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平面向量的基本概念与线性运算
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1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.
一、平面向量的概念：
1、平面向量：________________________________________________________
2、向量的模长：________________________________________________________
3、零向量:____________________________________________________________
4、单位向量：__________________________________________________________
5、 平行向量：_________________________________________________________
6、 相等向量：_________________________________________________________
7、相反向量：__________________________________________________________
二、平面向量的基本运算：
一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则2
称l可以用a，b线性表示．
第01讲_平面向量的基本概念
知识图谱
-向量的线性运算向量的概念向量的加减法及数乘向量向量共线的条件第01讲_平面向量的基本概念
错题回顾
向量的线性运算
知识精讲
一．向量的概念：
1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.
向量的表示方法：
（1）用有向线段表示；
（2）用字母，等表示；
（3）用有向线段的起点与终点字母；
（4）向量的长度称为向量的模，记作.
2．有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段
有向线段的三个要素：起点、方向、长度.
3．零向量、单位向量概念：
（1）长度为0的向量叫零向量，记作.
的方向是任意的.
（2）长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
4．共线向量定义：
方向相同或相反的非零向量叫共线向量；
说明：我们规定与任一向量共线.
5．相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量与相等，记作；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6．共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
二．平面向量的加减法
方法：向量的加法可以运用三角形法则，要求两个向量首尾相对应，理解方法，比如说一个物体从A 点运动到B点，再从B点运动到C点，那么就相当于这个物体从A点直接运动到C 点．或者运用平行四边形法则，这个类似于物理里两个分力求合力的方法一样．向量的减法要求两个向量首首相对应，然后方向指向被减向量（前头那个向量）．
向量的加法 向量的减法
注：首尾相对
注：首首相对
第六章平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）
1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算向量运
算定义法则(或几何意义)运算律
加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a
＋(b＋c)
减法求a与b的相反向量
－b的和的运算a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，
λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a
的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．
(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→
＝(x2－x1，y2－y1)，
|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
平面向量的线性运算教案
一、引言
平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理
1. 平面向量的定义和表示方法
2. 平面向量的加法和减法运算
3. 数乘运算及其性质
4. 平面向量的数量积及其性质
5. 平面向量的分解与合成
三、教学步骤
1. 概念讲解
(1) 平面向量的定义和表示方法
平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算
(1) 加法运算 - 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算
- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质
(1) 数乘运算
- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质
- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a
- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)
4. 数量积及其性质
(1) 数量积的定义
- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。 (2) 数量积的性质
- 交换律：a·b = b·a
- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)
- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c
5. 分解与合成
