第三讲排序不等式

人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。

二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。

三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。

3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。

四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。

三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。

第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )A．3 B．6C．9 D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＝NC．M＜N D．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a的最大值是( ) A．1 B．2C．3 D.3 3解析：设a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c.由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.所以a b＋b c＋c a≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，a n为实数，b1，b2，…，b n是a1，a2，…，a n的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋…＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．。

第三讲 柯西不等式与排序不等式2．熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;．会应用柯西不等式解决函数最值，方程、不等式等的一些问题一、课前准备 知识情景：1. 柯西主要贡献简介： 柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2．如果,a b R ∈, 那么222a b a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 当0,0a b >>时，由222a b a b +≥⇒基本不等式： 二、新课导学（一）二维形式的柯西不等式1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式. 证法1.（综合法）222222222222()()a b c d a c a db c b d++=+++222()()()a c b d =++当且仅当 时, 等号成立.证法2.（构造法）分析：22222()()()a c b d a b c d +++⇐22222[2()]4()()0a c b d a b c d +-++而22222[2()]4()()a c b d a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x a c b d x c d =+-+++， ∵ 22()()()f x a x c b x d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证. 证法3.（柯西不等式的向量形式） 设向量(,)ma b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式1.若,,,a b c d R ∈，则_a c b d +_a c b d +；变式2.若,,,a b c d R ∈；变式3. （三角不等式）若1122,,,x y x y R∈推论：若123123,,,,,x x x y y y R ∈，则≥3. 二维柯西不等式的应用：例1．（1）已知,a b 为实数，求证： 4422332()()()a b a b a b ++≥+ （2）设,,1a b R a b +∈+=，求证：114ab+≥例2．（1）求函数y =（2）若231x y +=，求2249x y +的最小值，并求最小值点。