Ξ 收稿日期:2006-03-10作者简介:姚红霞(1979-),女,硕士研究生,主要从事粗糙集理论和模糊集理论研究.【数理科学】模糊粗糙集理论介绍和研究综述Ξ姚红霞(西北师范大学数学与信息科学学院,兰州 730070)摘要:回顾了粗糙集理论,引出了模糊粗糙集的产生背景,介绍了模糊粗糙集模型的一些主要概念和性质,并给出了模糊粗糙集属性重要性的定义,探讨了模糊粗糙集合的应用和发展现状.关 键 词:粗糙集;模糊集;模糊粗糙集中图分类号:TH164 文献标识码:A 文章编号:1671-0924(2006)08-0132-04I ntroduction to and Survey for the Studies of Fuzzy R ough Sets TheoryY AO H ong-xia(Department of Mathematics and In formation Sciences ,N orthwest N ormal University ,Lanzhou 730070,China )Abstract :This paper firstly reviews the theory of rough set and brings out the generation background aboutfuzzy rough sets ,secondly ,introduces the main concept and property of fuzzy rough sets and proposes its significance ,and finally ,discusses the application and recent studies for this theory.K ey w ords :rough sets ;fuzzy sets ;fuzzy rough sets0 引言 粗糙集(R ough Sets )理论最初是由波兰数学家Z.Pawlak 于1982年[1]提出的,是一种处理不完整和不确定性知识的数学工具[1-2].经过多年的发展,该理论已被成功的用于决策支持系统、人工智能、模式识别与分类、故障检测、金融、医学、知识发现、数据挖掘和专家系统等领域.但由于其严格的等价关系,限制了粗糙模型的发展和应用.针对这个问题,Dub ois 和Prade [3-4]提出模糊粗糙集的概念,作为粗糙集的一个模糊推广.模糊集理论首先是由美国控制论专家L ・A ・扎德(L.A.Z adeh )教授于1965年[5]提出的.也是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具,它已成功的应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面.虽然2者都可以用来处理模糊和不确定问题,但2者的着眼点不同.粗糙集理论在处理模糊和不确定性问题方面着眼于知识的粗糙性,强调的是集合对象间的不可分辨性;而模糊集在处理不确定性问题时,主要着眼于知识的模糊性,强调的是集合边界的不分明性.由于这2种理论在处理不确定和模糊问题时具有一定的相似性,因此把它们结合起来的研究前景或许更有实际价值,Dubois 和Prade 是最早研究粗糙模糊集和模糊粗糙集问题的代表人物之一.当知识库中的知识模块是清晰概念,而被近似的概念是一个模糊概念时,就得到粗糙模糊集;当知识库中的知识模块是模糊概念,而被近似的概念是模糊概念时,则可得到模糊粗糙集.粗糙模糊集是模糊粗糙集的特殊情况,因此一般只讨论模糊粗糙集.于是根据问题的实际需要,在文献[3-4]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.第20卷 第8期Vol.20 No.8重 庆 工 学 院 学 报Journal of Chongqing Institute of T echnology2006年8月Aug.20061 粗糙集理论的发展 自1992年在波兰召开了RS理论的第一届国际学术会议以来,现在每年都召开以RS为主题的国际会议,大大推动了RS理论的发展.参加的成员主要来自波兰、美国、加拿大、日本、俄罗斯等国家.在Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键概念,等价类是构成上下近似结构的构造性知识块,用任意的二元关系取代等价关系,就得到Pawlak粗糙集模型的不同推广,即一般关系下的RS模型、变精度RS模型、概率RS模型、基于随机集的RS模型[9],而且在一个分明的,自反和传递关系下,一对上下近似算子正好是一个拓扑空间的内部封闭的算子[10-12].在RS集理论中,基本的运算符是近似的.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.在构造性方法下,论域上的二元关系、论域的划分、领域体系、布尔代数都是最原始的概念.文献[1,13-15]用这些概念构造了下近似和上近似算子,构造性方法尤其对RS的实际应用有重要的实用价值.另一方面,公理化方法,是一种研究粗糙代数结构近似的,用上下近似算子作为最初的概念,在这种方法下,用一个公理化集合刻画的近似算子和用构造性方法产生的算子是一样[15-16].比较构造性和公理化这2种方法,对分明粗糙集最典型的公理化研究是文献[15],在文献[17]中,用不同的公理化集合刻画了不同类型的粗糙集代数.2 模糊粗糙集的产生背景 粗糙集理论最初和主要的研究采用的是构造性方法.在Z.Pawlak粗糙集模型中,等价关系是关键和原始的概念.然而,等价关系是一个过于严格的条件,其限制了粗糙集模型的一些主要应用.针对这个问题,文献[12-13,18]用非等价二元关系推广了粗集近似算子,这一成果的出现,引起了学术界研究其它不同类型近似算子的热潮.另一方面,用U上的一个等价关系,在模糊关系理论下,引入上下近似,就得到了一个推广的概念,称为粗糙模糊集[4,17,19],相反的,用模糊相似关系代替等价关系,就得到模糊粗糙集合[4-8,19].因此后来有很多模糊粗糙集合的类型,如基于模糊T相似关系的一般结构[21],基于U上弱模糊划分的结构[22-23],以及基于模糊集合上的布尔子代数[7],等等.3 模糊粗糙集合的基本概念和理论3.1 等价关系下的模糊粗糙集定义定义1[9] 设(U,R)是Pawlak近似空间,R是论域U 上的一个等价关系,若A是U上的一个模糊集合,则A关于(U,R)的一对下近似A R和上近似 A R定义为U上的一对模糊集合,其隶属度函数分别定义为:A R(x)=in f{A(y)|y∈[x]R},x∈U,A R(x)=sup{A(y)|y∈[x]R},x∈U,其中[x]R为元素x在关系R下的等价类.若A R= A R,则称A是可定义的,否则称A是模糊粗糙集(Fuzzy rough set).称A R是A关于(U,R)的正域,称 A R是A关于(U,R)的负域,称 A R∩( A R)为A的边界.3.2 一般关系下的模糊粗糙集合及其属性重要性定义2[24] 称I=(U,A)是一个决策表信息系统,若有:①U是一个非空对象集合;②A={C,D}是一个有限非空属性集合,其中C是条件属性的非空集合,D是决策属性的非空集合;③对每个属性a∈A,定义了一个从U到V a的映射: a:U→V a,其中V a是属性a的值集.定义3[25] 设U是一个非空集合,称U上的模糊二元关系是相似关系,当且仅当R是:①自反的:R(x,x)=1对所有x∈U;②对称的:R(x,y)=R(y,x),对所有x,y∈U,U上的每个条件属性子集决定了一个U上的相似关系;③传递的:R(x,y)∧R(y,z)ΦR(x,z),对所有x, y,z∈U.则称R是U上的一个等价关系.在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,粗糙集合研究对象是分明的等价类,而模糊粗糙集合研究对象是模糊等价类.将论域U上的元素在相似关系下划分模糊等价类,以下记论域U上的模糊关系为S,对象x和y之间的相似度记为u s(x,y)=u s(y,x),它同样满足定义3的条件,即自反性:u s(x,x)=1;对称性u s(x,y)=u s(y,x);传递性u s (x,z)Εu s(x,y)∧u s(y,z).因此对对象x∈U的等价类[x]s定义为:u[x]s(y)=u s(x,y)定义4[26] 模糊P上近似和P下近似定义为:uP X(F i)=sup x min{u Fi(x),u X(x)}Πi. uPX(F i)=in f x max{1-u Fi(x),u X(x)}Πi.其中F i是属于U/P的模糊等价类,PΑA,XΑU,u X (x)是对象x属于U上的任意模糊集合X的程度,则称序对(u P X(F i),u PX(F i))为模糊粗糙集合.由于模糊上下近似的定义和分明的定义有一些差异,个体对象的隶属度的近似不是十分有用的,由于这个原因,模糊上下近似可以定义为:uP X(x)=sup F∈U/P min(u F(x),sup y∈U min{u F(y),u x (y)})uPX(x)=sup F∈U/P min(u F(x),in f y∈U max{1-u F(y),u x (y)})定义5[26] 条件属性C关于决策属性D的正域为:uPOSC(D)(x)=sup u CX(x) X∈U/D定义6[26] 根据模糊正域的定义,可以求出模糊粗糙集合条件下决策属性D对条件属性集合C的依赖性:331姚红霞:模糊粗糙集理论介绍和研究综述γC (D)=∑x∈U uPOSC(D)(x)|U|定义7 令C和D分别为模糊粗糙集的条件属性和决策属性集,属性子集C′ΑC关于D的重要性定义为:σCD(C′)=γC(D)-γC-C′(D)特别当C′={a}时,属性a∈C关于D的重要性为σCD(a)=γC(D)-γC-{a}(D).4 模糊粗糙集属性约简 为了对模糊粗糙集合进行属性约简,必须先对属性模糊化.在粗糙集合中,属性对应的等价类是普通集合,而在模糊粗糙集合中,属性对应的等价类是模糊集,因此,往往把属性的等价类划分过程称为属性模糊化过程.在粗糙集中,每个对象属于且仅属于一个等价类,在模糊粗糙集中,每个对象可以属于多个模糊等价类.为了进行属性约简,必须求出复合属性的模糊等价类,具体模糊化的过程见文献[26].在文献[17]中给出了模糊粗糙集基于属性依赖性的属性约简的降维算法和例子,在文献[24]中研究了一种面向连续属性空间的模糊粗糙约简算法.5 模糊粗糙集发展现状 在文献[4-8]中,用论域上的模糊关系代替分明的二元关系,提出了模糊粗糙集合的概念,作为粗糙集合的模糊推广.在RS集理论中,基本的运算符是近似.对RS理论发展的研究至少有2种方法,即构造性方法和公理化方法.因此对模糊粗糙集的研究很多也是建立在这2种方法上的.在文献[17]中研究了模糊粗糙集上的一系列公理化集合,但他们的研究局限与用模糊T相似关系定义的模糊T 粗糙集上,而当模糊关系退化为分明关系时,就是一般的等价关系.然而,到目前为止,对一般关系下模糊粗糙集公理化方法的研究还不是很多,在文献[21]中给出了公理化的模糊粗糙集模型,在文献[25]中运用构造性和公理化方法,给出了模糊粗糙集研究的一般结构.在构造性方法下,基于一个任意的模糊关系定义了一对一般关系下的模糊粗糙集上下近似算子,在公理化方法下,用不同的公理集合刻画了不同类型的模糊粗糙近似算子,这些公理保证了确定类型的模糊关系的存在产生相同的算子.在文献[28]中,应用扩展原理,定义了依靠模糊关联和模糊隐含算子的模糊粗糙集合,并考虑了3个常用的算子,即S-,R-,Q L-算子,用其定义了3种类型的模糊粗糙集,并讨论了各自的性质,使其更好的用于不完全和不确定信息系统.在文献[27]中,讨论了在有限论域上模糊粗糙集模型和模糊拓扑空间之间的关系,提出了模糊拓扑空间上的T C 公理,并证明了所有基于自反和对称模糊关系的上下近似集合包含了一个满足T C公理的模糊拓扑空间,并且相反的,一个满足T C公理的模糊拓扑空间正好是在自反和对称模糊关系下的所有的上下近似集合.即在所有自反和对称模糊关系下的集合和所有满足T C公理的模糊拓扑空间之间,存在一个一对一的关系.但这只是在有限论域情况下的结论,在无限论域上的还不确定成立,需要进一步探讨.粗糙集理论已经被广泛和成功的应用许多领域,主要是由于它能发现隐藏在数据中的事实,而不需要额外的如专家系统或者阈值之类的信息,能在无监督条件下,挖掘出数据库里的最小知识表示.但粗糙理论在应用过程中,主要的载体是信息表,信息表中的对象是处理和挖掘的对象,而信息表中的对象的属性值要么是分明的,或者是实值的,虽然连续的属性值可以通过属性离散化方法离散,但势必会丢失一些重要信息,而且在粗糙理论下,无法判断2个属性值是相似的,或者在某种扩展意义下是相同的.因此,针对这个问题,文献[29-30]用模糊粗糙集来解决这些不确定问题,并将这个理论用于网络数据分类和挖掘上,收到了很好的效果.文献[26]将其进行了推广和完善.目前,国外学者主要从不同角度考虑模糊粗糙集的性质,根据模糊集近似推理方式的不同,主要形成了从3种不同角度研究的模糊粗糙集:基于形式逻辑的模糊粗糙集,基于三角模的模糊粗糙集,基于-截集的模糊粗糙集.6 模糊粗糙集发展展望 虽然模糊粗糙集已经发展了十几年,但作为一种理论,它还有很多的不完善,尤其是目前研究属性约简的算法还是相当少,而属性约简在实际生活中具有重要的意义.今后,模糊粗糙集还有很大的发展空间,它可能更广泛的应用于数据挖掘,知识发现等重要领域.参考文献:[1] Pawlak Z.R ough[J].International Journal of C omputerand in formation Science,1982,11:341-356.[2] Pawlak Z.R ough sets:theoretical aspects of reas oning aboutdata[M].Boston:K luwer Academic Publishers,1991:66-90.[3] Dubois D,Prade H.R ough fuzzy sets and fuzzy rough sets[J].International Journal of G eneral System,1990,17:191-208.[4] Dubois D,Prade H.Putting rough sets and fuzzy sets to2gether[C]∥S lowinski R,Intelligent Decision Support.[S.l.]:K luwer Academic,D ordrecht,1992:203-232. 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