2016届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则M N = ▲ ．2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 3．已知命题2:(0,),2,p x x x ∀∈+∞≥-则命题p 的否定是 ▲ ． 4．函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域为 ▲ ．5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 ▲ ．6．已知tan 2α=，则1sin cos αα=⋅ ▲ ．7．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3x y +的取值范围是 ▲ ．8．已知向量)1,0(),2,1(==b a ，设b k a u +=，b a v -=2，若v u //， 则实数k 的值为 ▲ ． 9．已知函数()72sin ,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象与直线y m =的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，其中123x x x <<，那么1232x x x ++的值为 ▲ ．10．已知x 、y 为正实数，且21x y +=，则1y x y+的最小值为 ▲ ． 11．设函数()=2f x mx +，()22g x x x =-，[]01,2x ∀∈-，[]11,2x ∃∈-，使得()()01f x g x >，2015．11第5题图则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．已知非零向量a ，b 满足||332||||a b a b a =-=+，则b a +与a 的夹角为 ▲ ．13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ▲ ．14．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上至少有四个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 4cos cos b C a B c B =-. ⑴ 求cos B 的值; ⑵ 若32BA BC ⋅=，3b =，求a 和c .16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 是BC 边的中点，点F 在边CD 上． ⑴ 若O 是对角线AC 的中点， )(R AD AE AO ∈+=μλμλ、，求μλ+的值；⑵ 若2=⋅BF AE ，求线段DF 的长．如图所示，AB 是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .⑴ 设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD 面积y 的最大值.18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=， 且 62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，． ⑴ 若11cos()313πα+=-，求1x 的值； ⑵ 若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()fα的最大值．已知点(p ，q )是平面直角坐标系错误！未找到引用源。
一、填空题（题型注释）1、若集合，且，则实数的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）2、若，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）3、已知命题是真命题，则实数的取值范围是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）4、已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）5、椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）6、函数的单调增区间是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）7、已知函数在处的切线与直线平行，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）8、设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）9、在锐角中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,,的面积为，则的最大角的正切值是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）10、在中，若，则的值为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）11、已知为正实数，函数，且对任意的，都有，则实数的取值范围为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）12、若直线与椭圆交于点C,D,点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且，则________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）13、已知函数若函数有四个零点，则实数的所有可能取值构成的集合是________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）14、在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）二、解答题（题型注释）15、已知函数（其中为常数，且）的部分图像如图所示．（1）求函数的解析式（2）若求的值来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）16、在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）17、已知直线与圆相交于A,B两点，弦AB的中点为（1）求实数的取值范围以及直线的方程;（2）若以AB为直径的圆过原点O，求圆C的方程．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）18、如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG=50m．在观测点正前方10m处（即PD=10m）有一个高位10m（即ED=10m）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m，以PG所在直线为X轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；（2）若在点P处观测该圆形标志的最大视角（即）的正切值为,求该圆形标志物的半径．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）19、已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A,B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．（1）若，的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）20、已知函数（1）若，求函数的极值；（2）已知函数在点处的切线为，若此切线在点A处穿过的图像（即函数上的动点P在点A附近沿曲线运动，经过点A时从的一侧进入另一侧），求函数的表达式；（3）若，函数有且仅有一个零点，求实数的值．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）21、已知圆，M是圆C上的动点，，MN的垂直平分线交CM于点P,求点P的轨迹方程．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）22、已知函数，为的导函数，若为奇函数，求的值．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）23、已知P是内一点，且满足条件，设Q为CP的延长线与AB的交点，令，用表示．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）24、已知当时，求函数的单调区间；设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围．来源：【百强校】2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试卷（带解析）参考答案1、12、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、（1）（2）16、（1）（2）17、（1），（2）18、（1），（2）19、（1）（2）不存在20、（1）函数的极小值为．（2）（3）21、22、23、24、（1）增区间为，减区间为和（2）【解析】1、试题分析：因为，所以考点：集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2、试题分析：由得，因此考点：弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1．2．商数关系：tan α＝（α≠＋kπ，k∈Z）．二、1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．3、试题分析：由题意得：考点：命题真假4、试题分析：由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为考点：两直线垂直【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0）；（2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根．（3与平行的直线可设为，与垂直的直线可设为5、试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为考点：椭圆定义6、试题分析：因为，所以由得，又，因此单调增区间是．考点：三角函数单调区间7、试题分析：因为，所以考点：导数几何意义8、试题分析：由题意得：考点：函数奇偶性及单调性9、试题分析：由题意得，由余弦定理得：，因此B角最大，考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10、试题分析：由题意得：，因此考点：向量数量积11、试题分析：当时，，即因此；当时，，即因此；综上实数的取值范围为考点：二次函数最值12、试题分析：设，则，两式相减得：由直线与椭圆方程消去x得：，又所以考点：直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13、试题分析：因此：当时，；当时，；当时，；当时，；，因为函数有四个零点，因此，实数的所有可能取值构成的集合是考点：函数零点14、试题分析：因为点M为AB中点，所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，取最大值，即，从而，因此原点到直线距离不大于2，即考点：直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．15、试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅，由最值点距离确定周期，进而确定，最后根据最值点确定（2）先由确定角满足条件：，因为因此由得，从而，，从而试题解析：解：（1）由图可知，，，故，所以，，又，且，故．于是，．由，得．因为，所以．所以，．．所以．考点：三角函数解析式，三角函数求值16、试题分析：（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17、试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即，所以．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为，所以．直线的方程为．（2）以AB为直径的圆的圆心为弦AB的中点，半径为OM，因此圆O方程标准式为，两圆公共弦方程为，与重合，因此，即圆C的方程为试题解析：解：（1）因为，所以．因为在圆内，所以，所以．综上知．因为弦的中点为，所以直线．因为，所以．所以直线的方程为．由得，故，．不妨设，．则，故．故圆．考点：直线与圆位置关系，圆方程【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18、试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为，半径为，因此，求直线PF的方程实质求过点P的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线方程：，则解得；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF的斜率：因为，所以．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线方程：，即，所以，试题解析：解：（1）圆．直线方程：．设直线方程：，因为直线与圆相切，所以，解得．所以直线方程：，即．设直线方程：，圆．因为，所以．所以直线方程：，即．因为直线与圆相切，所以，化简得，即．故．考点：直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k（x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．19、试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M的横坐标，即得三角形的高，因此，又因为，所以．（2）由中点坐标公式得，再根据点D也在椭圆上，得，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线，直线．联立可得．所以．又因为，所以．所以椭圆方程为．因为，所以．代入椭圆方程得．化简得．因为，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点关于直线对称的点仍在椭圆上．考点：椭圆标准方程【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a、b的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a，b，c的方程．20、试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域，再求函数导数：，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数，（其中为切线函数）满足1为唯一零点，先表示切线方程：，，构造函数，求导函数，因此（3）先分析函数变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。
2016年秋学期无锡市普通高中高三数学期末考试试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、设集合{}0>=x x A ，{}21≤<-=x x B ，则=B A ． 2、已知复数iz -=12，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ． 3、命题“422≥≥∀x x ,”的否定是 ．4、从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率 为 ．5、根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．6、已知向量),(),,(1112-==，若-与m +垂直，则实数m 的值为 ．7、设不等式表示⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥401y x y x x 表示的平面区域为M ，若直线2-=kx y 存在M 内的点，则实数k 的取值范围为 ．8、已知函数⎩⎨⎧<>-=032x x g x x f x ),(,)(是奇函数，则=-))((2g f ．9、设公比不为1的等比数列{}n a 满足81321-=a a a ，且342a a a ,,成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为 ．10、设函数)cos(cos sin )(232π+-=x x x x f ，则函数)(x f 在区间],[20π上的单调增 区间为 ．11、已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角︒120为且面积为π3的扇形，则该圆锥的体积等 于 ．12、设点P 是有公共焦点21F F ,的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且21PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则=1e ．13、若函数)(x f 在区间)](,[n m n m <上的值域恰好是],[n m ，则称区间为],[n m 函数)(x f 的一个“等值映射区间”．下列函数：①12-=x y ；②x y 22log +=；③12-=xy ；④11-=x y ，其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有 个． 1←i 2-←S While 8<i 2+←i i S i S +←3 End Whlie int Pr S14、已知200>>>c b a ,,，且2=+b a ，则252-+-+c c ab c b ac 的最小值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤）15、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且122=++CB A cos sin ，D 为BC 上一点，且AC AB AD 4341+=． （1）求A sin 的值；（2）若524==b a ,，求AD 的长．16、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥AP 平面PCD ，F E ,分别为AB PC , 的中点．（1）求证：平面⊥PAD 平面ABCD ；（2）求证：//EF 平面PAD ．17、某地拟在一个U 形水面)(︒=∠=∠90B A PABQ 上修一条堤坝EN （E 在AP 上，N 在BQ 上），围出一个封闭区域EABN ，用以种植水生植物．为美观起见，决定从AB上点M 处分别向点N E ,拉2条分隔线MN ME ,将所围区域分成3个部分（如图），每部 分种植不同的水生植物．已知︒=∠==90MEN BM EM a AB ,,，设所拉分隔线总长度 为l ．（1）设θ2=∠AME ，求用θ表示l 的函数表达式，并写出定义域；；（2）求l 的最小值．18、已知椭圆13422=+y x ，动直线l 与椭圆交于C B ,两点（点B 在第一象限）． （1）若点B 的坐标为),(231，求OBC ∆的面积的最大值；（2）设),(),,(2211y x C y x B ，且0321=+y y ，求当OBC ∆的面积最大时直线l 的方程．19、数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，)(r na S n n +=3（R ∈r ，*∈N n ）． （1）求r 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设nn a n b =（*∈N n ），记{}n b 的前n 项和为n T ． ①当*∈N n 时，n n T T -<2λ恒成立，求实数λ的取值范围； ②求证：存在关于n 的整式)(n g ，使得1111-⋅=+∑-=)()(n g T Tn n i i对一切2≥n ，*∈N n 都成立．20、已知函数)()(R ∈++=m mx x x f 12，x e x g =)(．（1）当],[20∈x 时，)()()(x g x f x F -=为增函数，求实数m 的取值范围； （2）若),(01-∈m ，设函数)()()(x g x f x G =，4541+-=x x H )(，求证：对任意],[,m x x -∈1121，)()(21x H x G ≤恒成立；2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷高三数学（加试题）说明：解答时，应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴.已知曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线,2,x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A,B 两点，求AB 的长.22.（本题满分10分）选修4-2：矩阵与变换 已知变换T 将平面上的点()11,,0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭分别变换为点93,2,,442⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设变换T 对应的矩阵为M.（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值.23.（本题满分10分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时.设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如下表所示.（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ.24.（本题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//,90,1,2,,,AD BC BAD CBA PA AB BC AD E F G ∠=∠=====分别为,,BC PD PC 的中点.（1）求EF 与DG 所成角的余弦值；（2）若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN,使得M N ⊥平面PBC?若存在，求出点M,N 的坐标；若不存在，请说明理由.。
