三排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)
已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.
分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
∵a≥b>0，∴1a≤1b.
又c>0，从而1bc≥1ca.
同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.
又由于顺序和不小于乱序和，故可得
a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3
＝b2c3＋c2a3＋a2b3∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3
≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b
＝1a＋1b＋1c.
∴原不等式成立．
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
1．已知012(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
第三讲 柯西不等式与排序不等式
学习目标：
1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．
2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.
3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．
重点：
柯西不等式及排序不等式的应用.
难点：
利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式
学习策略：
这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。
知识要点梳理
一：柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式：
（1）向量形式：
设是两个向量，则
（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。
（2）代数形式：
①若a、b、c、d都是实数，则
（当且仅当ad=bc时，等号成立）
②若a、b、c、d都是正实数，则
（当且仅当ad=bc时，等号成立）
③若a、b、c、d都是实数，则
（当且仅当ad=bc时，等号成立）
注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；
（3）三角形式： 设，则。
2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：
若都是实数，
则，当且仅当或存在实数k，
使得时，等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：
若都是实数，则
，
当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。
二：排序不等式（又称排序原理）
设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则
≤≤
即：反序和≤乱序和≤顺序和．
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．
用排序不等式证明不等式(所证不等式)中字母大小顺序已确定
[例1] 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：
a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.
[思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[证明] ∵a≥b>0，于是1a≤1b，
又c>0，从而1bc≥1ca，
同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.
又由于顺序和不小于乱序和，故可得
a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3 ＝b2c3＋c2a3＋a2b3∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3
≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.
∴原不等式成立．
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）
教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案：(0,0)2ababab及几种变式.
2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd
证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc
二、讲授新课：
1. 教学柯西不等式：
① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd
222()()()acbdadbcacbd.
（要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.
∵ mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn. ∴ …..
证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则
22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.
∴ 22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式：2222||abcdacbd 或 2222||||abcdacbd
或2222abcdacbd.
④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||.
