等比数列的定义(一)

等比数列的定义（一）

一．知识梳理

1.等比数列的定义

（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项都与它的前一项的_____都等于________.那么这个数列就叫做等比数列，这个_______叫做等差数列的_______,公比用字母_____表示.

（2）等比数列的符号语言：在等比数列{}n a 中，如果_______________（*∈N n ）（或者q a a n n =-1

,*∈≥N n n ,2） 2.等比数列的通项公式

如果等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，那么它的通项公式是________________.

3.等比中项

（1） 如果三个数b G a ,,成等比数列，那么_____叫做a 与b 的等比中项.且=G _________.

（2）若11,,+-n n n a a a 成等比数列，则=?+-11n n a a _________.

4.等比数列的性质：

若数列{}{}n n b a ,分别是以21,q q 为公比的等比数列：

（1）数列{}n a c ?是以公比为______的等比数列..

（2）数列{}n a 2是以公比为______的等比数列.

（3）数列{}n n b a ?是以公比为______的等比数列.

二．预习自测

1.下面四个数列：

（1）;64,32,16,8,4,2,1,1 （2）在数列{}n a 中，已知;2,22

312==a a a a （3）常数列;,,,,,??????a a a a （4）在数列{}n a 中，

)0(1≠=+q q a a n

n 其中一定是等比数列的是________.

2.等比数列{}n a 满足0852=+a a ，则公比=q _________. A.2 B.2- C.2± D.3

3.已知等比数列{}n a 的公比为0>n a 2且，若16113=?a a ，则=5a _________.

A.1

B.2

C.8

D.4

4.在等比数列???++,66,33,x x x 的第四项为__________.

A.24-

B.0

C.12

D.24

5.已知等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和=n S ____.

A.)1(+n n

B.)1(-n n

C.2)1(+n n

D.2

)1(-n n 6.8

2是等比数列???,22,4,24的第_____项 A.10 B.11 C.12 D.13

7.在等比数列{}n a 中，.8,3253==a a

（1）求n a ； （2）若,2

1=

n a 求n .

三．典例解析

例一：在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，求

10

42931a a a a a a ++++的值.

例二：若数列{}n a 为等比数列：

（1）求证：),(*-∈=N m n q a a m n m n ； （2）,1,9,186352==+=+n a a a a a 求.n

例三：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和为16，第二个数和第三个数和为12，求这四个数.

例四：已知数列{}n a 的前n 项和为).1(31,-=

n n n a S S 求证：数列{}n a 是等比数列并求.n a

例五：已知数列{}n a 中，).2(12,111≥+==-n a a a n n

（1）证明：数列{}1+n a 是等比数列; （2）求.n a

(完整版)等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等比数列的定义教学设计

等比数列的定义 广州市财经职业学校公共基础教学部丁勇 【授课班级】：10级会计17班 【学生人数】：55人 【授课使用的教材】：中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学基础模块（下）》【教学内容】：等比数列的定义 【教学目标】： 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。 2.通过等比数列的研究逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。培养学生发现并解决问题的数学建模能力及运用方程思想计算的能力。 3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯以及实事求是的科学态度。 【教学重点、难点】： 教学重点是等比数列的定义和等比数列通项公式的认识与应用。等比数列是一类特殊的数列，可以类比等差数列的学习方法来探究等比数列的特性。 教学难点是等比数列通项公式的形式及应用。 【教学方法】：探究式教学法，小组合作学习 【媒体选择】：Powerpoint制作的多媒体课件一套 【教学教具】：计算器、报纸若干 【教学过程】 一、复习提问 问题一：等差数列的定义？ 问题二：等差数列的通项公式推导？ 设计意图：通过复习等差数列知识，为本课等比数列的讲授做铺垫。便于学生将旧知识与新知识进行类比，利用熟悉的知识分散难点。 二、导入新课 问题一、细胞分裂：一个细胞，每隔一分钟后一分为二，第五分钟后有几个细胞？ 问题二、阅读课本趣味小故事。 引导学生通过“观察、分析、归纳”得出等比数列的定义及通项公式。教师用课件演示细胞分裂（草履虫细胞分裂短片），调动学生的积极性，并由此引导学生探寻等比数列的定义及通项公式。 设计意图：由特殊到一般，由具体到抽象，由低级到高级的顺序引出定义，学生易于接受。形象生动的视频资料便于学生对于问题一的理解分析。趣味性的问题可以提高学生的学

等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中 授课时间：20XX年4月22日 授课人：武威六中杨志隆 一、教学目标 知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。 过程与方法 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 二、教学重点、难点 教学重点： 等比数列的概念及通项公式； 教学难点： 通项公式的推导及初步应用。 三、教学方法 发现式教学法，类比分析法 四、教学过程 （一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质 设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示

情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题 把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ??????16 1,81,41,21,1 ② 1,2,4,8,16,32,64?????? 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。 （二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解 给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。 问题1：等比数列的项可以为零吗？ 问题2：等比数列的公比可以为零吗？ 问题3：若0>q ，等比数列的项有什么特点？0

2016年专项练习题集-数列、等比数列、等比数列的判断与证明

2016年专项练习题集-数列、等比数列、等比数列的判断与证明 1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11(1)2(0,2)n n n S S S n λλλ+-+=++≠≥，若数列{}1n a +是等比数列，则实数λ的值等于（ ） A ．1 B ．1- C ． 1 3 D ．3 【分值】5 【答案】D 【易错点】不知如何对递推关系式进行变形。 【考查方向】本题主要考查了等比数列的判定、通项公式的应用，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与等比数列的定义及性质交汇命题。 【解题思路】把已知数列递推式变形，由数列{}+1n a 是等比数列求实数λ的值。 【解析】试题分析：由11(1)2n n n S S S λλ+-+=++整理得111()2n n n n S S S S λ+---=-+，化简得：12n n a a λ+=+,得13 13()n n n a a a λλλ ++=+=+ ，由于数列{1}n a +是等比数列,所以 3 1λ =，解得3λ=，故选D. 2.已知数列{}n a 与{}n b 的各项均为正数，且满足关系式：*11 ln 3()n b n a dx n N x =∈?，则“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也必要条件

【分值】5 【答案】C 【易错点】对等差数列与等比数列的定义不清楚导致本题出错。 【考查方向】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断及等差数列与等比数列的定义、定积分的计算等知识点，是高考考察的重点内容，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与不等式、等差数列、等比数列的概念、定积分的计算等知识点交汇命题。 【解题思路】根据充分条件与必要条件的定义结合等差数列与等比数列的定义进行判断。 【解析】试题分析：由1 1 ln 3n b n a dx x =? 整理得：*3()n a n b n N =∈当数列{}n a 是公差为d 的等差数列时，11333n n a d n a n b b --==，所以数列{}n b 是等比数列；当数列{}n b 是公比为q 的等比 数列时，1113133,log 3 n n n n a a a n n n a n b q a a q b -----===∴-=， 所以数列{}n a 是等差数列；因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充要条件．故选择C 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1 cos()(,2)22 n n n n S S n n N n -=+π∈≥，则数列{}n a 的前100项和100S =（ ） A.0 B.101 223 - C.101 22- D. 100 2(21)3 - 【分值】5 【答案】B 【易错点】

等比数列的概念与性质

等比数列的概念与性质 一、知识归纳 1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列 叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。即 a n J 2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。此时G=_____________ . 3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。 4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为 数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。5. 等比数列性质： 在等比数列｛a.｝中，若m ? n二P q ,则a m a^a p a q 6. 等比数列的前n项和 当q =1 时，S n 二_____________ ；

当q =1 时，S n 二_______________ . 7用函数的观点看等比数列： （1）等比数列的通项公式是 ____________ 二、经典题目 1、判断正误： ① 1，2，4，8，16是等比数列； 1 1 1 ②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列; 2 4 8 a b . ③若，则a,b,c成等比数列； ④若= n n ? N ，则数列On 成等比数列; a n ⑤0,2,4,8,16 是等比数列； 2.判断下列数列玄［是否为等比数列： （1）a n =（-1 厂（W N* ； （3）a n= n 2n,n N* （） （） （） （）（）. ⑵ a n+2 n：N* ； （4）a n 二-1,n N* 思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

等比数列的定义(教案)

6.3.1 等比数列的定义 教学目的： 1．正确理解等比数列的定义；明确1n n a q a +=(不为零的常数)的意义； 2．培养学生的观察能力、归纳能力和解决问题的能力. 教学重点：等比数列的定义. 教学难点：定义的理解． 授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教学设计： 本节的主要内容是等比数列的定义，等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导． 等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a n n =+1(常数). 例1是基础题目，有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ，n ，n a ，只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意：例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法. 从例4可以看到，若三个数成等比数列，则将这三个数设成是 a q ，a ，aq 比较好，因为这样设了以后，这三个数的积正好等于3a ，很容易将a 求出. 教学过程： 一、创设情境、兴趣导入： 观察 1. 将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数. 第1次对折后纸的层数为1×2=2（层）；第2次对折后纸的层数为2×2=4（层）； 第3次对折后纸的层数为4×2=8（层）；第4次对折后纸的层数为8×2=16（层）；

等比数列的概念(教案)

等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.

分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列； （3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列： （1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2； （3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列； （3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列； （4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12 . 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。 （1）8442a a a ==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗

等比数列的概念与性质练习题

等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．

等比数列概念优秀教案

等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

等比数列的概念及基本运算

第37讲 等比数列的概念及基本运算 1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2， 所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21· a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A. 2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1 C.12 D.18 由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)， 所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1 ＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12 . 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列； 若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数 列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ， 所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q ，所以A ＝－B ， 因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件． 4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则 a 11＋a 2011a 17＋a 2017 ＝(D) A.29 B.49 C.23 D.89 依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332 ， 故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89 . 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝ －1 . 因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.

等比数列的概念-教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计 教学目标︰ 1、通过实例，理解等比数列的概念 通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。 2、探索并掌握等比数列的通项公式及等比中项 通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，探索等比数列的通项公式的图象特征及等比中项。 教学重点： 理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。 教学难点：等比数列通项公式及其应用 教学过程： 一、复习提问 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 1, 3, 5, 7, 9，…; (1)

3, 0, -3, -6, … ; (2) (3) . , , , , 104103102101 ??? 二、创设情境,引入新课 在前几节课中,我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，今天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例。 ● 实例分析1：1细胞分裂：1，2，4，8，… ● 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？ 【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。 【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，…。 【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。 ● 实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？

等比数列的定义及其通项公式

等比数列的定义及其通项公式 【基础回顾】 1.等比数列的定义 1 n n a q a -=（q 为常数且0q ≠，n ∈N +且2n ≥） 2.等比数列的通项公式及其性质 11n n m n n m a a q a a q --???→==←???推广 特例 等比数列中没有零这个项且其中的项要么全部是正或全部是负或正负间隔出现，总之，等比．．数列的奇数项符号相同．．．．．．．．．．，偶数项的符号相同．．．．．．．．.等比数列的通项形式是指数式．．． . 3.等比中项 2211(2)(1)()n n n n n k n k m n p q a a a n a a a n k a a a a m n p q -+-+???→???→=≥=≥+=+=+←???←???推广推广特例特例 4.等比数列的证明 （1）定义法：1 (2n n a q n a -=≥，n ∈N +，q 是非零常数) （2）等比中项法：211n n n a a a -+=?（2n ≥，且0n a ≠） （3）通项公式法：n n a kq =（,k q 为常数，且0kq ≠） （4）求和法：n n S Aq B =+，且0A B +=，0AB ≠. 5.函数性质 【典型例题】 例1 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q . （1）数列n a ，1n a -， ，2a ，1a 也成等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （2）依次取出{}n a 的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比； （3）数列{}n ca （其中c 为常数且0c ≠）是等比数列吗？如果是，写出它的首项和公比. 例2 在等比数列{}n a 中. （1）已知13a =，2q =-，则6a = ；（2）已知32n n a =?，则1a = ，d = ； （3）它的首项和公比均为2，若它的末项为32，则这个数列共有 项； （4）已知12a =，7128a =，则q = ；（5）已知427a =，3q =-，则7a = ； （6）已知320a =，6160a =，则n a = ；（7）若4n n a a +=，则q = . 例3 （1）已知{}n a 为等比数列，且243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于 ； （2）已知等比数列{}n a 中，3833a a +=，4732a a =，且数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 为 . 练习：（1）等比数列1a -，2a ，8a ， 的第四项为 ； （2）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a ??=，78910a a a =，则456a a a = . 例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数和第三个数的和是12，求这四个数.

等比数列的概念与性质练习题

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、 3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则 3132310log log log a a a ++ +＝

(完整版)等比数列的概念与性质练习题.doc

等比数列的概念与性质练习题 1. 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 2 ， a 2 =1，则 a 1 = 5 A. 1 B. 2 C. 2 D.2 2 2 2. 如果 1, a,b,c, 9 成等比数列，那么（ ） A 、 b 3, ac 9 B 、 b 3, ac 9 C 、 b 3, ac 9 D 、 b 3, ac 9 3、若数列 a n 的通项公式是 a n ( 1)n (3n 2), 则 a 1 a 2 L a 10 （ A ） 15 （ B ） 12 （ C ） D ） 4. 在等比数列 { a } 中， a ＝8， a ＝ 64，，则公比 q 为（ ） n 2 5 A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 8 5.．若等比数列 { a n } 满足 a n a n+1 =16 n ，则公比为 A ．2 B ． 4 C ． 8 D ． 16 6. 若互不相等的实数 a, b,c 成等差数列， c, a,b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，则 a A ． 4 B ． 2 C ．－ 2 D ．－ 4 7.公比为 3 2 等比数列 { a n } 的各项都是正数，且 a 3a 11 16 ，则 log 2 a 16 =（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8.在等比数列 a n 中， a 7 a 11 6, a 4 a 14 a 20 （ ） 5 ，则 a 10 A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. － 2 或－ 3 3 2 3 2 3 2 9.等比数列 { a n } 中，已知 a 1a 2 a 12 6 4 ，则 a 4 a 6 的值为（ ） A ． 16 B ．24 C ．48 D ． 128 10. 实数 a 1, a 2 , a 3 , a 4 ,a 5 依次成等比数列，其中 a 1 =2， a 5 =8，则 a 3 的值为（ ） A. － 4 B.4 C. ± 4 D. 5 11.等比数列 a n 的各项均为正数，且 a 5a 6 a 4 a 7 ＝ 18，则 log 3 a 1 log 3 a 2 L log 3 a 10 ＝ A ． 12 B ．10 C ． 8 D ． 2＋ log 3 5 12. 设函数 f x x 1 2 n 1 x 3, n N * 的最小值为 a n ，最大值为 b n ，则 c n b n 2 a n b n 是( ) A. 公差不为零的等差数列 B. 公比不为 1的等比数列 C. 常数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数 a,b,c 成等比数列，且 a b c m, m 0 ，则 b 的取值范围是（ ） A. 0, m B. m, m C. 0, m D. m,0 0, m 3 3 3 3 14. 已知等差数列 { a n } 的公差 d 0 ，且 a 1 , a 3 , a 9 成等比数列，则 a 1 a 3 a 9 的值为 ． a 2 a 4 a 10 15. 已知 1 2 1 2 3 a 1 a 2 ______ ． 1, a , a , 4 成等差数列， 1, b , b , b , 4 成等比数列，则 b 2 1

人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)

等比数列的概念、性质 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系 1. 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。 2. 等比数列的通项公式 ____________________ 3. 等比中项 如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________ 4. 等比数列的性质 （1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q （2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________ （3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ??????是以 _________ 为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列 （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列 5. 等比数列与指数函数的关系

等比数列的概念教学设计

6.3.1 等比数列的概念 【教学目标】 1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的概念． 2. 逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题． 3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力． 【教学重点】 等比数列的概念及通项公式． 【教学难点】 灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题． 【教学方法】 本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的． 【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图 导入 复习提问： （１）等差数列的定 义； （２）等差数列的通 项公式； （３）计算公差d的方 法； （４）等差中项的定 义及公式． 学生动手操作： 把一张纸连续对折5 次，试写出每次对折后纸 的层数． 教师提出问题． 学生思考回答． 教师用问题引导 学生观察相邻两项的 关系，根据前面所学 等差数列的知识，尝 试给出等比数列的定 义． 回顾以前 学过的知识， 为知识迁移做 准备． 通过动手 操作解答问 题，体验数学 发现和创造的 过程．

通过学生动手操作可得折纸的层数是 2，4，8，16，32． 新课新课 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数 列从第2项起，每一项与它 前一项的比都等于同一个 常数，则这个数列叫做等 比数列，这个常数就叫做 等比数列的公比．公比通 常用字母“q”表示． 练习一 抢答：下列数列是否 为等比数列？ ①8，16，32，64， 128，256，…； ②1，1，1，1，1， 1，1，…； ③243，81，27，9， 3，1，，，…； ④16，8，4，2，0， －2，…； ⑤1，－1，1，－1， 1，－1，1，…； ⑥1，－10，100，－ 1000，…． 注意： （1）求公比q一定要用 后项除以前项，而不能用 前项除以后项； （2）等比数列中，各 项和公比均不为0； 学生对比等 差、等比两数列的 异同． 教师出示题 目． 学生思考、抢 答． 师问：你能说 出练习一中，等比 数列的公比吗？ 教师出示练习 一中的等比数列． 学生说出各题 的公比q． 师：等比数列 中，某一项可以为0 吗？公比q可以为0 吗？为什么？ 师：常数列是 等比数列吗？ 学生根据定 义，得出结论． 培养学生 发现问题，类 比推导与归纳 总结的能力． 通过一组 练习题，加深 学生对等比数 列定义的理 解． 用抢答的 方式，激发学 生的思维，调 动学生的学习 积极性． 在教师的 引导下，结合 等比数列定 义，归纳得出 结论，提高学 生发现问题、 解决问题的能 力．