2018年中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第18课时三角形与等腰三角形检测湘教版

课时训练(十八)三角形与等腰三角形
|夯 实 基 础|
一、选择题
1．[2017·衡阳]下列命题是假命题的是( )
A．不在同一直线上的三点确定一个圆
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．正六边形的内角和是720°
D．角的边越长，角就越大
2．[2017·黔东南州]如图K18－1，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是( )

图K18－1
A．120° B．90°
C．100° D．30°
3．[2016·贵港]在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为( )
A．35° B．40°
C．45° D．50°
4．[2017·扬州]若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是( )
A．6 B．7
C．11 D．12
5．[2016·西宁]下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( )
A．3 cm，4 cm，8 cm
B．8 cm，7 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，11 cm
D．13 cm，12 cm，20 cm
6．[2017·滨州]如图K18－2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )

图K18－2
A．40° B．36°
C．80° D．25°
7．[2017·庆阳]已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A．2a＋2b－2c B．2a＋2b
C．2c D．0
8．[2017·天津]如图K18－3，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列
线段的长等于BP＋EP最小值的是( )

图K18－3
A．BC B．CE C．AD D．AC
二、填空题
9．[2017·常德]命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：________________________．
10．[2016·徐州]若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，则它的底边长为________cm.
11．[2016·张家界]如图K18－4，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，且AB＝6 cm，AC＝8
cm，则四边形ADEF的周长等于________cm.

图K18－4

图K18－5
12．[2017·益阳]如图K18－5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE
＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
13．[2016·龙岩]如图K18－6，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝
30°，则BC＝________．

图K18－6
图K18－7
14．[2016·南京二模]如图K18－7，一束平行太阳光照射到等边三角形上，若∠α＝28°，则∠β＝
________°.

三、解答题
15．[2017·内江]如图K18－8，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
求证：△BDE是等腰三角形．

图K18－8
16．如图K18－9，AE平分∠BAC，△AEC沿EC折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且BD＝DE.若∠ACB＝60°，
求∠B的度数．
图K18－9
17．如图K18－10，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝12BC，连接
CD和EF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)求EF的长．

图K18－10
|拓 展 提 升|
18．[2017·宁夏]如图K18－11，在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，
PN⊥AC，M、N分别为垂足．
(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
(2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大？并求出最大值．

图K18－11
参考答案
1．D
2．C [解析] ∵∠ACD＝120°，∠B＝20°，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－20°＝100°.
3．C [解析] 根据三角形内角和定理得∠C＝180°－95°－40°＝45°.
4．C [解析] 根据“两边之差<第三边<两边之和”，所以第三边长大于2且小于6，因此周长大于8且小于12，
所以三角形的周长可能是11.
5．D [解析] ∵13＋12＞20，∴长度为13 cm，12 cm，20 cm的木棒可以构成三角形．
6．B [解析] 设∠C＝x°，由DA＝DC，可得∠DAC＝∠C＝x°，由AB＝AC可得∠B＝∠C＝x°.∴∠ADB＝∠C＋
∠DAC＝2x°，由于BD＝BA，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，根据三角形内角和定理，得x°＋x°＋3x°＝180°，解得x＝
36.所以∠B＝36°.
7．D [解析] 根据三角形三边满足的条件：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，即可确定a＋b－c＞0，c
－a－b＜0，所以原式＝a＋b－c＋c－a－b＝0，故选D.
8．B [解析] 由AB＝AC，可得△ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD
对称，连接CP，则BP＝CP，因此BP＋EP的最小值为CE，故选B.
9．如果m是有理数，那么它是整数
10．2 3 [解析] 过顶角的顶点A作AD⊥BC于D点．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∠BAC＝120°，∴∠B＝30°.
∵AD⊥BC，∴BC＝2BD.
∵AB＝2，

∴在Rt△ABD中，BD＝ABcosB＝2×32＝3，
∴BC＝2 3.
11．14 [解析] 因为点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，所以DE，EF为△ABC的中位线，DE＝AF＝4，AD
＝EF＝3.故四边形ADEF的周长为2(AD＋EF)＝14.
12．2a＋3b
13．2 [解析] 在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，
BD⊥AC，∴在Rt△BDC中，BC＝2DC.由外角性质有∠ACB＝∠E＋∠CDE＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝
2CD＝2.
14．32 [解析] 依题意有∠α＋∠β＝60°，又∠α＝28°，∴∠β＝32°.
15．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDA.
∵AD⊥BD，
∴∠BAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.
∴△BDE是等腰三角形．
16．解：如图，由折叠的性质知∠3＝∠4，即CE是∠ACB的平分线．
又∵AE平分∠BAC，
∴根据三角形三条角平分线交于一点，
连接BE，则BE平分∠ABC.
设∠5＝∠6＝x°，则∠ABC＝2x°.
∵BD＝DE，
∴∠5＝∠7＝x°.
由三角形外角性质得∠EDC＝∠5＋∠7＝2x°，
∴∠2＝∠EDC＝2x°，
∴∠BAC＝4x°，
根据三角形内角和定理建立方程2x°＋4x°＋60°＝180°，解得x＝20，
∴∠ABC＝2x°＝40°.

17．解：(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝12BC.

∵CF＝12BC，
∴DE＝CF.
(2)由(1)知DE∥FC，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF.
∵D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝3，
∴EF＝3.
18．解：(1)证明：连接AP，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，设BC边上的高为h，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴

S△ABC＝S△ABP＋S△ACP＝12AB·MP＋12AC·PN＝12BC(PM＋PN)，

又∵S△ABC＝12BC·h，∴PM＋PN＝h，即不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的
高．
(2)设BP＝x，在Rt△BMP中，∠BMP＝90°，
∠B＝60°，

∴BM＝BP·cos60°＝12x，MP＝BP·sin60°＝32x，

∴S△BMP＝12BM·MP＝12·12x·32x＝38x2.
∵BC＝2，∴PC＝2－x，同理可得：S△PNC＝38(2－x)2.
又∵S△ABC＝34×22＝3，
∴S四边形AMPN＝S△ABC－S△BMP－S△PNC＝3－38x2－38(2－x)2＝－34(x－1)2＋3 34，
∴当BP＝1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是3 34.