高二上数学选修一第二章《平面解析几何》知识点梳理2.5.1椭圆的标准方程学习目标：1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，实现月球软着陆进行部分关键技术试验，入太空轨道绕月球运转时，1．椭圆的定义(1)定义：如果F 1，F 2是平面内的两个定点，a 是一个常数，且2a ＞|F 1F 2|，则平面内满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a 的动点P 的轨迹称为椭圆．(2)相关概念：两个定点F 1，F 2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F 1F 2|称为椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a ＞|F 1F 2|动点的轨迹是椭圆2a ＝|F 1F 2|动点的轨迹是线段F 1F 22a ＜|F 1F 2|动点不存在，因此轨迹不存在2．椭圆的标准方程焦点位置在x 轴上在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(±c,0)(0，±c )：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？[提示]a ，b 的值及焦点所在的位置．思考3：根据椭圆方程，如何确定焦点位置？[提示]把方程化为标准形式，x 2，y 2的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)．()(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×需2a ＞|F 1F 2|．(2)×(0，±3)．(3)×a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆．2．以下方程表示椭圆的是()A ．x 2＋y 2＝1B ．2x 2＋3y 2＝6C ．x 2－y 2＝1D ．2x 2－3y 2＝6B[只有B 可化为x 23＋y 22＝]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是()A ．x 25＋y 24＝1B ．x 23＋y 24＝1C ．x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1D ．x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1．]4．椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝．2[由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 2|＝6－|PF 1|＝6－4＝2．]求椭圆的标准方程【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26．(2)经过点2，焦点在x 轴上．(3)过(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同的焦点．[解](1)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5．∴b 2＝a 2－c 2＝144．∴所求椭圆的标准方程为：y 2169＋x 2144＝1．(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1，又椭圆经过点∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解之得b 2＝3，∴a 2＝4．∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．(3)由方程x 29＋y 24＝1可知，其焦点的坐标为(±5，0)，即c ＝5．设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝b 2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程为9a 2＋4a 2－5＝1(a ＞b ＞0)，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)，b 2＝10，故椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a ，b ，c 的等量关系；(4)求a ，b 的值，代入所设方程．提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．[跟进训练]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2；(2)经过点[解](1)∵a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1．(2)法一：①当椭圆的焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意，有1，1，2＝15，2＝14，因为a ＞b ＞0，所以方程组无解．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以所求方程为y 214＋x 215＝1．法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n＞0，且m ≠n )，＋19n ＝1，＝1，＝5，＝4，故所求方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1．椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示]P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示]判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？[提示]椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】设P 是椭圆x 225＋y2754＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解]由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．①由椭圆的定义，得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534．1．将本例中的“∠F 1PF 2＝60°”改为“∠F 1PF 2＝30°”其余条件不变，求△F 1PF 2的面积．[解]由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5．在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－3|PF 1|·|PF 2|．①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|．②②－①，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝75(2－3)，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝754(2－3)．2．将椭圆的方程改为“x 2100＋y 264＝1”其余条件不变，求△F 1PF 2的面积．[解]|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，又|F 1F 2|＝2c ＝12．由余弦定理知：(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即：144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝2563，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a ．(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．拓展延伸：椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．[解]由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |，|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |．∴|CM |＋|MA |＝5．∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1．求解与椭圆相关的轨迹问题的方法[跟进训练]2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解]如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1，∴|MC 1|＝13－r ．圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r ．∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1．(1)平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞|F 1F 2|，轨迹为椭圆a ＝|F 1F 2|，线段F 1F 2a ＜|F 1F 2|，不存在．(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a ，b ，c 其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )或焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为()A ．5B ．6C ．7D ．8D [由椭圆定义知点P 到另一个焦点的距离是10－2＝8．]2．到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是()A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对B[|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|＝4，∴点M 的轨迹为线段F 1F 2．]3．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为．8[由方程得a 2＝32，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝16．∴c ＝4,2c ＝8．]4．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是．16[由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝8，又△ABF 2的周长等于|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝16．]5．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程是．x 24＋y 23＝1[|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1．]2.5.2椭圆的几何性质学习目标1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，有另外一个乐队存在(其实什么都没有椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)图形对称性对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0)范围x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长短轴|B 1B 2|＝2b ，长轴|A 1A 2|＝2a焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c[提示]最大距离：a ＋c ；最小距离：a －c ．思考2：椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中a ，b ，c 的几何意义是什么？[提示]在方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示．即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a ．()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a －c ．()(3)椭圆上的离心率e 越小，椭圆越圆．()[答案](1)×(2)√(3)√[提示](1)×椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于2a ．(2)√椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ．(3)√离心率e ＝ca越小，c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆．2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为()A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [x 2＋y 26＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．]3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为()A ．32B ．34C ．22D ．23A [化椭圆方程为标准形式得x 24＋y 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝3．所以e ＝c a ＝32．]4．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点坐标是，顶点坐标是．(0，±7)(±3,0)，(0，±4)[由方程x 29＋y 216＝1知焦点在y 轴上，所以a 2＝16，b 2＝9，c 2＝a 2－b 2＝7．因此焦点坐标为(0，±7)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]椭圆的几何性质【例1】求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a ，b ，c 的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x 252＋y 242＝1，可知a ＝5，b ＝4，所以c ＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，两个焦点分别是F 1(－3,0)和F 2(3,0)，椭圆的四个顶点是A 1(－5,0)，A 2(5,0)，B 1(0，－4)和B 2(0,4)．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．[跟进训练]1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53．利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．[解](1)将方程4x2＋9y2＝36化为x29＋y24＝1，可得椭圆焦距为2c＝25．又因为离心率e＝5 5，即55＝5a，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为x225＋y220＝1；若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为y225＋x220＝1．(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．若椭圆焦点在x轴上，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，2b，＋16b2＝1.2＝68，2＝17，所以标准方程为x268＋y217＝1．若椭圆焦点在y轴上，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，2b，＋4b2＝1，2＝32，2＝8.所以标准方程为x28＋y232＝1．利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项1 用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.2 根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.3 在求解a 2、b 2时常用方程 组 思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca 等构造方程 组加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.[跟进训练]2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解](1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得2a ＝10，a ＝5，e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b,2c ＝6，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．求椭圆的离心率[探究问题]1．求椭圆离心率的关键是什么？[提示]根据e ＝ca ，a 2－b 2＝c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．2．a ，b ，c 对椭圆形状有何影响？[提示]【例3】已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路探究]由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABF 2是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出离心率．[解]设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．依题意设A c则B c ∴|AB |＝2b 2a．由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ，即3b 2＝2ac ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 2－3c 2－2ac ＝0，两边同除以a 2＋2ca －3＝0，解得e ＝c a ＝33．1．(变换条件)本例中将条件“过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形”改为“A 为y 轴上一点，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，若△AF 1F 2为正三角形”．如何求椭圆的离心率？[解]设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设A点坐标为(0，y0)(y0＞0)，则B －c 2，∵B点在椭圆上，∴c24a2＋y204b2＝1，解得y20＝4b2－b2c2 a2，由△AF1F2为正三角形得4b2－b2c2a2＝3c2，即c4－8a2c2＋4a4＝0，两边同除以a4得e4－8e2＋4＝0，解得e＝3－1．2．(变换条件)“若△ABF2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A点的纵坐标等于短半轴长的23”，求椭圆的离心率．[解]设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由题意知A c，23b∴c2a2＋49＝1，解得e＝53．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a和c，再求e＝ca，也可利用e＝1－b2a2求解．(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成ca的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a、b．2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．3．求离心率e 时，注意方程思想的运用．1．椭圆x 29＋y 216＝1的离心率()A ．74B ．916C ．13D ．14A [a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，从而e ＝c a ＝74．]2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A [由已知得a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72．又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1．]3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为()A ．12B ．2C ．14D ．4C [椭圆x 2＋my 2＝1的标准形式为：x 2＋y 21m＝1．因为焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以1m ＝4，所以m ＝14．]4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是．35[由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]5．已知椭圆的标准方程为x24＋y29＝1．(1)求椭圆的长轴长和短轴长；(2)求椭圆的离心率；(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．[解](1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4．(2)c＝a2－b2＝5，所以椭圆的离心率e＝ca＝53．(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为x2a′2＋y29＝1，又椭圆过点P(－4,1)，将点P(－4,1)代入得16a′2＋19＝1，解得a′2＝18．故所求椭圆方程为x218＋y29＝1．。
高二数学椭圆的标准方程教案一、教材分析1、地位及作用圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。
同时，圆锥曲线也是表达数形结合思想的重要素材。
推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。
因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。
2、教学内容与教材处理椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。
3、教学目标根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，②能根据条件求椭圆的标准方程，③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。
①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
4、重点难点基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，②难点：椭圆的标准方程的推导。
二、教法设计在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。
探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。
