常微分方程开放式习题课的案例与实践
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２００９年第１２期 总第１５３期
林区教学
Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ Ｆｏｒｅｓｔｒｙ Ｒｅｇｉｏｎ Ｎｏ．１２ ２００９
Ｇｅｎｅｒａｌ Ｎｏ．１５３
常微分方程开放式习题课的案例与实践 贾诺，王玉文。杜娟 （哈尔滨师范大学数学科学学院，哈尔滨１５００２５）
摘要：为了适应社会对具有创新精神和创新能力人才的需求，基于常微分方程的课程体系及应用性强的特 最，结合实例探究常微分方程开放式习题课教学。 关键词：常微分方程；开放式习题课；创新 中图分类号：Ｇ６４２．４ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００８—６７１４（２００９）１２—０１０９—０３
常微分方程是大学数学专业的核心课程之一，在本科 二年级对已经具备微积分及线性代数基础的学生开设。 在数学学院的本科生课程系列中，它起着承前启后的作 用。一方面，它要大量应用前面重要的基础课“数学分 析”、“高等代数”和“解析几何”的内容，是数学分析的后 续课程，也是许多数学理论和方法的根源。另一方面，在 微分方程发展的过程中，它是产生复分析、Ｌｅｂｅｓｂ４ｕｅ积分、 Ｂａｎａｃｈ空间和Ｈｉｌｂｅｒｔ空间等数学分支的主要因素之一， 是进一步学习偏微分方程、微分几何的基础。常微分方程 扎根于实际问题，因此这门课程又是数学理论联系实际的 个重要触角。针对它的课程体系及应用性强的特点，如 何开展习题课教学是常微分方程教学过程中应该思考的 问题。 开放式教学源于科恩（Ｒ．Ｃ．Ｃｏｈｎ）１９６９年创建的以 题目为中心的“课堂讨论模型”和“开放课堂模型”——人 本主义的教学理论模型与斯皮罗（Ｓｐｉｒｏ）１９９２年创建的 “随机通达教学”和“情景性教学”——建构主义的教学模 式。这些教学理论模型强调学习是学习者主动建构的内 部心理表征过程，教师的角色是思想的“催化剂”与“助产 士”。这种教学弥补了传统教学只重基础轻视实践及创新 的缺点，有益于培养学生的创新意识。 常微分方程开放式习题课教学形式及案例 １．教学形式 在以传授知识为主的应试教育中，习题课的教学和学 习活动主要限制在课堂，教室是剧场，教材是剧本，粉笔和 黑板是道具，作为主角的教师在演一场独幕剧。这种教学 方式限制了学生的发散思维，其结果自然是限制了学生创 新思想和创新能力的培养。 开放式习题课教学从广义上理解，可以看成是大课堂 学习，即学习不仅是在课堂上，也可以通过网络学习等方 收稿日期：２００９—１０—０９ 基金项目：黑龙江省教学改革工程项目（２００８）；微分 方程双语教学项目 作者简介：贾诺（１９７８一），女（蒙古族），辽宁康平人。 式来进行。这就需要教师学习和熟悉信息技术及国际上 相关网站，通过网络采集最鲜活的信息补充到习题课教学 中，并能在授课的适当时机进行链接。教师要自己制作一 些课件，利用计算机媒体用动态的动画、电影展示知识的 形成过程和情景。从狭义上说，开放式习题课教学是学校 课堂教学。就课堂教学题材而言，它不仅可以来自教材， 也可以来自生活，来自学生；就课堂教学方法而言，在教学 过程中通过对教材的个性化处理，使教学方法体现出灵活 多样的特点，并且在教学方法中运用“探索式”、“研究式” 方法，引导学生主动探索研究，获取知识；就例题或练习题 而言，要体现在答案的开放性、条件的开放性、综合开放题 等开放性习题上；就课堂师生关系而言，它要求教师既作 为指导者，更作为参与者，它既重视教师对学生的指导，也 重视教师从学生的学习中吸取营养。 开放式习题课教学能给每个学生提供更多的参与机 会和成功机会，让每个学生在参与中得到发展。 ２．案例分析 我们从开放式解题过程和开放式构建问题两方面给 出常微分方程开放式习题课的课内教学案例分析。 （１）解题过程开放式。为了在习题课课堂上激发学 生学习兴趣和开展具有创造力的数学活动，对于答案唯一 的问题，我们重点强调解决问题所需要的不同方法。解方 程所需的变量变换法及高阶线性常微分方程与一阶线性 常微分方程组的关系在开放式解题过程中体现得淋漓尽 致。 例１：求解方程ｙｄｘ＋（Ｙ— ）ｄｙ＝０
解：（方法１——积分因子法）设Ｍ＝），，Ｎ＝Ｙ一刈叫 ｕ）
１，＿ｄ１￣＝１，方程不是恰当的。将方程改写为）， 一
０７ｆ，
＝一）， ，取 ＝ 为方程的积分因子，由此得到 Ｙ Ｙ
ｄｙ。因此，方程通解为 ＋Ｉｎ ｌ Ｙｌ＝ｃ，ｃ为任意常 Ｙ Ｙ 数。
（方法２——变量变换法）方程可以写为ｕ ｙ＝ ｌ＿，这
１０９— 是一个齐次微分方程。令上＝“，代入得到 ＿ｄｕ＋ ： Ｌ即 ｄ“＝ｄ＿ｙ＿ｘ因此，通解为一１—１ｎ Ｉ“Ｉ＝１ｎ
ｌ— ‘
ｆ 』一ｃ，代回原来的变量得三＋Ｉｎ ｆ ｌ＿Ｃ，Ｃ为任意常数。
（方法３——常数变易法）把 看做未知函数，Ｙ看做 自变量，方程变为线性微分方程譬：三一１。先解对应的
齐次线性微分方程熹＝号得通解 ＝ ，令 ＝ｃ（ｙ）ｙ，代 回原方程得；（），）＝一ｌｎ Ｉ），ｌ＋ｃ，故原方程通解为三Ｙ＋ｌ－
ｌｙＩ＝ｃ，Ｃ为任意常数。 例２：求方程 ”一６ｘ ＋９ｘ＝ｅ‘满足初始条件ｘ（ｏ）＝１， （０）＝Ｏ的特解。 解：（方法１——常数变易法）对应的齐次线性微分方 程 ”一６ｘ ＋９ｘ＝Ｏ的通解为 ＝ｅｌｅ ＋ｃ２ｔｅ 。令 ＝ｃｌ（ｔ） ｅ ＋ｃ （ｔ）ｔｅ ，利用常数变易法得 『ｃｌｃ （ｆ） ＋ｃ２ （ｔ）ｔｅ ＝Ｏ ｌ３ｃＩ （￡）ｅ ＋ｃ２’（ｃ）ｔ（ｅ ‘＋３ｔｅ ）＝ｅ‘ 于是ｃ。（￡）： １ ｅ＿２ｆ １ ｅ－２：＋＇Ｙｌ￣Ｃ２（ ）＝一 １ ｅ ’，：，
１，ｙ２是任意常数。原方程通解为 ＝’，ｌｅ ‘ Ｔ２ｔｅ ＋ １ ｅ ，
满足初始条件的特解为 ＝ ３ ｅ３ｌ５ ｅ３ｔ １
ｅＩ
（方法２——比较系数法）对应的齐次线性微分方程 ６ｘ ＋９ｘ＝０的通解为 ＝ｅｌｅ ＋Ｃ２ｔｅ 。下面利用比较 系数法求方程的一个特解。令 ＝Ａｅ‘，代回方程解得Ａ＝ １于是 ＝ １ ｅ‘方程通解为 ＝ｃ ｅ ３ｌ＋ｃ２ｔｅ３ｔ １ ｅｌ
ｃ ，ｃ
为任意常数，满足初始条件的特解为 ＝÷ｅ 一÷ ｅ３ ＋÷ ｅｆ（方法３——转化为方程组求解）令 ＝ ， ＝ ，原 方程转化为下面一阶线性微分方程组
｛ ， ９ 。＋６ ＋ ，方程组的系数矩阵为Ａ＝
（一０９ ） ）＝（ ）。特征方程ｄｅｔ（Ａ－ＡＥ）＝。的特征 值为Ａ＝３（二重根），因此基解矩阵为ｅｘｐＡｔ＝ｅ （Ｅ＋（Ａ一 ３跏 （一 ３ 由常数，变易公式得
（ｆ）＝（ｅｘｐＡｔ）ｃ ｌ ｅｘｐＡ（ｔ— ５）山 （一： ｃ＋。）ｃ＋ｅ（１ ’（一 。 ｃ＿： ＋ ）（；） ｂ
＋ １ 木 ｊ 它的第一个分量就是原方程的通解，即 ＝ｃ ｅ ＋ ｃ： ３‘＋ １ ｅＩｃ ，ｃ 为任意常数，满足初始条件的特解为
｝ｅ 一号 ＋÷ｅｔ。 另外，利用Ｌａｐｌａｃｅ变换法及Ｍａｔｌａｂ软件中的ｄｓｏｌｖｅ 命令也可以求得上述常微分方程和方程组的解析解。 （２）构建问题开放式。常微分方程的求解和数学建 模是本科阶段学生接触的主要内容。常微分方程可求解 析解和数值解，而常微分方程数学模型是将数学理论与实 际问题联系的重要桥梁。我们应鼓励学生从已有问题中 运用归纳、分析或猜想等数学思想构建新的数学问题，然 后解决这些新问题。我们对部分数学系和信息系２００６级 本科生给出一些原始问题的例子，指导学生构建问题，几 乎所有学生对于问题构建都具有浓厚的兴趣。下面将其 中由学生构建的问题列出。 １）积分因子法是求解常微分方程的方法之一。在大 多数教材中都给出了方程有只与一个变量有关的积分因 子的充要条件，对于典型方程的积分因子进行了讨论，而 对一般形式的积分因子的求法没有讨论。因此，我们引导 学生提出一般形式积分因子的求法问题，并进行探讨。 ２）计算机和数学软件的发展为常微分方程的发展提 供了新的有力工具。大部分常微分方程的解析解无法得 到，因此方程的数值解法对我们了解方程的解及对解的分 析具有重要意义。因此，我们指导学生查阅常微分方程数 值解法及数学软件的相关参考书目，学生提出对常微分方 程的数值解法及几种常见的数学软件的应用进行比较分 析的问题，并形成了学年论文。 ３）Ｖｏｈｅｒｒａ种群模型、人口模型和传染病模型是几个 经典的微分方程模型。基于这些模型，衍生出了很多相关 类型的模型。这些模型用在社会生活和经济学中，对问题 的分析起到了至关重要的作用。基于Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型，我们 引导学生考虑经济学中类似的竞争模型和共生模型，学生 提出在同一地区经营同类产品的卖场效益问题，建立了简 单的线性数学模型，运用常微分方程的定性分析方法及 Ｍａｔｌａｂ软件进行了分析，给出了合理解释，并以小论文的 形式提交；基于传染病模型，学生结合今年出现的甲型 Ｈ１Ｎ１流感建立了ＳＩ、ＳＩＳ及ＳＩＲ模型，进行了模型分析，并 利用权威公开数据进行数值仿真，形成了学年论文。
二、常微分方程开放式习题课教学实践 开放式习题课教学以学生对基础知识的掌握和理解 为前提，对问题的解决方法进行比较和讨论，并通过改变 已给问题的条件等方法构建新问题，讨论新问题并进行分 类，然后解决问题。以例２为例，课堂实施课程计划如下： （１）归纳总结所需基础知识，即高阶微分方程解的结 构和基本解组的求法、一阶线性微分方程组的解法及高阶 微分方程和一阶线性微分方程组的关系，由教师利用投影 仪给出或利用黑板板演，同时进行课堂提问，为问题提出 作准备。 （２）引出问题，介绍问题，理解问题，将传统题目转变 为开放式题目，一题多解。进行数学开放题教学，应该注 意以下几点：１）开放题与封闭题在数学教学中应该并存而 不是互相排斥；２）开放题所包含的事件应为学生所熟悉，
