多元函数复合求导和隐函数

多元复合函数的求导法则

为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。我们希望计算该函数的导数。下面是多元复合函数求导的三种基本法则。

法则一：链式法则

链式法则是求导复合函数最常用的法则。它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。

链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)

其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。

法则二：导数反函数法则

导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。它适用于求导符合函数的反函数的导数。

设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。

导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))

其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。

法则三：隐函数法则 隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。

假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。我们可以使用隐函数法则计算y的导数。

隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)

其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。

综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。

复合函数的求导法则推导过程

回顾：

一元复合函数 y=f(φ(x)) ⇔ y=f(u), u=φ(x)

其求导有链式法则： dydx=dydududx

画出函数关系图： y→u→x ，可见从 y 到 x 有一条路径，所以结果是 1 项的和，每一段路径（对应一个导数）乘起来。

这个规则推广到多元复合函数也是适用的。本篇就来讲一讲这个基本方法，掌握了它各种多元复合函数求导，包括各种隐函数求导，无论多复杂都手到擒来。

一. 基本步骤

非常简单：

（1）先理清函数关系，画出函数关系图；

（2）按照规则写出式子（有几条路径就是几部分的和，路径的每段对应的导数用乘法连起来）。

剩下的就只是计算，还要注意一元函数关系用直立的导，多元函数关系用偏导；还有通常的二元函数或多元函数（非隐函数，方程式才隐含隐函数），比如 z=f(x,y) , 其中的 x,y 是相互独立的，即 ∂x∂y=0,∂y∂x=0 , 也即通常求偏导时，将其余变量当常数对待。 很多学生追求题海战术，往往忽略第一步，结果做了大量的题目，遇到难题还是不会。

二. 若干例子

下面通过几个例子来阐述。

例1 u=ex3+y2+z,z=xsin⁡y , 求 ∂u∂x .

解：（1）分析函数关系， u 是 x,y,z 的函数， z 是 x,y 的函数，据此画出函数关系图：

（2）按规则写出式子

u 到 x 有两条路径： u 直接到 x ， u 先到 z 再 z 到 x ∂u∂x=∂u∂x+∂u∂z∂z∂x=⋯ （计算略)

注意：上式两个 ∂u∂x 的含义是不同的，左端的 ∂u∂x 是整个函数关系中的偏导关系，而右端的∂u∂x 只是这个分支路径的偏导关系，只考虑 u 对 x 的偏导，将 z,y 当常数对待。

说明：整个函数关系是指“复合之后 u 只是 x,y 的二元函数（不含中间变量）”，即

u=ex3+y2+xsin⁡y

而将整个函数关系（含中间变量）表示成的上图，是对整个函数关系的一种分解，分解之后每部分关系都是相对独立的关系（不再混杂不清），即

6.3 多元复合函数和隐函数求导法则

6．3．1 复合函数的求导法则

思考：设),(vufz， 而)(tu，)(tv，如何求dtdz？

设),(vufz，而),(yxu，),(yxv，如何求xz和yz？

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数)(tu及)(tv都在点t可导 函数),(vufz在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数)](),([ttfz在点t可导 且有

dtdvvzdtduuzdtdz

简证1：因为),(vufz具有连续的偏导数 则它是可微的 即有dvvzduuzdz

又因为)(tu，)(tv都可导 因而可微 即有dtdtdudu dtdtdvdv

代入上式得：dtdtdvvzdtdtduuzdzdtdtdvvzdtduuz)(

从而 dtdvvzdtduuzdtdz

简证2：当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z ，由),(vufz、)(tu及)(tv的可微性 有

)(ovvzuuzz)()]([)]([ototdtdvvztotdtduuz

)()()()(otovzuztdtdvvzdtduuz

tottovzuzdtdvvzdtduuztz)()()(

令t0 上式两边取极限 即得

dtdvvzdtduuzdtdz

注：0)()(0)()()(lim)(lim222200dtdvdtdutvuotott 推广：设),,(wvufz，)(tu，)(tv，)(tww，则)](),(),([twttfz对t 的导数为：dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz

8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

一．多元复合函数的求导法则

类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。

定义 设函数),(vufz，而u、v均为x、y的函数，即),(yxuu，),(yxvv，则函数)],(),,([yxvyxufz叫做x、y的复合函数。其中u、v叫做中间变量，x、y叫做自变量。

现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

定理 如果函数),(yxuu，),(yxvv在点（x,y）处都具有对x及对y的偏导数，函数),(vufz在对应点（u,v）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxvyxufz在点（x,y）处存在两个偏导数，且具有下列公式

xvvzxuuzxz

yvvzyuuzyz

定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。

作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。

u x

z

v y

图中的每一条线表示一个偏导数，如“z—u”表示uz。现在我们利用图来求xz，首先看z通过中间变量到达x有两条路径：xuz和xvz，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有uz和

xu两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xuuz。同理第二项为xvvz。于是

xvvzxuuzxz

一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。

例1 设vuzln2，而xyu，yxv32，求 xz，yz。