伞边缘上的
水滴落到地面，落点形成一半径为r的圆形，当地重力加速度
的大小为g，根据以上数据可推知伞边缘距地面的高度应为
()
g(r2 R2) A. 22R2 C. g2(r2RR2)2
（2）小球做平抛运动，h

v
2 y
2g
vy=5 m/s