切线长定理和三角形的内切圆(讲义和练习)

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切线长定理和三角形的内切圆（讲义）

【点知讲解】

1. 切线长定理

对于切线长定理，应明确：①若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；②若已知两条切线平行，则

圆上两个切点的连线为直径；③经过圆外一点引圆的两条切线，连接两个切点可得到一个等腰三角形；④

经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个

半径的夹角互补；⑤圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切

线所夹的角.

2. 三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三

角形的三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角

平分线的交点，叫做三角形的内心.

（4）直角三角形的内切圆半径与三边关系.

图（1）中，设a，b，c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，

则内切圆半径（1）srp=，其中1()

2

p

a

bc=+

+；图（2

）中，∠C

＝90°

，则1(

)2r

abc

=+−

.

【点题精讲】

一、切线长定理

【例1】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC

是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝ . 【变式训练1】（1）如图1，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC＝ . （2）如图2，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长为 . （3）如图3，AD，AE，BC都是⊙O的切线，切点分别为D，E，F，若AD＝6，∠A＝40°，则△ABC的周长为 ，∠BOC＝ . A

B C O P A

B C a b c A

B C a b c A

B C E D

F O A

B O P

图2 A C P

O B

A B O C D

A O E C

D B F

图1 图3

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二、三角形内切圆

【例2】如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF、BE的

长度是方程0

30132

=+−

xx的两个根，则

△ABC的面积是

.

【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC＝6，AC＝8.

（1）求⊙I的半径；（2）求OI的长.

【例3】如图，在△ABC中，内切圆O和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则下列四个结论中

错误的是（ ）

A. 点O是△DEF的外心 B. ∠AFE＝21(∠B＋∠C)

C. ∠BOC＝90°＋21∠A D. ∠DFE＝90°－21∠B

【变式训练3】如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC外心，∠BOC＝140°，

则∠I为 . A

B C I O A F C

E

D B O

A C B

O I

A

B D C F E O

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三、四边形切圆的问题

【例4】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B. CD交AM，BN于点D，C. DO平分∠ADC.

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R. 【变式训练4】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN.

（1）求证：OB⊥OC；

（2）若OB＝6，OC＝8，求MN的长.

四、内切圆与几何探究性问题

【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，AB为⊙O的直径. 动点P从点A开始沿AD边向D点以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动. P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t s，t为何值时，直线PQ与⊙O分别相切、相交、相离？

A E

B

D G C F O M

N A D M

B C N O

A P D

B Q C O G

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【变式训练5】如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，⊙O

的半径为1，∠

1＝60°.

下列结论中错误的是（

）

A. MN

＝334

B. 若MN与⊙O相切，则AM＝3

C. 若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切

D. l1与l2的距离为2

【例6】如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分线与边AB交于点P，S，M分别为△ABC的内切圆⊙I与边AB，BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D. 证明：PD是⊙I的切线.

【变式训练6】如图，已知AB为⊙O的直径，CD，CB为⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点

E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD. 给出以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC

＝FE. 其中正确的是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

O M A

N B l2 l1 1

A

B M C S

D P I

A B F C

O D E

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【跟踪训练】

1. 已知AB，AC与⊙O相切于B，C点，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一个动点，则∠BPC的度数是（ ）

A. 65° B. 115° C. 65°或115° D. 130°或50°

2. 如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F. 已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（ ） A. 40° B. 55° C. 65° D. 70°

3. 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB、BC都相切，点E、F分别在边AD、DC

上. 现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处. 若DE＝2，则正方

形ABCD的连长是（ ）

A. 3 B. 4 C. 22+ D. 22

4. 如图，以正方形ABCD

的BC边为直径作半圆

O，过点D

作直线切半圆于点F，交AB边于点

E，则△ADE和直角梯形

EBCD周长之比为（

）

A. 3﹕4 B. 4﹕5 C. 5﹕6 D. 6﹕7

5. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过点O作OE⊥AD于点E，作OF⊥CD于点F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为（ ）

A. 21 B. 32 C. 43 D. 不能确定

6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（ ） A. 120° B. 125° C. 135° D. 150°

7. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，

E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N. 若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周

长为（ ）

A. r B. r23 C. 2r D. r25

B C A D E

F O

B C A D

O F E A

B D C E F

O A E D

B C F G O H P

第3题图 第2题图 第5题图 第4题图

A

B C I D A

B N E C D

M O P B

C P A O C B A

P E

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图

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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，

且⊙O与AB，AC都相切，则⊙O的半径为

.

9.

如图，在△ABC

中，∠C＝

90°，∠A

和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC＝2，AC

＝3，则AE·EB＝ .

10. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O切

CD于点M，若这个梯形的面积是10cm2，周长是14cm，则半圆O的半径等

于 cm.

11. 已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.

（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；

（2）如图2，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小.

12. 如图，△ABC的三边满足关系BC＝21(AB＋AC)，O，I分别为△ABC的外心和内心. ∠BAC的外角平

分线交⊙O于E点，AI的延长线交⊙O于D点，DE交BC于H点.

求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝21AE.

O A D

B C M

O E

A

B C D I H 图1 O E C

A M B D O C

A M B

图2