【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十三章推理与证明、算法、复数13.1合情推理与演绎推理理基础知识自主学习D知识梳理要点讲解深层突破1 •合情推理（1）归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理（简称归纳法）•②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理①定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（简称类比法）•②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程•归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2 •演绎推理（1）演绎推理一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理•简言之，演绎推理是由一_ 般到特殊的推理.（2）“三段论”是演绎推理的一般模式①大前提 - 已知的一般原理；②小前提一一所研究的特殊情况；③结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“V”或“ X”）（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. （X ）（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. （V ）（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. （X ）（4）“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m—定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.（V ）⑸一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n= n（n€ N）. （x ）（6）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确. （x ）快速解答自查自纠1.观察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+ b5= 11,，，贝U a"+ b10答案123解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10+ b10= 123.2 •命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是__________ .①使用了归纳推理；②使用了类比推理；③使用了“三段论”，但推理形式错误；④使用了“三段论”，但小前提错误.答案③解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误.3. （2014 •福建）已知集合｛a, b, c｝= ｛0,1,2｝，且下列三个关系：① a z 2,②b= 2,③c^0 有且只有一个正确，则100a+ 10b + c = ______ .答案201解析因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到a z 2,b z 2,由于集合｛a, b,c} = {0,1,2}，所以解得a= b= 1, c= 0,或a= 1, b= c= 0, c= 0,或b= 1, a= c= 0，与互异性矛盾；b= 2,若②正确, 则①③不正确，得到a= 2,与互异性矛盾；c= 0,c z 0,a= 2,若③正确,则①②不正确，得到a= 2,贝U b= 0, 符合题意，所以100a+ 10b+ cb z 2,c= 1,4 •类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；考点自测=201.② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是 __________ . 答案①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异 面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.5.（教材改编）在等差数列｛a n ｝中，若a io = 0，则有a i + a 2+, + a n = a +比+, + a i9—n （n <19,n € N ）成立，类比上述性质，在等比数列｛b n ｝中，若b 9= 1,则b i b 2b s b 4, b n = __________________ .答案 b i b 2b 3b 4, b i7-n （n <17, n € N ）题型分类深度剖析题型一归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理 例1（2015 •陕西）观察下列等式:1 1 1 ——=—2 2，11111——k ———一— —k — 2 3 4 3 4'11111111—+ —— —+一 — 一 = —+一+一 2345645 6'5?据此规律，第 n 个等式可为 ___________________________________ . … 1 1 1 1111 1答案 1—2+3— 4+, + 2n —1—2n =n +i ++, + 亦解析 等式左边的特征：第 1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错,第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发 1 1 1现第n 个等式右边应为n +^+n +2 +, + 命题点2与不等式有关的推理1 4 x x 4 27 xxx例 2 已知 x € （0，+^），观察下列各式： x +-》2， x + 2 = ;+; + 二>3， x+r = + +~x x 22x x 33 3故第n 个等式左边有2n 项且正负交错,应为 1—2+1—1+, +_」 12n — 1 2n等式右边的特征:a*x + n 》n + 1(n € N)，贝U a =x答案n n12解析 第一个式子是 n = 1的情况，此时 a = 1 = 1 ；第二个式子是 n = 2的情况，此时 a =2 =4 ；第三个式子是 n = 3的情况，此时 a = 33= 27,归纳可知 a = n n . 命题点3与数列有关的推理例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数n n +111n 个三角形数为 — =空门1 2+罗，记第n 个k 边形数为Nn , k )( k >3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 正方形数 五边形数 六边形数可以推测Nn , k )的表达式，由此计算 N10,24)答案 1 000k 一 2 4— k解析 由N (n,4) = n 2, N (n,6) = 2n 2 — n ,可以推测：当 k 为偶数时，N (n , k ) = — n 2+ —n ,=1 100 — 100 = 1 000. 命题点4与图形变化有关的推理 例4某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两1夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 3的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°,,,依此规律得到n 级分形图.1,3,6,10 , ,，第“ 1 2 1N (n, 3)=尹 + 尹2N n ,4) = n , 3 2 1N n, 5)=尹—尹2N (n,6) = 2n — n•••N(10,24) 24— 22 X 100+4— 2410，类比得—级分昭图二级射磁图三级分形图答案⑴ 3X2 n—3 (2)9 —9X 2 n解析(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有 3 =. . 2 . . 3(3 X 2—3)条线段，二级分形图中有9 = (3 X2 —3)条线段，三级分形图中有21 = (3 X2 —3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n= (3 X2 n—3) ( n€ N*).1⑵•/分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来3的线段，二n级分形图中第n级的所有线段的长度和为b n= 3X '|)— 1 ( n€ N) ,••• n级分形图中所有线段长度之和为S =2丿思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1) 与数字有关的等式的推理•观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2) 与不等式有关的推理•观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3) 与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4) 与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.跟踪训练1 (1)观察下图，可推断出“ x”处应该填的数字是____________ •⑵如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，，，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为__________ •答案(1)183 (2)8解析(1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，•“x”处应填的数字是322 2 2+ 5 + 7 + 10 = 183.⑵由题意知，第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2X 6,第4层的点数为3X 6,第5层的点数为4X 6,,，第n(n》2, n€ N*)层的点数为6( n—1).设一个点阵有* 6+ 6 n—1n(n》2, n€ N)层，则共有的点数为 1 + 6 + 6X2+ , + 6(n—1) = 1 + ------- ------ x(n—1)2 2 . . =3n —3n+ 1,由题意得3n —3n+ 1= 169, 即( n+ 7) • ( n —8) = 0,所以n= 8,故共有8 层.题型二类比推理*nb — ma例5 已知数列｛a n ｝为等差数列，若 a m = a , a n = b (n — m> 1, m n € N)，贝U a m+n = --------- .类n — m 比等差数列｛a n ｝的上述结论，对于等比数列 ｛b n ｝( b n >0, n € N)，若b m = c , b n = d (n — m>2, mn € N)，则可以得到 b m + n = _________ .思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的 类比等. 跟踪训练2 在平面上，设h a , h b , h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P p a p b p c 到相应三边的距离分别为 P a , R, P c ,我们可以得到结论： £+ R+ R= 1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为R R R R + —+—+—= 1 h a + h b + h c +h d解析 设h a , h b , h c , h d 分别是三棱锥 A — BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A- BCD 内任一点,P a P b P c P dP 到相应四个面的距离分别为 P a , P b , P c , P d ,于是可以得出结论：+ 7- + -= 1.h a h b h c h d题型三 演绎推理例6 数列｛a n ｝的前n 项和记为S,已知a 1= 1, a n +1 = (n € N*).证明:(1) 数列弓是等比数列； (2) S+1 = 4a n .n + 2 a n + 1 = S n ,答案 n — m d n:c m解析 设数列｛&｝的公差为d ,数列｛b n ｝的公比为q .因为◎= a i + (n — 1)d , b n = b i q n 1,a m+n =nb —答案 证明(1) ... a n + 1 = S n + 1— S n ,所以类比得n =n .•.( n+ 2) S= n(S+1 —S)，即nS+1 = 2(n+ 1)S.S n+ 1 S S••• n+1=2 •■，又彳=1工o,(小前提)故罟是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）（大前提是等比数列的定义，这里省略了）S+1 S-1（2）由（1）可知「= 4 • —-（n》2）,n+ 1 n—1Si-1 n —1 + 2S+1= 4（n+1）•= 4 •• S i-1\ 丿n—1 n—1=4a n（n>2）,（小前提）又a2= 3S= 3, S2 = a1 + a2 = 1 + 3= 4 = 4a1,（小前提）•••对于任意正整数n,都有S+1 = 4a n.（结论）（第⑵问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练3 某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅•”结论显然是错误的，是因为________________________ •①大前提错误；②小前提错误；③推理形式错误；④非以上错误.答案③解析因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误.高频小考点10 •高考中的合情推理问题他们典例1 （1）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10 ,,记为数列｛a n｝，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列｛b n｝，可以推测：① b 2 014是数列{a n }的第 ________ 项； ② b 2k — i = ______________ .(用k 表示)” “—n n+1解析① a n = 1 + 2 +, + n =4x5b i = 2 = a 4, 5X6b 2=-2⑵ 设S , T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到T 的函数y = f (x )满足：(1) T ={f (x )| x € S }; (2)对任意X 1, X 2€ S ,当X 1<X 2时，恒有f (X 1)<f (X 2).那么称这两个集合"保 序同构” •以下集合对不是“保序同构”的是 ___________ . ① A = N , B = N;② A = {X | —1< X < 3}, B= {X | X = — 8 或 0<X < 10};③ A = {x |0< x <1}, B = R ;④ A = Z , B= Q解析 对于①，取f (x ) = x — 1, x € N *，所以A = N*, B = N 是“保序同构”的，故①是；对于[■— 8, x =— 1,a 5,b 3= 92=a o ,214X 3X5225k k —1 2答案①5 035k — 1 2__b 4= b 5= b 6=a io , a i4, a i5,所以A= {x| —1< x<3}, B= {x|x=—8 或0<x< 10}②，取f(x) = f X+ 1,—1<x<0,2iX + 1, 0<x< 3,n是“保序同构”的，故②是；对于③，取f (x) = tan( n x —~2)(°< x<1),所以A={x|0<x<1},B = R 是“保序同构”的，故③是•④不符合，不是保序同构.答案④温馨提醒 (1)解决归纳推理问题， 常因条件不足，了解不全面而致误. 应由条件多列举一些 特殊情况再进行归纳.(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.思想方法感悟提高［方法与技巧］1 •合情推理的过程概括为2•演绎推理是从一般的原理出发， 推出某个特殊情况的结论的推理方法， 是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论•数学问题的证明主要通过演绎推理来进行. ［失误与防范］1 •合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2 •演绎推理是由一般到特殊的证明， 它常用来证明和推理数学问题， 注意推理过程的严密性， 书写格式的规范性.3 •合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.练出高分A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1 •下列推理是归纳推理的是 _________ •① A , B 为定点，动点 P 满足PA + PB= 2a ＞AB 贝U P 点的轨迹为椭圆； ② 由a= 1, a n = 3n —1,求出S, S, 猜想出数列的前 n 项和S 的表达式；2 2③ 由圆X 2 + y 2 = r 2的面积n r 2,猜想出椭圆 与+ 〜 1的面积S = n ab ;a b④ 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 答案②解析 从S , S, S 猜想出数列的前n 项和S ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理. 2 .正弦函数是奇函数，f (x ) = sin( x 2 + 1)是正弦函数，因此 f (x ) = sin( x 2+ 1)是奇函数，以 上推理 _________ • ① 结论正确； ②大前提不正确； ③小前提不正确；④全不正确.从具体问题出发＞观察、分析、比较、联想 一归纳、类比答案③解析f (x ) = sin( X 2+ 1)不是正弦函数，所以小前提错误.3 .平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为f (n ) = ________________2小n + n + 224 .给出下列三个类比结论：① (ab )n = a n b n 与(a + b )n 类比，则有(a + b ) n = a n + b n ；② log a ( xy ) = log a x + log a y 与 sin( a + 3 )类比，则有 sin( a + 3 ) = sin a sin 3 ； ③ (a + b )2= a 2+ 2ab + b 2与(a + b )2类比，则有(a + b )2 = a 2+2a • b + b 2. 其中正确结论的个数是 __________ . 答案 1解析 (a + b )n z a n + b n (n z 1, a • b *0)，故①错误. sin( a + 3 ) = sin a sin 3 不恒成立. 如 a = 30°, 3 = 60°, sin 90 ° = 1, sin 30 ° • sin 60 ° =-,4故②错误.由向量的运算公式知③正确.5 .若数列｛ a n ｝是等差数列，则数列｛b n ｝( b n = + ^+ ' + )也为等差数列.类比这一性质可答案 解析1条直线1 +1个区域；2条直线最多可将平面分成 1+ (1 + 2) = 4 个区域; 3条直线最多可将平面分成 1+ (1 + 2+ 3) = 7 个区域; n 条直线最多可将平面分成 1 +(1 + 2+ 3 +, + n ) = 1 + n n + 12~个区域.知，若正项数列｛6｝是等比数列，且｛ d n ｝也是等比数列，则 d n 的表达式应为① d n =C1+ C2+ , + 6C 1 • C 2②d n =Cn③d n = —n n nC 1 + C 2 + , + C n④d n =• C 2 • , •C答案解析 若｛a n ｝是等差数列，则 a 1 + a 2 +, + a n = na 〔 + n n -1―2—d ，… n -1 …b n = a 1 + 2d = ?n + a -2,即｛b n ｝为等差数列;若｛C n｝是等比数列，n(n 斗) n 2n 1 + 2 + , + ( n- 1) = C 0 贝廿C1・C2・,・C n = C1・q J=1,故有X 1X 0 ~~—— a y 1y ob 2 X 2Xy 2y °n(n J)••• d n = ^C 1 • C 2 • , • ―c n — G q ，卩｛d n ｝为等比数列.6 .观察下列不等式：1117 1+ 2 + 3 + 42<4'照此规律，第五个不等式为 ___________________________ 1 1 1 1 1 11 答案1 +尸+ 32 +尸+孑+ 6"<6解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母 相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.1 1 1 1 1 11 故第五个不等式为 1 + 22+32+ 4^+孑+ &<石.2 27 .若P o (x o , y 。
