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2019版高考数学大一轮复习备考讲义(浙江专用)第三章 不等式3.5word版含答案

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§3.5绝对值不等式1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.2.绝对值不等式的解法a的解集：(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.知识拓展|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|x ＋2|的几何意义是数轴上坐标为x 的点到点2的距离.( × ) (2)|x |>a 的解集是{x |x >a 或x <－a }.( × ) (3)|a ＋b |＝|a |＋|b |成立的条件是ab ≥0.( √ ) (4)若ab <0，则|a ＋b |<|a －b |.( √ )(5)对一切x ∈R ，不等式|x －a |＋|x －b |>|a －b |成立.( × ) 题组二 教材改编2.[P20T7]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7] C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7).3.[P20T8]不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1,4) D.(1,5)答案 A解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立， ∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2， ∴4＜2，∴此时无解.综上，原不等式的解集为(－∞，4).题组三 易错自纠4.(2018届浙江源清中学月考)已知a ，b ∈R ，则“|a ＋b |≤3”是“|a |＋|b |≤3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |， ∴由|a |＋|b |≤3可得|a ＋b |≤3，又当a ＝－4，b ＝2时，|a ＋b |≤3成立，而|a |＋|b |≤3不成立， 故“|a ＋b |≤3”是“|a |＋|b |≤3”的必要不充分条件.5.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[2,4] B.[1,2] C.[－2,4] D.[－4，－2]答案 C解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解， 则|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3， ∴－2≤a ≤4.6.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，52＜y ＝－x ＋3≤5；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12.题型一 绝对值不等式的解法1.(2017·嘉兴七校期中)不等式1≤|2x －1|＜2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎣⎡⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫1，32 D.(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 不等式等价于1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1， 解得1≤x <32或－12＜x ≤02.(2017·宁波北仑中学期中)关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( ) A.1<a <2 B.3－172<a <3＋172C.a <1或a >2D.a ≤1或a ≥2 答案 B解析 ∵(|x －1|－|x －3|)max ＝2， ∴a 2－3a <2，得3－172<a <3＋172.3.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}解析 方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值范围为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 4.设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.答案 1解析 ∵32∈A ，且12∉A ，∴⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32，又∵a ∈N *，∴a ＝1.思维升华 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解. 题型二 利用绝对值不等式求最值典例 (1)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________. 答案 5解析 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |. (3)利用零点分区间法.跟踪训练 (1)关于x 的不等式|2 018－x |＋|2 019－x |≤d 有解时，d 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 ∵|2 018－x |＋|2 019－x |≥|2 018－x －2 019＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 018－x |＋|2 019－x |≤d 有解时，d ≥1.(2)若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，则实数a 的取值范围为________. 答案 [1,3]解析 ∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴⎪⎪⎪⎪x ＋1x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，故不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时， 有|a －2|≤1， 解得a ∈[1,3].题型三 绝对值不等式的综合应用命题点1 绝对值不等式和函数的综合典例 (2017·浙江省杭州重点中学期中)已知函数f (x )＝x |x －a |－1. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；(2)当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x |x －1|－1， 由不等式f (x )<x －1，得x |x －1|<x . ①当x ≥1时，不等式化为x (x －1)<x ， 即x 2－2x <0，解得1≤x <2.②当x <1时，不等式化为x (1－x )<x ， 即－x 2<0，解得x <1.综上，不等式的解集是{x |x <2}.(2)由题意得x |x －a |≤12x 2＋1当x ∈(0,1]时恒成立，所以|x －a |≤12x ＋1x 当x ∈(0,1]时恒成立，即12x －1x ≤a ≤32x ＋1x 当x ∈(0,1]时恒成立. 令g (x )＝12x －1x，则g (x )在(0,1]上单调递增，故g (x )≤g (1)＝－12.又32x ＋1x≥232x ·1x＝6， 当且仅当32x ＝1x ，即x ＝63时等号成立，所以－12≤a ≤6，所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，6. 命题点2 绝对值不等式和数列的综合 典例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *). (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎪a n －12为单调递减数列； (2)记S n 为数列{|a n ＋1－a n |}的前n 项和，证明：S n <53(n ∈N *).证明 (1)由题意知a n >0，故⎪⎪⎪⎪a n ＋1－12⎪⎪⎪⎪a n －12＝⎪⎪⎪⎪12a n ＋1－12⎪⎪⎪⎪a n －12＝12a n ＋1<1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎪a n －12为单调递减数列. (2)∵a 1＝1，a 2＝13，∴当n ≥3时，⎪⎪⎪⎪a n －12<16，得13<a n <23， 故a n ≥13(n ∈N *).∴⎪⎪⎪⎪a n ＋1－12⎪⎪⎪⎪a n －12＝12a n ＋1≤35. ∴|a n ＋1－a n |＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1－12＋12－a n ≤⎪⎪⎪⎪a n ＋1－12＋⎪⎪⎪⎪a n －12， ∴S n ＝|a 2－a 1|＋|a 3－a 2|＋…＋|a n ＋1－a n |≤⎪⎪⎪⎪a 1－12＋⎪⎪⎪⎪a 2－12＋…＋⎪⎪⎪⎪a n －12＋⎪⎪⎪⎪a 2－12＋⎪⎪⎪⎪a 3－12＋…＋⎪⎪⎪⎪a n ＋1－12≤12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫35n 1－35＋16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫35n 1－35<121－35＋161－35＝54＋512＝53.思维升华 (1)恒成立问题可转化为函数的最值问题.(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决.(3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩.(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数. 跟踪训练 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以当a ＝－3时，f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}. (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0].绝对值不等式的解法典例 不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3的解集为________________.思想方法指导 对|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法，一般可采用三种方法求解：几何法、分区间讨论法和图象法.解析 方法一 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得x ≤－32；当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3，不成立，无解； 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3， 所以x ≥32.综上，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 方法二 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 方法三 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解.设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x 1.∴－1－x 1＋1－x 1＝3，得x 1＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1，到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x 2，∴x 2－1＋x 2－(－1)＝3，得x 2＝32.从数轴上可以看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3. ∴原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞1.不等式|2x －1|<3的解集是( ) A.(1,2) B.(－1,2)C.(－2，－1)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 B解析 |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2. 2.不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A.{x |－1<x <1} B.{x |x <－1} C.{x |x >1} D.{x |x <－1或x >1} 答案 A解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4， ∴3x 2<3，∴－1<x <1.方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－(x －2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋(x －2)<0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－(2x －1)＋(x －2)<0.不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上可得－1<x <1，∴原不等式的解集为{x |－1<x <1}. 3.函数y ＝|x －1|＋|x ＋3|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 y ＝|x －1|＋|x ＋3|＝|1－x |＋|x ＋3| ≥|1－x ＋x ＋3|＝4，当且仅当(1－x )(x ＋3)≥0，即－3≤x ≤1时取“＝”. ∴当－3≤x ≤1时，函数y ＝|x －1|＋|x ＋3|取得最小值4.4.(2018届浙江“七彩阳光”联盟联考)若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是()A.|a＋b|≥4B.|a|≥4C.|a|≥2且|b|≥2D.b＜－4答案 D解析由b＜－4，可得|a|＋|b|＞4显然成立；又当a＝3，b＝2时|a|＋|b|＞4成立且b＜－4不成立，故b＜－4是|a|＋|b|＞4成立的充分不必要条件.5.若不存在实数x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(－∞，2)C.(0,2)D.(1，＋∞)答案 B解析|x－3|＋|x－1|的几何意义为数轴上表示x的点到表示3和1的点的距离之和，所以函数y＝|x－3|＋|x－1|的最小值为2，即实数a的取值范围是(－∞，2).6.(2017·浙江金华一中测试)已知f(x)＝2x2－4x－1，设有n个不同的数x i(i＝1,2，…，n)满足0≤x1＜x2＜…＜x n≤3，则满足|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|≤M的M的最小值是()A.10B.8C.6D.2答案 A解析由二次函数的性质得f(x)＝2x2－4x－1在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，且f(0)＝－1，f(1)＝－3，f(3)＝5，则当x1＝0，x n＝3，且存在x i＝1时，|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|取得最大值，最大值为|f(x1)－f(x i)|＋|f(x i)－f(x n)|＝|－1－(－3)|＋|－3－5|＝10，所以M的最小值为10，故选A.7.不等式|x－1|＋|x－2|≤5的解集为________.答案[－1,4]解析|x－1|＋|x－2|表示数轴上的点到点1和点2的距离之和.如图，点A和点B之间的点到点1和点2的距离之和都小于5.∴原不等式的解集为[－1,4].8.设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝__________；若f(x)≤5，则x的取值范围是__________.答案6[－1,1]解析f(－2)＝|2×(－2)－1|－2＋3＝6；由f (x )≤5得|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x ，即x －2≤2x －1≤2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ，解得－1≤x ≤1. 9.不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.10.已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围是________.答案 (－∞，4)解析 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于数轴上的点到点3和点7的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4.11.若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________. 答案 (5,7)解析 由|3x －b |＜4，得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3， ∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⎩⎨⎧ 0≤－4＋b 3＜1，3＜4＋b 3≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.12.已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅；当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2.综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}.(2)由绝对值不等式的性质可得||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5，则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5.若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，。

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2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用课件：第三章 不等式3.5

2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用课件：第三章 不等式3.5


√
3－ 17 3＋ 17 B. 2 <a< 2 D.a≤1 或 a≥2
解析 ∵(|x－1|－|x－3|)max＝2，
3－ 17 3＋ 17 ∴a －3a<2，得 2 <a< 2 .
2
x|x≤－3或x≥2} 3.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为{ _______________.
解析
方法一
要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2
1
2
3
4
5
6
7
题组二 教材改编
2.[P20T7]不等式3≤|5－2x|<9的解集为
A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]
C.(－2，－1]∪[4,7)
解析
|2x－5|<9， 由题意得 |2x－5|≥3，
D.(－2,1]∪[4,7) √
－9<2x－5<9， 即 2x－5≥3或2x－5≤－3， －2<x<7， 解得 不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7). x≥4或x≤1，
1 2 3 4 5 6 7
3.[P20T8]不等式|x－1|(1,4)
B.(－∞，1)
D.(1,5)
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，
∴x<4，∴1<x<4，
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴由|a|＋|b|≤3可得|a＋b|≤3，
B.必要不充分条件 √
D.既不充分也不必要条件
又当a＝－4，b＝2时，|a＋b|≤3成立，而|a|＋|b|≤3不成立， 故“|a＋b|≤3”是“|a|＋|b|≤3”的必要不充分条件.
2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用讲义：第一章 集合与命题1.1 Word版含答案

2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用讲义：第一章 集合与命题1.1 Word版含答案

§1.1集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合、元素的含义及其关系.2.理解集合的表示法.3.了解集合之间的包含、相等关系.4.理解全集、空集、子集的含义.5.会求简单集合间的并集、交集.6.理解补集的含义并会求补集.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}知识拓展1.若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(√)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(√)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)。

2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：1.1集合与集合的运算

2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：1.1集合与集合的运算

第一章会合与常用逻辑用语§1.1 会合与会合的运算考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.1. 认识会合的含义、元素与会合的属于关系.集2. 能用自然语言、图形语言、会合语言( 列举法合或描绘法 ) 描绘不一样的详细问题 .及理解3. 理解会合之间包括与相等的含义, 能辨别给定其会合的子集 .关4. 在详细情境中 , 认识全集与空集的含义 .系2.1. 理解两个会合的并集与交集的含义, 会求两个2,5 1,5 1,5 1,5集简单的会合的并集与交集 . 分分分分合1,42. 理解在给定会合中一个子集的补集的含义, 会理解1( 文1( 文1( 文1( 文的分求给定子集的补集 . ), ), ), ), 运3. 能使用韦恩 (Venn) 图表示会合的关系及运算 . 5 分 5 分 5 分 5 分算剖析解读 1. 本节内容是高考的必考内容, 在复习时要掌握会合的表示方法, 能判断元素与会合的属于关系、会合与会合之间的包括关系, 能判断会合能否相等. 娴熟掌握会合的交、并、补运算和性质, 会用分类议论和数形联合的数学思想研究会合的运算问题. 如 2016 浙江第 1 题 ;2017 浙江第 1 题 .2. 估计 2019 年高考试题中 , 考察会合的运算的可能性很大 .五年高考考点一会合及其关系1.(2016 四川 ,1,5 分) 设会合 A={x|-2 ≤ x≤ 2},Z 为整数集 , 则会合 A∩ Z 中元素的个数是 ( )A.3B.4C.5D.6答案 C2.(2015 重庆 ,1,5 分) 已知会合 A={1,2,3},B={2,3}, 则 ( )A.A=BB.A ∩ B=?C.A? BD.B? A答案 D2+y 2≤ 1,x,y ∈ Z},B={(x,y)||x|3.(2015 湖北 ,9,5 分) 已知会合 A={(x,y)|x ≤ 2,|y| ≤ 2,x,y ∈ Z}, 定义会合A⊕ B={(x 1+x2,y 1+y2)|(x 1,y 1) ∈ A,(x 2,y 2) ∈ B}, 则 A⊕ B 中元素的个数为 ( )A.77B.49C.45D.30答案 C课标全国Ⅰ ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x 2-2x>0},B={x|-4.(2013 <x< }, 则 ()A.A∩ B=?B.A∪ B=RC.B? AD.A? B答案 B5.(2013 山东 ,2,5 分) 已知会合 A={0,1,2}, 则会合 B={x-y|x ∈ A,y ∈ A} 中元素的个数是 ( )A.1B.3C.5D.9答案 C2 +3}. 若 A∩B={1}, 则实数 a 的值为6.(2017 江苏 ,1,5 分) 已知会合 A={1,2},B={a,a .答案 17.(2013 江苏 ,4,5 分) 会合 {-1,0,1} 共有个子集 .答案 8 考点二会合的运算1.(2017 浙江 ,1,4 分) 已知会合 P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2}, 则 P ∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案 A会合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则(? P) ∪Q=()2.(2016浙江文 ,1,5 分 ) 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},UA.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 答案 C分) 已知会合 P={x ∈R|1 ≤ x ≤3},Q={x ∈ R|x 2≥ 4}, 则 P ∪ ( ?R Q)=() 3.(2016 浙江 ,1,5 A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞ ,-2] ∪ [1,+ ∞ ) 答案 B24.(2015 浙江 ,1,5 分) 已知会合 P={x|x -2x ≥ 0},Q={x|1<x R )≤2}, 则( ? P)∩Q=( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]答案 C5.(2015 浙江文 ,1,5 分 ) 已知会合 P={x|x 2-2x ≥ 3},Q={x|2<x<4}, 则 P ∩ Q=( )A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]答案 A26.(2014 浙江 ,1,5 分) 设全集U)U={x ∈ N|x ≥ 2}, 会合 A={x ∈N|x ≥ 5}, 则 ? A=(A. ?B.{2}C.{5}D.{2,5} 答案 B 7.(2014 浙江文 ,1,5 分 ) 设会合 S={x|x ≥ 2},T={x|x ≤ 5}, 则 S ∩ T=( ) A.(- ∞ ,5] B.[2,+ ∞ ) C.(2,5) D.[2,5] 答案 D2+3x-4 ≤ 0}, 则 ( ?R S)∪ T=(8.(2013 浙江 ,2,5 分) 设会合 S={x|x>-2},T={x|x)A.(-2,1]B.(- ∞,-4]C.(- ∞ ,1]D.[1,+ ∞ ) 答案 C9.(2017 课标全国Ⅰ文 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 ( )A.A ∩ B=B.A ∩ B=?C.A ∪ B=D.A ∪ B=R答案 A x <1},10.(2017 课标全国Ⅰ理 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x<1},B={x|3 则( ) A.A ∩ B={x|x<0} B.A ∪ B=R C.A ∪ B={x|x>1} D.A ∩ B=? 答案 A 2-4x+m=0}. 若 A ∩ B={1},11.(2017 课标全国Ⅱ理 ,2,5 分 ) 设会合 A={1,2,4},B={x|x则B=() A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C12.(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知会合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩ B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案 B13.(2017北京理,1,5分)若会合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩ B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A14.(2017 山东理 ,1,5 分 ) 设函数 y= 的定义域为 A, 函数 y=ln(1-x) 的定义域为 B, 则 A∩ B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案 D15.(2016 课标全国Ⅲ ,1,5 分) 设会合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0}, 则 S∩T=()A.[2,3]B.(- ∞ ,2] ∪ [3,+ ∞ )C.[3,+ ∞ )D.(0,2] ∪[3,+ ∞)答案 D16.(2016 课标全国Ⅱ ,2,5 分) 已知会合 A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z}, 则 A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案 C17.(2016 天津 ,1,5 分 ) 已知会合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈ A}, 则 A∩ B=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D分 ) 设会合 A={y|y=2 x ,x ∈ R},B={x|x 2-1<0},18.(2016 山东 ,2,5 则 A∪ B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+ ∞ )D.(0,+ ∞ )答案 C19.(2015 课标Ⅱ ,1,5 分 ) 已知会合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则 A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案 A分 ) 设会合 M={x|x 2=x},N={x|lgx ≤ 0},20.(2015 陕西 ,1,5 则 M∪ N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(- ∞ ,1]答案 A分 ) 已知会合 A={x|x 2-2x-3 ≥0},B={x|-221.(2014 课标Ⅰ ,1,5 ≤ x<2}, 则 A∩ B=( )A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案 A22.(2014 辽宁 ,1,5 分 ) 已知全集 U=R,A={x|x ≤ 0},B={x|x ≥ 1}, 则会合 ?U(A ∪ B)=( )A.{x|x ≥ 0}B.{x|x ≤ 1}C.{x|0 ≤ x≤ 1}D.{x|0<x<1}答案 D23.(2016 江苏 ,1,5 分 ) 已知会合 A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3}, 则 A∩B= .答案{-1,2}教师用书专用(24 — 42)24.(2017 课标全国Ⅱ文 ,1,5 分 ) 设会合 A={1,2,3},B={2,3,4}, 则 A∪ B=( )A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案 A25.(2017 课标全国Ⅲ文 ,1,5 分 ) 已知会合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8}, 则 A∩B 中元素的个数为 ()D.4答案 B26.(2017 北京文 ,1,5 分 ) 已知全集 U=R,会合 A={x|x<-2 或 x>2}, 则 ?U A=( )A.(-2,2)B.(- ∞,-2) ∪ (2,+ ∞ )C.[-2,2]D.(- ∞,-2] ∪ [2,+ ∞ )答案 C27.(2017 天津文 ,1,5 分 ) 设会合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}, 则(A ∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}答案 B28.(2017 山东文 ,1,5 分 ) 设会合 M={x||x-1|<1},N={x|x<2}, 则 M∩N=( )A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案 C29.(2013 浙江文 ,1,5 分 ) 设会合 S={x|x>-2},T={x|-4 ≤ x≤ 1}, 则 S∩ T=( )A.[-4,+ ∞ )B.(-2,+ ∞ )C.[-4,1]D.(-2,1]答案 D30.(2016 北京 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3}, 则 A∩ B=( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C31.(2015山东,1,5分)已知会合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩ B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案 C32.(2014四川,1,5分)已知会合A={x|x 2-x-2 ≤ 0}, 会合 B 为整数集 , 则 A∩ B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}答案 A33.(2014陕西,1,5分)设会合M={x|x≥ 0,x∈ R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)答案 B34.(2016课标全国Ⅰ ,1,5分)设会合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩ B=()A. B.C. D.答案 D35.(2015 广东 ,1,5 分 ) 若会合 M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0}, 则 M∩ N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4}C.{0}D. ?答案 D2-3x+236.(2014 课标Ⅱ ,1,5 分 ) 设会合 M={0,1,2},N={x|x ≤0}, 则 M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案 D37.(2014广东,1,5分)已知会合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪ N=()A.{0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}答案 C纲领全国 ,2,5 分 ) 设会合 M={x|x 2-3x-4<0},N={x|038.(2014 ≤ x≤ 5}, 则 M∩ N=( )A.(0,4]B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B39.(2013 天津 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x ∈ R||x| ≤ 2},B={x ∈ R|x ≤ 1}, 则 A∩ B=( )A.(- ∞ ,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]答案 D2<4,x ∈ R},N={-1,0,1,2,3},40.(2013 课标全国Ⅱ ,1,5 分) 已知会合 M={x|(x-1) 则 M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}答案 A41.(2014 江苏 ,1,5 分 ) 已知会合 A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3}, 则 A∩B= .答案 {-1,3}42.(2014 重庆 ,11,5 分 ) 设全集 U={n ∈N|1 ≤ n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则( ?U A) ∩B= .答案{7,9}三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一会合及其关系1.(2018浙江杭州地域要点中学第一学期期中,2) 已知会合 {x|mx 2-2x+1=0}={n},则m+n=()A.0 或 1B.C.2D.或2答案 D2.(2017浙江镇海中学模拟( 六 ),1) 已知会合A={x|x 2+x=0,x ∈R}, 则知足 A∪ B={0,-1,1}的会合B的个数是()A.2B.3C.4D.8答案 C3.(2016浙江名校(柯桥中学)沟通卷四,1)已知会合A={-1,0,1,2},会合B={x∈ Z||x|≤ a},则知足A? B的实数 a 的一个值为 ()A.0B.1C.2D.答案 C4.(2016 浙江名校 ( 衢州二中 ) 沟通卷五 ,9) 设非空会合A={x|m-1 ≤ x≤ 2m+1,m∈R},B={x|-4≤ x≤ 2},若m=2, 则 A∩ B=; 若 A? A∩B, 则 m的取值范围是.答案[1,2];考点二会合的运算5.(2018浙江镇海中学期中,1) 若会合 M=,N={x|x<1},则M∪ N=()A.(0,1)B.(0,2)C.(- ∞ ,2)D.(0,+ ∞ )答案 C6.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中 ,1) 已知会合 P={x|x>0},Q={x|-1<x<1}, 那么 ( ?R P) ∩ Q=()A.(-1,+ ∞ )B.(0,1)C.(-1,0]D.(-1,1) 答案 C7.(2018 浙江浙东北结盟期中 ,1) 已知会合 a若 A ∩B= , 则 A ∪B=( )A={1,2 },B={a,b}, A. B. C. D.答案 D28.(2017 浙江杭州二模 (4 月 ),1) 设 U={-1,0,1,2},会合 A={x|x U )<1,x ∈U}, 则? A=(A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1} 答案 B9.(2017 浙江温州十校期末联考 ,1) 已知会合 P={x|y= },Q={x|y=ln(x+1)}, 则 P ∩Q=()A.{x|-1 ≤ x ≤ 2}B.{x|-1 ≤ x<2}C.{x|-1<x ≤ 2}D.{x|-1<x<2}答案 CB 组 2016— 2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江温州适应性测试,1) 已知会合 A={x|x 2-3x+2<0},B={x|x ≥1}, 则 A ∩ B=( )A.(1,2)B.(2,+∞ )C.(1,+ ∞ )D.? 答案 Ax>1}, 则 A ∩ ( ?R B)=(2.(2018 浙江萧山九中 12 月月考 ,2) 已知 A={x|-2<x<1},B={x|2 )A.(-2,1)B.(- ∞,1)C.(0,1)D.(-2,0] 答案 D3.(2018 浙江“七彩阳光” 结盟期中 ,2) 已知会合 M= ,N={x|y=lg(-x2+2x+3)}, 则 M ∩N=()A.{x|0<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|0<x<4}D.{x|-1<x<4}答案 A,1) 已知会合 M={x|x 2-x-2 ≤ 0},N={y|y=3x 2+1}, 则 M ∩N=(4.(2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一 )A. ?B.{x|1 ≤ x ≤ 2}C.{x|-1 ≤ x ≤ 2}D.{1} 答案 B x ≥ 1}, 则 M ∩ N=(5.(2017 浙江高考模拟训练冲刺卷一 ,1) 若会合 M={x||x| ≤ 2},N={x|e )A.[0,+ ∞ )B.[0,2]C.[0,1]D.[1,2] 答案 B6.(2017 浙江测试卷 ,1) 已知会合 P={x|0 ≤ x ≤ 4,x ∈ R},Q={x||x|<3,x∈ R}, 则 P ∪ Q=()A.[3,4]B.(-3,4]C.(- ∞ ,4]D.(-3,+ ∞ )答案 B已知全集 U=R,会合 A={x|x 2≥ 3},B={x|1<x<3},7.(2017 浙江“七彩阳光” 新高考研究结盟测试,1) 则 A ∪(?B)=()RA.RB.{x|x ≤ - 或 x ≥ }C.{x|x ≤ 1 或 x ≥ }D.{x|x ≤ - 或 x ≥ 3}答案 C8.(2017 浙江温州模拟 ,1) 设会合 A={x||x-2| ≤1},B={x|0<x ≤ 1}, 则 A∪ B=()A.(0,3]B.(0,1]C.(- ∞ ,3]D.{1}答案 A,10) 若会合 A={(m,n)|(m+1)+(m+2)+ , +(m+n)=10 2015,m∈ N,n ∈ N* }, 则会合 A 9.(2017 浙江名校协作体测试中的元素个数是 ()A.2016B.2017C.2018D.2019答案 A二、填空题10.(2017 浙江温州十校期末联考,16) 设有序会合对 (A,B) 知足 :A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,8},A ∩B=? , 记card(A),card(B) 分别表示会合A,B 的元素个数 , 则切合条件 card(A) ?A,card(B) ?B 的会合对 (A,B) 的对数是.答案44C 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 会合的观点和基本关系的解题策略1. 设会合 A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}, 若 B? A, 则实数 a 的取值范围是.答案a≤ -1 或 a=12. 已知会合 A= , 试用列举法表示会合 A.分析由题意知6-x 是 8 的正约数 , 当 6-x=1 时 ,x=5; 当 6-x=2 时 ,x=4; 当 6-x=4 时 ,x=2; 当 6-x=8 时 ,x=-2, 而 x≥ 0, ∴x=2,4,5, 即 A={2,4,5}.方法 2 会合的基本运算的解题策略3.设I 为全集 ,S 1、 S2、 S3是 I 的三个非空子集 , 且 S1∪ S2∪ S3=I, 则以下结论正确的选项是( )A.( ?I S1) ∩ (S 2∪ S3)= ?B.S1? [( ?I S2) ∩ ( ?I S3)]C.( ? S)∩(? S)∩(? S)=?I 1 I 2 I 3D.S1? [( ?I S2) ∪ ( ?I S3)]答案 C方法 3 与会合相关的新观点问题的解题策略4.(2016 浙江诸暨质量检测(5 月卷 ),8) 设 A1,A 2,A 3, , ,A n是会合 {1,2,3, , ,n} 的 n 个非空子集 (n ≥ 2). 定义a ij = 此中 i,j=1,2, , ,n, 这样获得的 n2个数之和记为 S(A1,A 2,A 3, , ,A n), 简记为 S. 以下三种说法 :① S 与 n 的奇偶性同样 ; ② S是 n 的倍数 ; ③ S 的最小值为 n, 最大值为 n2. 此中正确的选项是 ( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ③答案 B5.(2016 浙江五校第一次联考 ,12) 若三个非零且互不相等的实数a,b,c 知足 + = , 则称 a,b,c 是调解的 ; 若知足 a+c=2b, 则称 a,b,c 是等差的 . 若会合 P中元素 a,b,c 既是调解的 , 又是等差的 , 则称会合 P 为“好集”, 若会合 M={x||x| ≤ 2014,x ∈Z}, 会合 P={a,b,c} ? M,则“好集” P 中的元素最大值为, “好集” P 的个数为.答案2012;1006。

2019版高考数学大一轮复习备考讲义(浙江专用)第三章 不等式高考专题突破一word版含答案

2019版高考数学大一轮复习备考讲义(浙江专用)第三章 不等式高考专题突破一word版含答案

高考专题突破一 高考中的不等式问题【考点自测】1.若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.a ＋c ≥b －c B.(a －b )c 2≥0 C.ac >bc D.c 2a －b>0 答案 B解析 A 项，当c <0时，不等式a ＋c ≥b －c 不一定成立；C 项，当c ＝0时，ac ＝bc ；D 项，c ＝0时，c 2a －b ＝0；B 项，由a >b 可得a －b >0， 因为c 2≥0，所以(a －b )c 2≥0. 故选B.2.若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，22－3]解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]. 3.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x ≤1，x －2y ≥0，则|x |＋|y |的取值范围是________.答案 [0,2]解析 |x |＋|y |表示可行域内一点到x ，y 轴的距离之和，作出不等式组表示的可行域，由可行域可知在点(0,0)处取得最小值0，在点(1，－1)处取得最大值2，所以|x |＋|y |∈[0,2]. 4.若关于x 的方程x 2＋4x ＋|a －2|＋|a ＋1|＝0有实根，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，52 解析 由方程x 2＋4x ＋|a －2|＋|a ＋1|＝0有实根，可得Δ＝42－4×1×(|a －2|＋|a ＋1|)≥0，整理得|a －2|＋|a ＋1|≤4.∵|a －2|＋|a ＋1|代表数轴上的点a 到2和－1两点的距离和，故由|a －2|＋|a ＋1|≤4得a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，52.题型一 含参数不等式的解法例1 解关于x 的不等式x 2＋ax ＋1>0(a ∈R ). 解 对于方程x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当Δ>0，即a >2或a <－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等实根x 1＝－a －a 2－42，x 2＝－a ＋a 2－42，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a －a 2－42或x >－a ＋a 2－42； (2)当Δ＝0，即a ＝±2时，①若a ＝2，则原不等式的解集为{x |x ≠－1}； ②若a ＝－2，则原不等式的解集为{x |x ≠1}；(3)当Δ<0，即－2<a <2时，方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，结合二次函数y ＝x 2＋ax ＋1的图象，知此时原不等式的解集为R .思维升华 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.(3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.跟踪训练1 (1)若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是________. 答案 3解析 由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.(2)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)解析 依题意得，|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，即函数y ＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值是|m ＋1|，于是有|m ＋1|>3，m ＋1<－3或m ＋1>3，由此解得m <－4或m >2.因此实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞). 题型二 线性规划问题例2 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0， 则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________.答案 21解析 方法一 作出不等式组表示的平面区域.如图中阴影部分(含边界)所示.z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，则几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 的坐标为(7,9)，显然，点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.方法二 由图可知，阴影区域内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题.显然，当直线经过点B 时，目标函数取得最大值，z max ＝21.思维升华 对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然后寻求最优解，最后回到实际问题.跟踪训练2 (1)(2017·浙江“超级全能生”联考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，2x －y －1≤0，则2|x ＋1|＋y 的最大值为( ) A.143 B.193 C.4 D.1答案 B解析 可行域为如图所示阴影部分，即△ABC 及其内部，其中A (－2,0)，B ⎝⎛⎭⎫43，53，C (0，－1)，因此当x ≥－1时，z ＝2x ＋2＋y 过点B 时取最大值193；当x ＜－1时，z ＝－2x －2＋y 过点A 时取最大值2. 综上，2|x ＋1|＋y 的最大值是193. 故选B.(2)(2017·杭州调研)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元. 答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮，则z ＝10 000x ＋5 000y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知，在D (2,2)处z 有最大值，且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元). 题型三 基本不等式的应用例3 (1)在面积为定值9的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是( ) A.3 B.2 C.4 D.5答案 A解析 设扇形的半径为r ，其弧长为l ， 由题意可得S ＝12lr ＝9，故lr ＝18.扇形的周长C ＝2r ＋l ≥22rl ＝22×18＝12， 当且仅当2r ＝l ，即r ＝3，l ＝6时取等号.(2)已知a >0，b >0，c >1，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1的最小值为______. 答案 4＋2 2解析 ∵a 2＋1ab ＝a 2＋(a ＋b )2ab ＝2a 2＋2ab ＋b 2ab＝2a b ＋ba ＋2≥2 2ab ·b a＋2 ＝22＋2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a b ＝b a ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时等号成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1ab －2·c ＋2c －1≥22c ＋2c －1＝22(c －1)＋2c －1＋2 2≥222(c －1)·2c －1＋22＝4＋22，当且仅当22(c －1)＝2c －1，即c ＝1＋22时，等号成立.综上，所求最小值为4＋2 2.思维升华 (1)应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型.(2)应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义. 跟踪训练3 (1)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A.4B.4 3C.9D.16答案 D解析 由32＋x ＋32＋y＝1可得xy ＝8＋x ＋y .∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0， 解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m 2；材料工程费在建造第一层时为400元/m 2，以后每增加一层费用增加40元/m 2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层. 答案 10解析 设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy＝2 000x＋20x ＋380≥2 2 000x ·20x ＋380＝780，当且仅当2 000x＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层. 题型四 绝对值不等式例4 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|－2. (1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若y ∈{y |y ＝f (x )－2}是y ∈{y |y ＝|g (x )|}的充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由|g (x )|＝||x －1|－2|＜5得， －3＜|x －1|＜7，∴|x －1|＜7，解得－6＜x ＜8. ∴原不等式的解集为{x |－6＜x ＜8}.(2)∵y ∈{y |y ＝f (x )－2}是y ∈{y |y ＝|g (x )|}的充分条件， ∴{y |y ＝f (x )－2}⊆{y |y ＝|g (x )|}，又f (x )－2＝|2x －a |＋|2x ＋3|－2≥|a ＋3|－2， g (x )＝||x －1|－2|≥0，∴|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5.思维升华 (1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等.(2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值.跟踪训练4 (1)已知函数f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c ，若存在正实数m ，使f (m )＝0，则不等式f (x )<f (m )的解集是________. 答案 (－m ，m )解析 由|－x －5|＋|－x ＋3|＋|－x －3|＋|－x ＋5|＝|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|可知，函数f (x )为偶函数，当－3≤x ≤3时，f (x )取最小值16－c .结合题意可得c ≥16.由f (m )＝0得f (x )<0，即|x －5|＋|x ＋3|＋|x －3|＋|x ＋5|－c <0，结合图象(图略)可知，解集为(－m ，m ).(2)不等式|x －2|＋|x ＋1|≥a 对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________. 答案 (－∞，3]解析当x∈(－∞，－1]时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x－x－1＝1－2x≥3；当x∈(－1,2)时，|x－2|＋|x＋1|＝2－x＋x＋1＝3；当x∈[2，＋∞)时，|x－2|＋|x＋1|＝x－2＋x＋1＝2x－1≥3，综上可得|x－2|＋|x＋1|≥3，∴a≤3.1.解关于x的不等式x2－(2＋m)x＋2m<0.解原不等式可化为(x－2)(x－m)<0.①当m>2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为{x|2<x<m}；②当m<2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为{x|m<x<2}；③当m＝2时，不等式(x－2)(x－m)<0的解集为∅.综上所述：当m>2时，不等式的解集为{x|2<x<m}；当m<2时，不等式的解集为{x|m<x<2}；当m＝2时，不等式的解集为∅.2.已知函数f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋8x＋16.(1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)＝k(x－3)，k∈R，若f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立，求k的取值范围. 解(1)f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋8x＋16＝(x－3)2＋(x＋4)2＝|x－3|＋|x＋4|，∵f (x )≥f (4)，即|x －3|＋|x ＋4|≥9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－4，3－x －x －4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <3，3－x ＋x ＋4≥9 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4≥9，解得x ≤－5或x ≥4，∴f (x )≥f (4)的解集为{x |x ≤－5或x ≥4}.(2)f (x )>g (x )，即f (x )＝|x －3|＋|x ＋4|的图象恒在g (x )＝k (x －3)图象的上方， 又∵f (x )＝|x －3|＋|x ＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－4，7，－4<x <3，2x ＋1，x ≥3，g (x )＝k (x －3)的图象恒过定点P (3,0)，作函数y 1＝f (x )，y 2＝g (x )的图象如图，其中k PB ＝2，A (－4,7)，∴k P A ＝－1，由图可知，要使得f (x )的图象恒在g (x )图象的上方，则需－1<k ≤2，∴实数k 的取值范围为(－1,2].3.(2017·浙江省绍兴第一中学期末)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，x ∈R . (1)求证：当a ＝－12时，不等式ln f (x )>1成立；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤a 在R 上有解，求实数a 的取值范围. (1)证明 由f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪x ＋12＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x <－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x >52，得函数f (x )的最小值为3，从而f (x )≥3＞e ，所以ln f (x )>1成立.(2)解 由绝对值不等式的性质得 f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －52－(x －a ) ＝⎪⎪⎪⎪a －52， 所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪52－a ，从而⎪⎪⎪⎪52－a ≤a ， 解得a ≥54，因此a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫54，＋∞.4.已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y的最小值； (2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由.解 (1)由题意可知1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy＝2， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立.所以1x ＋1y的最小值为2. (2)不存在.理由：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )，又x ，y ∈(0，＋∞)，所以0＜x ＋y ≤2，从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4， 因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.5.(2016·浙江)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q . (1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围；(2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ).解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a ).所以使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ].(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以由F (x )的定义知m (a )＝min {}f (1)，g (a )， 即m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ＜2时，F (x )＝f (x )，此时M (a )＝f (0)＝2. 当2≤x ≤6时，F (x )＝g (x )，此时M (a )＝max{g (2)， g (6)}＝max{2,34－8a }，当a ≥4时，34－8a ≤2；当3≤a <4时，34－8a >2， 所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.6.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|(m ∈R ).(1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|2x ＋1|的解集为A ，且⎣⎡⎦⎤34，2⊆A ，求实数m 的取值范围.解 (1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|， 由f (x )≤2得|x －1|＋|2x －1|≤2，上述不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤12，1－x ＋1－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ 12＜x ＜1，1－x ＋2x －1≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋2x －1≤2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤12，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ 12＜x ＜1，x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ≤43，∴0≤x ≤12或12＜x ＜1或1≤x ≤43， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0≤x ≤43.。