几何体三视图

必修二1.1-1.2练习题一．选择题（共18小题）1．下列说法正确的是（）A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D．过圆台侧面上一点有无数条母线2．已知A={正四棱柱}，B={直四棱柱}，C={长方体}，D={直平行六面体}，则（）A．A⊆C⊆B⊆D B．C⊆A⊆B⊆D C．C⊆A⊆D⊆B D．A⊆C⊆D⊆B3．将图所示的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（）A．B．C．D．4．若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体的对角线长是（）A．B．C．D．5．棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C 上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2B．C．D．26．正三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AC，且BC=1，则三棱锥A﹣BCD的高为（）A．B．C．D．7．（2016•江西校级二模）已知正三棱锥P﹣ABC底面边长为6，底边BC在平面α内，绕BC旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，3]C．（0，]D．（0，]∪[3，]8．（2016春•福建校级期中）观察如图所示几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱9．（2016春•衡水校级期中）正四棱锥的侧棱长是底面长的k倍，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞}）C．（，+∞）D．（，+∞）10．（2016春•石嘴山校级期末）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱11．（2013春•漳州校级月考）一个正四棱台的两底面边长分别为m，2m，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为（）A．B．2m C．D．12．（2016•歙县校级模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．113．（2013秋•沁阳市校级期末）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（）A．30m B．25m C．20m D．15m14．（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π15．（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．116．（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．17．（2016•长沙模拟）已知某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球18．（2016•衡阳校级模拟）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的体积为：（）A．12πcm3B．15πcm2C．36πcm3D．以上都不正确二．填空题（共3小题）19．（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．20．（2016•北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．21．（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．三．解答题（共5小题）22．（2016•嘉定区三模）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．23．（2016春•长沙校级期中）直角三角形边长分别是3cm，4cm，5cm，绕斜边旋转一周形成一个几何体，求这个几何体的表面积和体积．24．（2015•上海模拟）如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2π，宽AA1为2的矩形．（1）求此圆柱的体积；（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）．25．（2015秋•成都校级月考）己知一几何体的三视图，试根据三视图计算出它的表面积和体积（结果保留π）．26．（2015春•毕节市校级月考）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm）．（1）求该几何体的面积S（2）求该几何体的体积V．参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2016春•重庆校级期中）下列说法正确的是（）A．圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B．棱柱的两个底面全等且其余各面都是矩形C．任何一个棱台的侧棱必交于同一点D．过圆台侧面上一点有无数条母线【分析】在A中，圆锥的侧面展开后是一个扇形；在B中，棱柱的两个底面全等且其余各面都是平行四边形；由棱台的定义得C正确；在D中，过圆台侧面上一点有且只有1数条母线．【解答】解：在A中，圆锥的侧面展开后是一个扇形，不是等腰三角形，故A错误；在B中，棱柱的两个底面全等且其余各面都是平行四边形，故B错误；在C中，由棱台的定义得任何一个棱台的侧棱必交于同一点，故C正确；在D中，过圆台侧面上一点有且只有1数条母线，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥、棱柱、棱台、圆台的性质的合理运用．2．（2015秋•沈阳校级月考）已知A={正四棱柱}，B={直四棱柱}，C={长方体}，D={直平行六面体}，则（）A．A⊆C⊆B⊆D B．C⊆A⊆B⊆D C．C⊆A⊆D⊆B D．A⊆C⊆D⊆B【分析】根据各几何体的定义的内涵和外延进行解答．明确正四棱柱、直四棱柱、长方体、直平行六面体间的概念的内涵，四个定义中底面的形状的要求，侧棱和底面的关系，容易得到答案【解答】解：A={正四棱柱}；底面是正方形的直棱柱；B={直四棱柱}：是侧棱与底面垂直的四棱柱，底面是四边形即可；C={长方体}：底面是矩形侧棱垂直底面的四棱柱；D={直平行六面体}：底面是平行四边形、侧棱垂直底面的四棱柱；故选D【点评】本题考查棱柱的结构特征，对概念的理解，概念间的关系，是基础题．3．（2014•崇明县二模）（文）将图所示的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（）A．B．C．D．【分析】应先得到旋转后得到的几何体，它是一个是两个圆锥的组合体，找到从正面看所得到的图形即可得到得到的几何体的正视图．【解答】解：绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体是两个圆锥的组合体，它的正视图是两个等腰三角形，三角形之间有一条虚线段，故选B．【点评】本题考查了构成空间几何体的基本元素、三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图．4．（2016•闸北区二模）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体的对角线长是（）A．B．C．D．【分析】先求出长方体的棱长，再求出长方体体对角线长，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：设同一顶点的三条棱分别为x，y，z，则x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2得x2+y2+z2=（a2+b2+c2），则对角线长为．故选：B．【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体对角线长与其棱长的关系，以及设而不求，训练了空间想象能力．5．（2016•温州二模）棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2B．C．D．2【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得出结论．【解答】解：由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM=2．EN=，∠MEN=135°，∴MN==．故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（2016•重庆模拟）正三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AC，且BC=1，则三棱锥A﹣BCD的高为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为底面三角形的重心，由已知求出侧棱长及底面BO的长，再由勾股定理得答案．【解答】解：如图，过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为底面三角形的重心．又A﹣BCD为正三棱锥，且BC=1，AB⊥AC，∴AB=，AE=，则BO=．则AO=．故选：A．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．7．（2016•江西校级二模）已知正三棱锥P﹣ABC底面边长为6，底边BC在平面α内，绕BC旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[，3]C．（0，]D．（0，]∪[3，]【分析】利用选择题的特点，借助题中答案的端点值判断，当△PBC在平面α内时，它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，再求出P不在平面α内时的部分范围，结合选项得答案．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的高为h，在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE=×，当h=时，PE=，PB==，△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合，P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=3⇒PE=＞3，又PE==＞3，∴h2＞6，∴h＞．由选项可知B符合，故选：B．【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查点，线，面在平面内的投影问题，体现了极限思想的运用，是压轴题．8．（2016春•福建校级期中）观察如图所示几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱【分析】直接利用柱、锥、台的定义判断即可．【解答】解：图形①，不满足棱台的定义，所以①不正确；图形②，不满足圆台的定义，所以②不正确；图形③满足棱锥的定义，所以③正确；图形④是棱柱，所以④的判断不正确．故选：C．【点评】本题列出柱、锥、台的定义的应用，是基础题．9．（2016春•衡水校级期中）正四棱锥的侧棱长是底面长的k倍，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞}）C．（，+∞）D．（，+∞）【分析】从棱锥顶点向底面正方形中心引一辅助线，该辅助线垂直底面，辅助线、侧棱与正方形对角线的一半构成直角三角形，侧棱为斜边；根据直角三角形中的边角关系即可求出k的取值范围．【解答】解：如图所示，设正四棱锥V﹣ABCD底面中心为O，BC=a，则VB=ka，易知OB=a；在Rt△VOB中，cos∠VBO==，∵∠VBO∈（0，），∴0＜＜1，∴，解得k＞；∴k的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是基础题目．10．（2016春•石嘴山校级期末）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果．【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C．【点评】本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．11．（2013春•漳州校级月考）一个正四棱台的两底面边长分别为m，2m，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为（）A．B．2m C．D．【分析】设该棱台的高为h，斜高h′=，于是S侧面积=[（m+2m）•h′]×4=m2+4m2，从而可求得h．【解答】解：设该棱台的高为h，则斜高h′==，∵该棱台侧面积等于两个底面积之和，∴S侧面积=[（m+2m）•h′]×4=m2+4m2，∴h2=（﹣）m2=m2，∴h=．故选A．【点评】本题考查棱台的侧面积，关键是要搞清楚棱台的高、斜高与上下底面的边长之间的关系，难点在于复杂的计算，属于中档题．12．（2016•歙县校级模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．1【分析】根据圆锥底面半径对于侧面展开图的弧长关系分别计算三个圆锥底面半径．【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的侧面展开图，属于基础题．13．（2013秋•沁阳市校级期末）在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA1、BB1、CC1的长度分别为10m、15m、30m，则立柱DD1的长度是（）A．30m B．25m C．20m D．15m【分析】根据题意知四边形ABCD是平行四边形，故A、B、C、D在同一平面内，则CC1和BB1的差额与D1D和AA1的差额相等，代入数据求出值．【解答】解：由题意知四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，则CC1和BB1的差额与D1D和AA1的差额相等，即立柱DD1的长度是30﹣（15﹣10）=25m．故选B．【点评】本题考查了几何体的结构特征，考查了空间想象能力和分析、解决问题的能力．14．（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．15．（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．1【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，高为1，故棱锥的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．16．（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，棱CD1在左侧面的投影为BA1，故选B．【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．17．（2016•长沙模拟）已知某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆台．【解答】解：一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆台．故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力．18．（2016•衡阳校级模拟）有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的体积为：（）A．12πcm3B．15πcm2C．36πcm3D．以上都不正确【分析】先根据三视图对几何体进行还原，再由三视图的长度求出对应几何体的长度，代入对应的体积公式求解．【解答】解：由三视图知该几何体是底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥，则它的高是4cm，∴此圆锥的体积是×π×9×4=12πcm3故选A．【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，关键是根据三视图对几何体进行还原，并且求出几何体中几何元素的长度，代入相应的公式求解，考查了空间想象能力．二．填空题（共3小题） 19．（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 80 cm 2，体积是 40 cm 3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2， 表面积为2×4×4+2×42=64cm 2，体积为2×42=32cm 3； 上部为正方体，其棱长为2，表面积是6×22=24 cm 2，体积为23=8cm 3； 所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm 2， 体积为32+8=40cm 3． 故答案为：80；40．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．20．（2016•北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=， 棱柱的高为1， 故棱柱的体积V=， 故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．21．（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．三．解答题（共5小题） 22．（2016•嘉定区三模）如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱． （1）用x 表示此圆柱的侧面积表达式；（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【分析】（1）设圆柱的底面半径为r ，根据相似比求出r 与x 的关系，代入侧面积公式即可； （2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x 的值，代入体积公式即可． 【解答】解：（1）设圆柱的半径为r ，则，∴r=2﹣x ，0＜x ＜2．∴S 圆柱侧=2πrx=2π（2﹣x ）x=﹣2πx 2+4πx ．（0＜x ＜2）．（2），∴当x=1时，S 圆柱侧取最大值2π， 此时，r=1，所以．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题． 23．（2016春•长沙校级期中）直角三角形边长分别是3cm ，4cm ，5cm ，绕斜边旋转一周形成一个几何体，求这个几何体的表面积和体积．【分析】判断旋转体的形状，求出圆锥的底面半径，高以及母线，然后全集集合体的表面积与体积．【解答】解：绕斜边旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥，底面半径为，高分别是和对应母线长分别是3和4，所以．【点评】本题考查旋转体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．24．（2015•上海模拟）如图：将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2π，宽AA1为2的矩形．（1）求此圆柱的体积；（2）由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达A1，求绳长的最小值（绳粗忽略不计）．【分析】（1）利用将圆柱的侧面沿母线AA1展开，得到一个长为2π，宽AA1为2的矩形，求出圆柱的底面半径、高，再求出此圆柱的体积；（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，则2πr=2π，h=2，∴r=1，h=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴V=πr2h=2π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）设AA1中点为B，侧面展开图矩形为ACC1A1，CC1中点为B1．则绳长的最小值即为侧面展开图中的AB1+BC1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）AB1=BC1=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴绳长的最小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．25．（2015秋•成都校级月考）己知一几何体的三视图，试根据三视图计算出它的表面积和体积（结果保留π）．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和球的组合体，代入体积和表面公式，可得答案；【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个长方体和球的组合体，长方体的长，宽，高分别为：8，4，20，球的直径为4，故几何体的表面积S=4π•22+2（8×20+8×4+20×4）=544+16π；几何体的体积V==640+【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．26．（2015春•毕节市校级月考）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm）．（1）求该几何体的面积S（2）求该几何体的体积V．【分析】根据三视图可知：几何体为下面是棱长为2cm的正方体，上面是正四棱锥的组合体，（1）求出各个面的面积，相加可得该几何体的表面积S（2）求出正方体和棱锥的体积，相加可得该几何体的体积V．【解答】解：（1）根据三视图可知：几何体为下面是棱长为2cm的正方体，上面是正四棱锥的组合体…（2分）正四棱锥的底面为棱长为2cm的正方形，椎体的高为1cm，椎体的斜高为…（4分）所以几何体的表面积为=20+4cm2…（6分）即表面积S=20+4cm2…（7分）（2）正方体体积…（9分）四棱锥体积…（11分）几何体的体积…（12分）。