最新数学不等式高考真题【精】整理版

高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。

高考数学真题分类汇编不等式一、单选题1．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+4．（2021·浙江）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．（2020·浙江）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >07．（2020·全国（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}9．（2019·浙江）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a => B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =-> 12．（2018·全国（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+16．（2017·山东（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2aba b a b +<+< 二、多选题18．（2020·海南）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．2212a b +≥ B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥- D三、填空题19．（2020·天津）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 20．（2020·江苏）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22xy +的最小值是_______．.23．（2019·天津（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为________.24．（2019·天津（文）） 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为_________. 25．（2019·天津（理））设0,0,25x y x y >>+=，______.26．（2018·江苏）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 28．（2018·天津（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 29．（2018·天津（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________． 30．（2017·山东（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为_____． 31．（2017·天津（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.32．（2017·北京（文））能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.33．（2017·江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 34．（2017·山东（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编四、不等式（答案解析）1．C 【解析】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx xy -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．4．C【解析】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C. 5．C 【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C 7．D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.9．A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【解析】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+=选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥，且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =，即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =，则101102a =<，故选项B 错误；选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >，则选项D 错误.故选：A.12．B 【解析】.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b∴==0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<< 又a 0,b 0>< ab 0∴<即ab a b 0<+< 故选B.16．B 【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴+= 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 18．ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 19．4【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+22a b =+=.故答案为：420．45【解析】∈22451x y y += ∈0y ≠且42215y x y -=∈42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∈22x y +的最小值为45.故答案为：45.23．92.【解析】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92．24．2(1,)3-【解析】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-．25．(1)(2xxy +=0,0,25,0,x y x y xy >>+=>≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为26．9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9. 28．14【解析】由360a b -+=可知36a b -=-，且312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224a b-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14.29．1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】∈当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知： 当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥； ∈当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+， 由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知： 当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合∈∈可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.30．8【解析】因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞，所以()124222248a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号，所以2a b +的最小值为831．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22,24a b ==时取等号）.32．1,2,3---【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 33．30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.34．8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.。

数学《不等式》高考知识点一、选择题1．已知实数,x y满足线性约束条件120xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1yx+的取值范围为（）A．(-2,-1］B．(-1,4］C．[-2,4) D．[0,4]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，观察可行域可得最小值．【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1yx+表示可行域内点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，(1,3)A，3(1)410QAk--==-，过Q与直线0x y+=平行的直线斜率为－1，∴14PQk-<≤．故选：B．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1yx+表示动点(,)P x y与定点(0,1)Q-连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．2．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．3．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．若实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，，则c 的最大值是（ ） A ．43B ．2log 3C ．25D ．24log 3【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出2a b+的最小值后可得221a ba b ++-的最大值，从而可得2c 的最大值，故可得c 的最大值. 【详解】因为222a b a b ++=，故222222a b a b a b a b +++=≥⨯= 整理得到24a b +≥，当且仅当1a b ==时等号成立. 又因为2222abca b c++++=，故2114211212133a b ca b a b +++==+≤+=--，当且仅当1a b ==时等号成立，故max 24log 3c =. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用以及指数不等式的解，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果多变量等式中有和式和积式的关系，则可利用基本不等式构造关于和式或积式的不等式，通过解不等式来求最值，求最值时要关注取等条件的验证.5．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（ ）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数，所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.7．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.8．已知函数24,0()(2)1,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A 【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为（ ）.A ．335+ B ．4235+ C ．2435+ D ．3435+ 【答案】B 【解析】 【分析】令22x y m x y n-=⎧⎨+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知111m n +=，利用1的代换后根据基本不等式即可得x y +的最小值. 【详解】20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得2525m n x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13113(455n m m n ⎛⎫=⨯+++≥⨯+ ⎪⎝⎭45+=当且仅当3n mm n=，即m =，即22)x y x y -=+即x y ==. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.11．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立， 得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤-所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.12．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．13．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.14．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．2B ．12C ．-2D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.15．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）A ．17 B．342 C ．32 D ．172【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（ ）A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b >【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立.【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.17．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． AB．C．2 D．【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥= 当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ） A ．4B ．3 C．2 D ．2【答案】D【解析】【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．【点睛】 本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．19．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.20．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元 【答案】B【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件： 2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．。

【最新】数学《不等式》期末复习知识要点一、选择题1．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1 222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．设变量,x y满足约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z＝5x+y可化为y＝-5x+z，即表示斜率为-5，截距为z的动直线，由图可知，当直线5z x y=+过点()1,0A时，纵截距最大，即z最大，由211x yx y+=⎧⎨+=⎩得A（1，0）∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．设实数满足条件则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C ．232D ．421【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.7．若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一需要在A B件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．9．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【解析】【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得3212,28,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y=+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,x yx y+=⎧⎨+=⎩得()2,3P，则max324318z=⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10．设x，y满足102024xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x=r，()1,b m y=-r，则满足a b⊥r r的实数m 的最小值为（）A．125B．125-C．32D．32-【答案】B【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53 C ．74D ．95【答案】D 【解析】 【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，Q131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．13．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.14．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）AB．2C．D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+= ()212222225529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.16．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.17．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。

第１章集合与不等式1(2023•乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=()A.∁U (M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁U N【解析】：由题意：M∪N={x|x<2}，又U=R，∴∁U(M∪N)={x|x≥2}．故选：A．2(2023•甲卷)设集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=()A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅【解析】：∵A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，∴A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U(A⋃B)={x|x=3k，k∈Z}．故选：A．3(2023•甲卷)设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=()A.{2，3，5}B.{1，3，4}C.{1，2，4，5}D.{2，3，4，5}【解析】：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A．4(2023•乙卷)设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M∪∁U N= ()A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U【解析】：由于∁U N={2，4，8}，所以M∪∁U N={0，2，4，6，8}．故选：A．5(2023•新高考Ⅰ)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=() A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2} C.{-2} D.{2}【解析】：∵x2-x-6≥0，∴(x-3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤-2，N=(-∞，-2]∪[3，+∞)，则M∩N={-2}．故选：C．6(2023•天津)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】：a2=b2，即(a+b)(a-b)=0，解得a=-b或a=b，a2+b2=2ab，即(a-b)2=0，解得a=b，故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”，充分性不成立，“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”，必要性成立，故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件．故选：B．7(2023•天津)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，则∁U B∪A=() A.{1，3，5} B.{1，3} C.{1，2，4} D.{1，2，4，5}【解析】：U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，则∁U B={3，5}，故∁U B∪A={1，3，5}．故选：A．8(2023•新高考Ⅱ)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a=() A.2 B.1 C.23D.-1【解析】：依题意，a-2=0或2a-2=0，当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意．故选：B．9(2023•上海)已知P={1，2}，Q={2，3}，若M={x|x∈P，x∉Q}，则M=()A.{1}B.{2}C.{3}D.{1，2，3}【解析】：∵P={1，2}，Q={2，3}，M={x|x∈P，x∉Q}，∴M={1}．故选：A．10(2023•全国)集合A={-2，-1，0，1，2}，B={2k|k∈A}，则A∩B=()A.{0}B.{0，2}C.{-2，0}D.{-2，0，2}【解析】：因为集合A={-2，-1，0，1，2}，B={2k|k∈A}，所以B={-4，-2，0，2，4}，则A∩B={-2，0，2}．故选：D．11(2023•上海)已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B，则a=．【解析】：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B，则a=2．故答案为：2．12(2023•天津)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【解析】：y=1.01x，在R上单调递增，0.6>0.5，故1.010.6>1.010.5，所以b>a，y=x0.5，在[0，+∞)上单调递增，1.01>0.6，故1.010.5>0.60.5，即a>c，所以b>a>c．故选：D．13(2023•上海)已知正实数a、b满足a+4b=1，则ab的最大值为 ．【解析】：正实数a、b满足a+4b=1，则ab=14×a⋅4b≤14×a+4b22=116，当且仅当a=12，b=18时等号成立．故答案为：116．第２章 复数1(2023•甲卷)若复数(a +i )(1-ai )=2，a ∈R ，则a =()A.-1B.0C.1D.2【解析】：因为复数(a +i )(1-ai )=2，所以2a +(1-a 2)i =2，a =221-a 2即 =0，解得a =1．故选：C ．22+i 1(2023•乙卷)设z =+i 2+i5，则z=()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【解析】：∵i 2=-1，i 5=i ，2+i1∴z =+i 2+i 5=2+i i=1-2i ，∴z=1+2i ．故选：B ．3(2023•乙卷)|2+i 2+2i 3|=()A.1B.2C.5D.5【解析】：由于|2+i 2+2i 3|=|1-2i |=12+(-2)2=5．故选：C ．45(1+i 3)(2023•甲卷)(2+i )(2-i )=()A.-1B.1C.1-iD.1+i5(1+i 3)【解析】：(2+i )(2-i )=5(1-i )5=1-i ．故选：C ．5(2023•新高考Ⅱ)在复平面内，(1+3i )(3-i )对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】：(1+3i )(3-i )=3-i +9i +3=6+8i ，(1+3i )(3-i )对应的点的坐标为(6，8)，位于第一象限．则在复平面内，故选：A ．6(2023•新高考Ⅰ)已知z =21+-2i i，则z -z=()A.-iB.iC.0D.1【解析】：z =21+-2i i =21⋅1-i 1+i (1-i )2=21⋅(1+i )(1-i )=-21i ，则z =21i ，故z -z=-i ．故选：A ．7(2023•全国)已知(2+i )z=5+5i ，则|z |=()A.5B.10C.52D.55【解析】：由(2+i )z=5+5i ，得z =5+5i 2+i=(5+5i )(2-i )(2+i )(2-i )=15+5i 5=3+i ，则z =3-i ，|z |=32+(-1)2=10．故选：B ．8(2023•上海)已知复数z =1-i (i 为虚数单位)，则|1+iz |= ．【解析】：∵z =1-i ，∴|1+iz |=|1+i (1-i )|=|2+i |=5．故答案为：5．9(2023•天津)已知i 是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为．【解析】：5+14i 2+3i =(5+14i )(2-3i )(2+3i )(2-3i )=52+13i13=4+i ．故答案为：4+i ．10(2023•上海)已知z 1，z 2∈C 且z 1=i z 2(i 为虚数单位)，满足|z 1-1|=1，则|z 1-z 2|的取值范围为．【解析】：设z 1-1=cos θ+i sin θ，则z 1=1+cos θ+i sin θ，因为z 1=i •z 2，所以z 2=sin θ+i (cos θ+1)，所以|z 1-z 2|=(cos θ-sin θ+1)2+(sin θ-cos θ-1)2=22sin θ-π4 -1 2=22sin θ-π4 -1 ，显然当sin θ-π4 =22时，原式取最小值0，当sin θ-π4=-1时，原式取最大值2+2，故|z 1-z 2|的取值范围为[0，2+2]．故答案为：[0，2+2]．。

不等式高考试题及答案一、选择题1. 若不等式3x+2>7成立，则x的取值范围是：A. x < -1B. x > -1C. x < 1D. x > 1答案：D2. 已知不等式2(x-1) > 3(x+2)，则x的取值范围是：A. x < -7/5B. x > -7/5C. x < -1D. x > -1答案：C3. 若x<y，则对x+y，下列不等式成立的是：A. x + y < 2xB. x + y < 2yC. x + y > 2xD. x + y > 2y答案：C4. 若不等式5x+3y > 6成立，下列不等式中一定成立的是：A. 10x + 6y > 12B. 5x + 6y > 12C. 5x + 3y > 6D. 10x + 3y > 6答案：D5. 下列不等式组中，解集与其他三个不同的是：A. {x | -2 < x < 3}B. {x | 0 < x < 5}C. {x | 1 < x < 4}D. {x | -3 < x < 2}答案：B二、填空题1. 若不等式2x - 1 > 5成立，则x的取值范围为________。

答案：x > 32. 若不等式-3(x - 1) < 2(x + 3)成立，则x的取值范围为________。

答案：x < 13/53. 已知不等式2x - 3 < 5x + 4，则x的取值范围为________。

答案：x > -7/34. 若不等式x + 5 > 2x - 3成立，则x的取值范围为________。

答案：x < 85. 若不等式3x - 2 > 5成立，则x的取值范围为________。

答案：x > 7/3三、解答题1. 解不等式组{x | 2x + 3 > 5, x - 1 < 4}，并将解表示在数轴上。

高考数学最新真题专题解析—等式与不等式考向一 基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥ 【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件 【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解； （3）判断等号成立的条件； （4）利用“1”的合理变换是解题.考向二 线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（ ）A. 2-B. 4C. 8D. 12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力． 常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。

基本不等式高考真题汇总1．(2022·福建，5)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 答案 C2．(2022·湖南，10)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ∵x ，y ∈R 且xy ≠0， ∴(x 2＋1y 2)·(1x2＋4y 2)＝5＋1x 2y2＋4x 2y 2≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y2＝4x 2y 2，即xy ＝±22时，取得最小值9. 答案 93．(2022·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3D.322解析 ∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0. 而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a ＋6)≥2（3－a ）（a ＋6）， 即9≥2（3－a ）（a ＋6），∴（3－a ）（a ＋6）≤92，并且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．答案 B4．(2022·重庆，7)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5解析 ∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝5＋4a b ＋b a，又∵a >0，b >0， ∴2y ≥5＋24a b ·ba＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．答案 C5．(2022·上海，15)若a ，b ∈R ，且ab >0.则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2解析 由ab >0，可知a 、b 同号．当a <0，b <0时，B 、C 不成立；当a ＝b 时，由不等式的性质可知，A 不成立，D 成立． 答案 D6．(2022·上海，5)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解析 ∵x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取“＝”，∴x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案 2 27．(2022·天津，14)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析 因为a ＋b ＝2，所以a ＋b2·12|a |＋|a |b ＝a ＋b22|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a4|a |＋1， 当a >0时，a 4|a |＋1＝54，12|a |＋|a |b ≥54；当a <0时，a 4|a |＋1＝34，12|a |＋|a |b ≥34，当且仅当b ＝2|a |时，等号成立．因为b >0，所以原式取最小值时b ＝－2a .又a ＋b ＝2，所以a ＝－2时，原式取得最小值． 答案 －28．(2022·浙江，16)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105. 答案21059．(2022·山东，12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C.94D ．3解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得x 2－3xy ＋4y 2z ＝1≥2x 2·4y 2－3xy z，即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立， 又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，2x ＋1y －2x取得最大值为1，故选B.答案 B。

高中不等式试题及答案1. 若不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为\((-1, 2)\)，则下列哪个选项是正确的？A. \(a < 0\)且\(b^2 - 4ac < 0\)B. \(a > 0\)且\(b^2 - 4ac > 0\)C. \(a < 0\)且\(b^2 - 4ac > 0\)D. \(a > 0\)且\(b^2 - 4ac < 0\)答案：C2. 如果\(x^2 - 5x + 6 < 0\)，那么\(x\)的取值范围是？A. \(x < 2\)或\(x > 3\)B. \(2 < x < 3\)C. \(x < 3\)或\(x > 2\)D. \(3 < x < 2\)答案：B3. 已知\(a\)和\(b\)是正数，且\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。

A. \(\frac{1}{4}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(1\)D. \(\frac{1}{3}\)答案：A4. 若不等式\(|x - 1| < 2\)成立，求\(x\)的取值范围。

A. \(-1 < x < 3\)B. \(-2 < x < 2\)C. \(-1 < x < 1\)D. \(1 < x < 3\)答案：A5. 已知\(y = x^2 - 4x + 3\)，求\(y\)的最小值。

A. \(-1\)B. \(0\)C. \(3\)D. \(4\)答案：A6. 若不等式\(\frac{x}{x - 1} > 0\)成立，求\(x\)的取值范围。

A. \(x < 0\)或\(x > 1\)B. \(x < 1\)或\(x > 0\)C. \(x < 1\)或\(x > 2\)D. \(x < 0\)或\(x > 2\)答案：A7. 已知不等式\(3x^2 - 6x + 2 > 0\)，求\(x\)的取值范围。

2021-2021高考理科不等式真题汇编〔含答案〕一．2021年不等式高考真题1．(2021上海)设R b a ∈,,那么“4>+b a 〞是“2,2>>b a 且〞的〔 〕 （A ）充分条件 〔B 〕必要条件〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既非充分又非必要条件2．(2021四川)假设0a b >>，0c d <<，那么一定有〔 〕 A 、a b c d > B 、a b c d < C 、a b d c > D 、a b d c< 3.(2021上海)假设实数x,y 满足xy=1,那么2x +22y 的最小值为______________.4.(2021新课标I).不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P5. (2021新课标II)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，那么2z x y =-的最大值为〔 〕A. 10B. 8C. 3D. 26(2021天津)设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩那么目标函数2z x y =+的最小值为〔 〕〔A 〕2 〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕57. (2021广东)假设变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，那么M-m=A ．8 B.78. (2021北京)假设,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，那么k 的值为〔 〕.2A .2B - 1.2C 1.2D -9(2021天津)设,a bR ，那么|“a b 〞是“a a b b 〞的〔 〕〔A 〕充要不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充要也不必要条件10(2021江西) (1).〔不等式选做题〕对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值〔 〕 A.1 B.2 C.3 D.4二．填空题1. 〔2021大纲〕设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，那么4z x y =+的最大值为 .2〔2021浙江〕当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，那么实数a 的取值范围是________.3、〔2021福建〕要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是_______〔单位：元〕4〔2021福建〕假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 那么y x z +=3的最小值为______5 (2021重庆)假设不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是____________.6. 〔2021辽宁〕对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .7(2021湖南).假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4，且y x z +=2的最小值为6-，那么____=k .8(2021湖南)x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，那么a =________.9 (2021陕西) (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为三．解答题1. (2021新课标I)〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲 假设0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；〔Ⅱ〕是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 2. (2021新课标II)〔本小题总分值10〕选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->〔Ⅰ〕证明：()f x ≥2；〔Ⅱ〕假设()35f <，求a 的取值范围.3. 〔2021辽宁〕 〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. 〔1〕求M ；〔2〕当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.4〔2021福建〕〔本小题总分值7分〕选修4—5：不等式选将 定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . 〔I 〕求a 的值；〔II 〕假设r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p . 二．2021年不等式高考真题1.【2021高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，那么mn 的最大值为〔 〕〔A 〕16 〔B 〕18 〔C 〕25 〔D 〕8122.【2021高考北京，理2】假设x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，那么2z x y =+的最大值为〔 〕A ．0B ．1C ．32D ．23．【2021高考广东，理6】假设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 那么y x z 23+=的最小值为〔 〕 A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 4.【2021高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，假设p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，那么以下关系式中正确的选项是〔 〕 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =<D ．p r q =>5．【2021高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 假设存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，那么正整数n 的最大值是〔 〕 A ．3 B ．4 C ．5 D ．66.【2021高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，那么目标函数6z x y =+的最大值为( )〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕18 〔D 〕407.【2021高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔 〕A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A 〔吨〕 32 12B 〔吨〕 12 88.【2021高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是〔 〕 〔A 〕〔-，4〕 〔B 〕〔-，1〕 〔C 〕〔1，4〕 〔D 〕〔1，5〕9.【2021高考福建，理5】假设变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩那么2z x y =- 的最小值等于 ( ) A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 10.【2021高考山东，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，假设z ax y =+的最大值为4，那么a = 〔 〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕-2 〔D 〕-311.【2021高考新课标1，理15】假设,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，那么y x 的最大值为 .12.【2021高考浙江，理14】假设实数,x y 满足221x y +≤，那么2263x y x y +-+--的最小值是 ．13．【2021高考新课标2，理14】假设x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，那么z x y=+的最大值为____________． 14.【2021高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.15.【2021高考湖南，理4】假设变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么3z x y =-的最小值为〔 〕【2021高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，以下选项中，能推出方程③无实根的是〔 〕A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根2021年高考数学理试题分类汇编一、选择题1、〔2021年北京高考〕假设x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么2x y +的最大值为〔 〕A.0B.3C.4D.52、〔2021年山东高考〕假设变量x ，y 满足那么22xy 的最大值是〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10 〔D 〕123、〔2021年四川高考〕设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩那么p 是q 的〔A 〕必要不充分条件 〔B 〕充分不必要条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件4、〔2021年天津高考〕设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩那么目标函数25z x y =+的最小值为〔 〕〔A 〕4-〔B 〕6〔C 〕10〔D 〕175、〔2021年浙江高考〕在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，那么│AB │= A ．2 B ．4 C ．2 D ．66、〔2021年北京高考〕x ，y R ∈，且0x y >>，那么〔 〕 A.110x y-> B.sin sin 0x y -> C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +>二、填空题1、〔2021年上海高考〕设x R ∈,那么不等式13<-x 的解集为______________________2、〔2021年上海高考〕设.0,0>>b a 假设关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，那么b a +的取值范围是____________3、〔2021年全国I 高考〕某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料. kg ，乙材料1 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.4、〔2021年全国III 高考〕假设,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩那么z x y =+的最大值为_____________.不等式一．选择题： 1．(2021上海) 【答案】 B 2．(2021四川) 【答案】D 3.(2021上海) 【答案】 22 4.(2021新课标I). 【答案】：C5. (2021新课标II) 答案：B 6(2021天津) 【答案】B 7. (2021广东) 【答案】C 8. (2021北京) 【答案】D 9(2021天津) 【答案】C 【解析】.. .|,||||;|||, .-||,-||00≤3.|,||||;|||, 002∴,|,|||;∴|,|||, ||,||0≥012222C b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a b a b b a a b b a a b a b a b a b b a a b b a a b a b b b a a a b a 选综上，是充要条件则若则若时，，）当（则若则若时，，）当（是必要条件则若是充分条件则若时，，）当（>>>>==<>>>><>>>>>==>10(2021江西) 【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+= 二．填空题 1. 〔2021大纲〕 【答案】5. 2〔2021浙江〕31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3、〔2021福建〕60 4〔2021福建〕1 5 (2021重庆)【答案】]211-[， 【解析】]211-[∈1-2≥0221≥25221≥)(∴25)21f(|2||21-||21-|)(222，解得，，即恒成立，即有最小值由数轴可知，a a a a a a a x f x x x x f +++++=+++= 6. 〔2021辽宁〕 【答案】-2 【解析】2-54-3.2-)4-1(211054-3654-3.58|22|1032,153:2151:)2-2∴)22(≥])153([1⇒]1532151)2-2[≥])153([1])215()2-2[])153([1∴0-)215()2-2-42-42222222222222222的最小值为所以，这时，取最大值时，，即当（（（（cb a b b b b bc b a c b a b c b a b b a b a c b b a b ba c cb ba cb ab a +≥=+=++===++••+•+•+=+•=+=+ 7(2021湖南).【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且不等式组,4y x x y ≤+≤限制的区域如图,所以2k ≤,那么当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划 8(2021湖南)9 (2021陕西) (不等式选做题)A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+三．解答题 1. (2021新课标I) 【解析】：(Ⅰ) 11ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==故3333342ab a b +≥=，且当2a b ==∴33a b +的最小值为42 ………5分〔Ⅱ〕由62326a b ab =+≥，得32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分 2. (2021新课标II)3. 〔2021辽宁〕【答案】 〔1〕}34≤≤0|{x x 〔2〕 【解析】〔1〕}34≤≤0|{].34,0[1≤)(∴1≤01;34≤≤11≥.1≤1-|1-|2)(x x M x f x x x x x x x f =<<+=所以，的解集为时，解得当时，解得当〔2〕222222223222213()16814444133[0,],[,],[0,]3444()[()][2(1)1](1)(1)(1)(12)111(1)(1)22413()[()],[0,]44g x x x xMN M N x f x x f x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x f x x f x x ，解得--4〔2021福建〕解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.二．2021年高考不等式真题答案1.【2021高考四川，理9】 【答案】B 【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..2.【2021高考北京，理2】【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，那么1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2.3．【2021高考广东，理6】 【答案】C ．4.【2021高考陕西，理9】 【答案】C【解析】(p f ab ab ==()ln22a b a bq f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，应选C ． 5．【2021高考湖北，理10】 【答案】B【解析】因为[]x 表示不超过x 1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数n 的最大值是4.6.【2021高考天津，理2】 【答案】C7.【2021高考陕西，理10】【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，那么利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影局部区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，应选D ．8.【2021高考山东，理5】 【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩ 解〔I 〕得：1x < ,解〔II 〕得：14x ≤< ,解〔III 〕得：x φ∈ , 所以，原不等式的解集为{}4x x < .应选A. 9.【2021高考福建，理5】10.【2021高考山东，理6】 【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如以下图中的阴影局部所示，假设z ax y =+的最大值为4，那么最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.应选B.11.【2021高考新课标1，理15】【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A 〔1,3〕与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.12.【2021高考浙江，理14】 【答案】3.13．【2021高考新课标2，理14】【答案】32【解析】画出可行域，如下图，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，那么z x y =+的最大值为32．学优高考网【考点定位】线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO14.【2021高考江苏，7】 【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 15.【2021高考湖南，理4】【答案】A.【解析】如以下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：30x y -=，平移l ，从而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，应选A.【2021高考上海，理17】【答案】B2021年高考数学理试题分类汇编一、选择题1、〔2021年北京高考〕【答案】C2、〔2021年山东高考〕【答案】C3、〔2021年四川高考〕【答案】A4、〔2021年天津高考〕【答案】B5、〔2021年浙江高考〕【答案】C6、〔2021年北京高考〕【答案】C二、填空题1、〔2021年上海高考〕【答案】〔2,4〕2、〔2021年上海高考〕【答案】2+（，）3、〔2021年全国I高考〕【答案】2160004、〔2021年全国III高考〕【答案】3 2。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

1.（2018•卷Ⅱ)设函数（1）当时,求不等式的解集;（2）若，求的取值范围2.（2013•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a｜，其中a＞1（1)当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4｜的解集；（2）已知关于x的不等式｜f(2x+a）﹣2f（x)｜≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017•新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=｜x+1|﹣｜x﹣2｜．（Ⅰ)求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．4。

(2017•新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲］已知a＞0，b＞0,a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b)(a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．5。

（2017•新课标Ⅰ卷)[选修4-5:不等式选讲］已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x)=|x+1|+|x﹣1｜．（10分）（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x)的解集；（2)若不等式f(x）≥g(x）的解集包含[﹣1，1］，求a的取值范围．6.（2017•新课标Ⅱ）[选修4—5：不等式选讲]已知a＞0,b＞0,a3+b3=2,证明：（Ⅰ）（a+b）(a5+b5）≥4;(Ⅱ）a+b≤2．7。

（2018•卷Ⅰ)已知(1)当时，求不等式的解集（2）若时，不等式成立，求的取值范围8。

（2018•卷Ⅰ)已知f（x)=｜x+1｜-|ax—1｜（1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集(2）若x∈（0,1）时不等式f（x）>x成立，求a的取值范围9。

(2017•新课标Ⅲ）[选修4-5:不等式选讲］已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x)≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．10。

（2014•新课标II）设函数f（x)=|x+ |+｜x﹣a｜（a＞0）．(1）证明：f（x）≥2；(2）若f（3）＜5,求a的取值范围．11。

【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．2．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A B ．1)C ．D ．4【答案】D 【解析】 【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x yx x PM P P M x F x Q P x x-+-+====+≥-，当4xx=，即2x=时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．在平面直角坐标系中，不等式组20{20x yx yy+-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）A．42B．4 C．22D．2【答案】B【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部．可得，A（2，0），B（0，2），C（-2，0），显然三角形ABC的面积为．故选B．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．2 B ．52C ．3D ．32【答案】A 【解析】()220{,440a f x acb b ac >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，()()11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()()120f a c f ='时，不等式取等号，故的最小值为5．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C ．()2f x =D ．()42xxf x e e =+- 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1f x x x=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()2f x ==，故()f x ≥，C 错误； D. ()4222xx f x e e =+-≥=，当4xx e e=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.6．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数2232()13a c f x x bx x +-=+++的导函数为()f x '，当函数[]()ln ()g x f x '=的定义域为R 时，B Ð的取值范围为( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，依题意即222()3203a c f x x bx +-'=++>恒成立，所以()222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；【详解】解：因为2232()13a c f x x bx x +-=+++，所以222()323a c f x x bx +-'=++，若()g x 的定义域为R ，则有()222(2)40b a c ∆=-+-<，即222a c b +->，结合余弦定理，222cos 22a cb B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.7．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2【答案】D 【解析】 【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.8．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）A ．22B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出22x y +的最小值，进而可得出实数z 的最小值. 【详解】作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()222min212x y⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭. 由于22z x y =+，所以，min 12z =. 因此，实数z 的最小值为12. 故选：C. 【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1292S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.10．已知0a >，0b >，且()122y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为（ ） A ．18B ．14C ．12D ．34【答案】A 【解析】 【分析】根据()122y a b x =+为幂函数，得到21a b +=，再将ab 变形为ab 122a b =⋅利用基本不等式求解. 【详解】因为()122y a b x =+为幂函数， 所以21a b +=， 又因为0a >，0b >，所以ab 2112122228a b a b +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21a b +=，2a b =即11,24a b ==取等号. 所以ab 的最大值为 18. 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的定义和基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.11．已知,a b 都是正实数，则222a ba b a b+++的最大值是（ ）A ．23-B ．3-C ．1D ．43【答案】A 【解析】 【分析】设2,2m a b n a b =+=+，将222a b a b a b+++，转化为2222233a b n ma b a b m n +=--++，利用基本不等式求解. 【详解】设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n ma b --==，所以222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当233n mm n=时取等号. 所以222a b a b a b +++的最大值是2-. 故选：A 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．13．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】222x y x y ++≥Q 且224x y+≤ ，224222x y x y x y ++∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，又2x y xy +≥Q ，0,0x y >>221xy xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.14．若变量x ，y 满足2,{239,0,x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是A ．4B ．9C ．10D ．12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点A （3，-1）到原点距离最大，所以22max ()10x y +=，选C.【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间的距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力.15．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()222122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．14π B ．12πC ．πD ．32π 【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪++⎨⎪-+-⎩„…„的可行域如图： 可行域是扇形，14个圆，面积为：211144ππ⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1,2)-B ．(,2)(1,)-∞-+∞UC ．()2,1-D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 【答案】D 【解析】【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.【详解】若不等式24y x m m +<-有解，即2()4min y m m x ->+即可， 142x y +=Q，1212x y∴+=， 则12122211121212112442248842y y x y x y x x x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当28x yy x=，即2216yx=，即4y x=时取等号，此时1x=，4y=，即()24minyx+=，则由22m m->得220m m-->，即()()120m m+->，得2m>或1m<-，即实数m的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，故选D．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．17．已知M、N是不等式组1,1,10,6xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN的最大值是（）A．17B．342C．32D．172【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.18．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． AB．C．2 D．【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥= 当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(1,0]-【答案】A【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．【详解】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．【点睛】本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．20．若，，则（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】【分析】【详解】 试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A 错误，，选项B 错误，，选项D 错误， 因为选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.。

2025版新高考版高考总复习数学2.2基本不等式五年高考考点基本不等式1.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分,中)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分,中)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12 B.2a−b>12C.log2a+log2b≥-2D.√a+√b≤√2答案ABD3.(2020江苏,12,5分,中)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是.答案454.(2019天津理,13,5分,中)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.答案4√35.(2019江苏,10,5分,中)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案 46.(2017天津,12,5分,中)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1ab的最小值为.答案 4三年模拟综合基础练1.(2024届湖北宜荆荆随联考,6)已知a,b均为正数,且a+2b=1,则2a +4a+bb的最小值为()A.11B.13C.10D.12答案A2.(2024届黑龙江联考(二),6)已知a、b均为正数,则不等式4a+2b≥8成立是不等式ab≥2成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2024届吉林吉大附中实验学校第一次摸底,6)设实数x,y满足x+y=1,y>0,x≠0,则1|x|+2|x|y的最小值为()A.2√2−1B.2√2+1C.√2−1D.√2+1答案A4.(2023山西太原一模,14)已知x>0,y>0,1x +y=2,则xy的最小值为.答案 1综合拔高练1.(2024届河北邢台第一中学月考,7)已知正实数a,b满足ab=3-a-b,若3a+2b≥m恒成立,则m的最大值为() A.4√6−5 B.5 C.√95−5 D.3√7答案A2.(多选)(2024届河南顶级名校月考,12)已知a>0,b>0,a+b-12a −2b=32,则以下正确的是()A.若a<b,则a<1B.若a<1,则b>2C.a+b的最小值为3D.ab的最大值为2答案BC3.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检(一),10)已知正实数x,y满足x+y=1,则()A.x2+y的最小值为34B.1x +4y的最小值为8C.√x+√y的最大值为√2D.log2x+log4y没有最大值答案AC4.(2024届吉林吉大附中实验学校第一次摸底,14)若a,b,c>0,且a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c 的最小值为.答案4。