常微分方程典型例题课件

例 4 求dyxy1的通 . 解 dx xy3
解
1 1 20,
11
方程h h组 kk 1300, h1 ,k2 ,
令 x X 1 ,y Y 2 . 代入原方程得
dY XY, dX XY
令u Y ， X
方程变为 uXdu1u, 分离变量法得 dX 1u
X 2(u 22u1)c, 即 Y 2 2 X Y X 2 C , 将 Xx1,Yy2代回， 得原方程的通解 ( y 2 ) 2 2 ( x 1 )y ( 2 ) ( x 1 ) 2 C , 或 x 2 2 x y y 2 2 x 6 y C 1 .
例1 求(方 x 3 3 x程 2)y d x (y3 3 x 2y )d y 0 的.通解
解
P6xyQ,
y
x
是全微分方程,
u (x ,y ) 0 x (x 3 3 x2 )d y x 0 yy 3 dy
x4 3x2y2 y4,
42
4
原方程的通解为 x43x2y2y4C.
42
4
用直接凑全微分的方法.
线性齐次方程
dyP(x)y0. dx
(使用分离变量法)
dy P(x)dx, y
dyyP(x)dx,
ln y P (x )d x lC n ,
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
2.
线性非齐次方程
dyP(x)yQ(x). dx
讨论 dyyQ(yx)P(x)dx ,
两边积分 lnyQ(yx)dx P(x)d,x
6.2.4、一阶线性微分方程
1.一阶线性微分方程的标准形式:
dyP(x)yQ(x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 上方程称为非齐次的.

5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
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综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
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3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
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练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
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二阶齐次线性方程解的结构

其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2


m
d
dt

g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)

gt C1,
再积一次分得：S

1 2
gt2

C1t

C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.

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【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx

2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
12
常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如 ： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况 ，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):

第四页，共76页。
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象: 微分方程的积分曲线.
通解的图象: 积分曲线族.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x, y)
一阶:
y
x x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
解 : x 4, x 0, y 0时分离变量得,
dx dy
4x x2
, y
即, 1 ( 1 1 )dx 1 dy
4 x 4 x
y
两边积分, 得
1 4 (ln | x | ln | 4 x | ln C1) ln | y |
通解即为 : (4 x) y4 Cx,其中C为任意常数
或写成
x
1 u2
C earctanu 1
,
再将 u y 代入,得通解为 x
x2
y2
arctany
C1e
x
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例. 解微分方程 解：将右端函数的分子，分母同时除以自变量x
此为齐次方程，令 分离变量，再两边积分 将u带回得
第十七页，共76页。
例 求方程
y'
y2 xy x2
的通解
y
x
x0
y0 ,
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
第五页，共76页。
例 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
方程d 2 dt
x
2
k
2
x
0的解.
并求满足初始条件
x

例
思2 一阶微分方程
8.2.3 一阶线性微分方程
形如 y′+p（x）y=Q（x） （8-3） 的方程称为一阶线性微分方程，其中p（x）和Q（x）是已知连续函数.
注意:所谓线性是指其中对未知函数y和y′都是一次的.
当Q（x）≡0时，有y′+p（x）y=0（8-4）
注意:在求解非齐次方程时，可以用常数变易法求解， 也可以直接由式（8-7）求解.
8.2 一阶微分方程
例 例8-9】求解方程(dy)/(dx)-ycotx=xsinx.
解 方法一 常数变易法.首先对齐次线性方程 (dy)/(dx)-ycotx=0 分离变量，得(dy)/y=cotxdx 积分，得ln｜y｜=ln｜sinx｜+C1, 因此，齐次方程的通解为y=Csinx（C=±eC1） 将上式中的C变易为C（x），再把y=C（x）sinx代 入原方程，得C′（x）sinx+C（x）cosx-C（x） sinxcotx=xsinx,即C′（x）=x 因此C（x）=(1/2)x2+C 于是原方程的通解为 y=C（x）sinx=（(1/2)x2+C）sinx
8.2 一阶微分方程
微分方程研究的主要问题就是如何求解，但并不是所有的微分方程都能用初等积分的方 法求出.因此，我们不能奢求能够解出所有的微分方程，但是对于某些特殊类型的方程， 是可以用初等积分的方法求解的.
8.2.1 可分离变量的微分方程 在一阶方程中，如果可以将含有未知函数y的式子及dy与含有自变量x的式子及dx分开至 方程两边，然后就可以分别对y和x积分求解. 形如 (dy)/(dx)=f（x）g（y）［g（y）≠0］ （8-1） 的方程称为可分离变量的微分方程. 对式（8-1），可以将关于y和x的式子分开，得(dy)/g（y）=f（x）dx 然后两边积分得∫(dy)/g（y）=∫f（x）dx+C

称它为微分方程的积分曲线．也被称为微分方程 初值问题的几何意义．
通解是一组平行的曲线簇．
d x 例1 验 证 x C1 cos kt C2 sin kt 是 2 k 2 x 0 的 dt
2
解，其中 C1 , C2 为任意常数．并求满足初始条件
dx 0 的特解． x t 0 A ， dt t 0 dx 解: k1 C sin k tk 2 C cos kt dt 2 dx 2 2 2 k C cos kt k C sin kt k C cos kt C sin kt 1 2 1 2 2 dt d2x d 2x 2 将 2 , x 代入方程 2 k x 0 得： dt dt 2 2 k C c o s k t C s i n k t 0 k C cos kt C sin kt 1 2 1 2
t 0
M0
又由 M
t 0
M 0 得： C M 0
所以所求变化规律为： M M 0 e t ．
2、齐次方程
若一阶微分方程 y f x, y 中的函数 f x, y y y y 可化为 的函数 ，即： f x, y ，称 x x x 该方程为齐次方程．
故 ln y x2 C1
y e
x2C 1
C1 x2
x2
e e
Ce
即方程的通解为 y Ce
x2
例3 求微分方程 x xy 2 dx x 2 y y dy 0 满足
1 的特解． x y 解：原方程变形为： 2 d x d y 2 x 1 1y 1 x2 1 1 2 1 2 ln x 1 ln y 1 C C 1 ln 2 1 2 2 2 y 1 2 即： x 1 C y2 1 1 y |x 1 C 0 2 x2 1 1 故所求特解为： 2 y 1 2

其中L为李普希兹条件。
总目录
本章目录
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.2.3 中心欧拉公式
y(x)的在x=x1处的中心差商式：y' ( x1 )
y(x2 ) y(x0 ) 2h
又y'(x1) f (x1, y(x1)) ，可得到y(x2)的近似值y2计算公式：
y2 y0 2hf ( x1 , y1 )
2k3
k4
k1 f xn , yn
(1)
k2
f
xn
1 2
h,
y
n
1 2
hk1
(2)
k3
f
xn
1 2 h, yn
1 2
hk
2
k4 f xn h, yn hk3
(4-16)
yn1
yn
h 8
k1
3k 2
3k3
k4
k1 f xn , yn
k 2
f
xn
1 3 h, yn
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.1 微分方程在化工中的应用
微分方程在化工中应用的简单而又典型的例子是 套管式换热器的稳态温度分布。首先作以下假设：
1、套管内侧为液体，其温度只随套管的长度改变 而改变，忽略温度的径向变化；套管环隙为蒸汽， 其温度在任何位置均为恒定值，可认为是饱和蒸 汽的温度。
2、忽略套管内侧流体的纵向热传导。
f
(xn1, yn1 )]
(4-10)
上式也称为改进的欧拉公式，它可合并成：
yn1
yn
h(f 2
(xn , yn )

的通解。
令
得
变量分离后积分
还原后得原方程通解为
2.2.2变量可分离方程的应用 2.2.2变量可分离方程的应用
例:雪球融化问题 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在 开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。 解:设t时刻雪球的体积为 由题得 球体与表面积的关系为 ，表面积为
，
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取
中有定义. 注：求方程通解时，我们假设
时得y值也可能为方程的解。所以要考虑 该方程对应的解我们称为 的情况， 常数解. 常数解.
例 2.2.2 求微分方程 解: 变形为
的通解.
积分得:
求积分得: 解得:
记
则
因为 故所有的解为:
可得
一、齐次方程
齐次函数: 齐次函数 函数 称为m次齐次函数, 如果
§2.2 变量可分离方程
形如 （2.2.1） 的方程称为变量可分离方程。 这里 是连续函数. 该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数 之积.
2.2.1 变量可分离方程的求解
当
, 方程（2.2.1）两边同除以
得
这样对上式两边积分得到
例2.2.1 求微分方程 解：变量分离后得 上式两边积分得 整理得 该解 在
齐次方程: 齐次方程 形如
的方程称为齐次方程。
求解思想: 求解思想 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
事实上, 令 故有
则
即
例2.2.3 求下面初始值问题
解：方程为一齐次方程，令 求导后得 分离变量得

积分,并取
因此,(4.3.14)变为 (4.3.15)
反之,可验证(4.3.15)是(4.3.1)满足初始条件 的特解. Th4.12 若 （1）向量函数 是(4.3.2)的基解矩阵,则
是(4.3.1)的解,并满足 (2) (4.3.1)的通解是
由定理4.11和定理4.12知,方程组满足初始条件 的解 可由下面公式给出 (4.3.16) 公式(4.3.16)称为方程组(4.3.1)的常数变易公式. 例4.3.6 求方程组
§4.3 线性微分方程组的基本理论
考虑非齐次线性微分方程组 (4.3.1) 解的结构问题. 先考虑(4.3.1) 对应的齐次线性微分方程组 (4.3.2) 解的结构问题.
一、线性齐次方程组解的结构
Th4.5 设 是齐次线性方程组
(4.3.2)的 m 个解,则它们的线性组合 也是(4.3.2)的解。 证明: 因 是方程(4.3.2) 的解, 则有
即有
例4.3.3 验证
是方程组
的基本解矩阵, 并写出其通解.
解: 首先验证
令 表示
是(4.3.10)的解矩阵,
的第一列, 因为
故 因此, 表示 是方程(4.3.10) 的一个解. 同理, 令 的第二列, 可知 也是 是方程组
(4.3.10) 的解, 因此 (4.3.10) 的解矩阵. 另外因
故
是(4.3.10) 的基本解组. 所以其通解为:
所以
说明
是方程组(4.3.2)的解.
线性相关及线性无关的定义 设 若有一组不全为0的数 有 成立，则称此组函数向量在 否则称为线性无关. 上线性相关, 为 上的函数向量, ,
例4.3.1 证明
在任何区间 I 上都是线性相关的.

8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.

如果对 0 , ( , a , b ) 0 , 使得对于满足
( x0 x0 ) ( y 0 y 0 )
2 2
2
的一切 ( x 0 , y 0 ),
初值问题
dy f ( x, y ) , dx y ( x0 ) y0 ( 3 . 1)
axb
2
解对初值和参数的连续性定理
设 f ( x , y , ) 在区域 G 连续 , 且在 G 内一致地关于 y 满足 局部 Lipschitz 条件 , 则方程 ( 3 . 1) 的解 y ( x , x 0 , y 0 , ) 作为 x , x 0 , y 0 , 的函数在它们存在范围 内是连续的 .
三
解对初值的可微性定理
f y 都在区域 G 内连续 , 则方程
若函数 f ( x , y )以及
( 3 .1)的解 y ( x , x 0 , y 0 )作为 x , x 0 , y 0的函数在它们存 在范围内是连续可微的 .
证明 由于
f y
在 G 内连续 ,
故 f ( x , y )在 G 内关于 y 满足局部 Lipschitz 条件 ,
dx y z ( x0 ) 1
exp(
x
dz
f ( x, )
z
的解, 不难求得
f ( x, ) y
y0
dx)
x0
显然它是 x , x 0 , y 0的连续函数 .
同样可证
x0
存在且连续 .
设由初值 ( x 0 , y 0 ) 和 ( x 0 x 0 , y 0 ) 所确定的解分别为
证明 由(3 .1) 满足 y ( x 0 ) y 0的解存在区间内任取一