高中数学北师大版选修1-2《推理与证明复习一》试卷讲评课教案

复习课(二) 推理与证明[对应学生用书P43]其中归纳推理出现的频率较高，重点考查归纳、猜想、探究、类比等创新能力．[考点精要]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[典例] (1)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……，据此规律，第n 个等式可为_________________________________． [解析] (1)正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. (2)等式的左边的通项为12n －1－12n ，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. [答案] (1)127 (2)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[类题通法](1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．[题组训练]1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．则f (4)＝________，f (n )＝________.解析：因为f (1)＝1，f (2)＝7＝1＋6，f (3)＝19＝1＋6＋12，所以f (4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f (n )＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋12．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m －n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n ，(m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m －n ＝1(1)获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．[考点精要](1)综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．(2)分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．[典例] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] 法一：综合法 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二：分析法因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8.只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立， 所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．[题组训练]1．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c . 证明：要证d ＋a ＜b ＋c ， 只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．2．定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0.证明：(1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.(2)由已知当x>0时，f(x)>1，由(1)得f(0)＝1，故当x≥0时，f(x)>0成立．当x<0时，－x>0，所以f(－x)>1，而f(x－x)＝f(x)f(－x)，所以f(x)＝1f －x，可得0<f(x)<1.综上，对任意的x∈R，恒有f(x)>0成立.(1)问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．[考点精要]1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．[典例] (1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a，b，c都是偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．[解析] (1)自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )， 与已知矛盾，故原命题成立． [类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．[题组训练]1．已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.证明：假设a ，b ，c 均小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1， 则有a ＋b ＋c ＜3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝4n 2a ＋2nb ＝2n (2na ＋b )必为偶数， 与ak 2＋bk 为奇数矛盾；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak 2＋bk 为奇数矛盾．综上可知方程f (x )＝0无整数根．1．用演绎推理证明函数y ＝x 3是增函数时的大前提是( ) A ．增函数的定义B ．函数y ＝x 3满足增函数的定义 C ．若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2) D ．若x 1>x 2，则f (x 1)>f (x 2)解析：选A 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数y ＝x 3是增函数的大前提应是增函数的定义．2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.7．观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.答案：1838.如图，圆环可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r2.所以圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．解析：平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .答案：2π2r 2d9．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ， 所以S 7＝2×72－7＝91. 答案：9110．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |， 即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2， 即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2， 即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1， 所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：__________________________＝32，(*) 并给出(*)式的证明． 解：一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝12(1－cos 2α)＋12[1－cos(2α＋120°)]＋12[1－cos(2α＋240°)]＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12[cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°]＝32－12cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边． ∴原式得证．12．设函数f (x )＝e xln x ＋2ex －1x，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。

2数学证明数学证明看下面两个命题：(1)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：一般性道理． 问题2：第二句又说什么？提示：特殊示例． 问题3：第三句呢？提示：由一般性道理对特殊示例作出判断．1．演绎推理的一般模式三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括 大前提：一般性道理； 小前提：研究对象的特殊情况； 结论：由大前提和小前提作出的判断． 2．合情推理与演绎推理的关系合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．1．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提．2．三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．3．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确．把演绎推理写成三段论[例1](1)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.(2)以a n＝2n＋3为通项公式的数列{a n}为等差数列．[思路点拨] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．[精解详析] (1)等腰三角形两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论(2)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提以a n＝2n＋3为通项公式的数列为等差数列．结论[一点通] 三段论由大前提、小前提和结论组成．大前提提供一般性原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般性原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的．1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是( )A．①B．②C．③ D．①和②解析：选B ①是大前提，②是小前提，③是结论．2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”此推理的大前提为( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等答案：B3．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)能被2整除的数都是偶数，34能被2整除，所以34是偶数．(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0.现有f(x)＝x，x∈R是奇函数，则有f(0)＝0.解：(1)能被2整除的数都是偶数， (大前提)34能被2整除， (小前提)所以34是偶数． (结论)(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0，(大前提)f(x)＝x，x∈R是奇函数，且在x＝0处有定义， (小前提)则有f(0)＝0.(结论)演绎推理的判断[例2](1)自然数是整数，大前提－6是整数，小前提所以，－6是自然数．结论(2)中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以，北京大学分布在中国各地．结论(3)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(0＜x＜π)是三角函数，小前提y＝sin x(0＜x＜π)是周期函数．结论[思路点拨] 判断三段论推理是否正确，必须严格按其推理规则进行考察，其推理规则为：所有M都是P，S是M，则S是P.既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理形式是否合乎规范．[精解详析] (1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．[一点通] 判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．4．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A 若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．5．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误解析：选B 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误.用三段论证明几何问题[例3] DE∥BA，求证：ED ＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨] 证明ED＝AF，可证明四边形AEDF为平行四边形．[精解详析] 因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论[一点通](1)三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.(2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．6．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°，求证：a<b.证明：∵A＝30°，B＝45°，∴A<B.∴a<b.此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是________________．解析：大前提是三角形中“大边对大角，小边对小角”的一个结论．答案：在△ABC中，若A<B，则a<b7.如图，已知在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD.证明：∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论用三段论证明代数问题[例4] 已知n124成等差数列，又b n 1(n＝1，2,3，…)．证明：{b n}为等比数列．＝a2n[证明] ∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a22＝a1a4.设{a n}的公差为d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝2nd ，b n ＝1a 2n ＝12n d. 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上可知，{b n }为等比数列． [一点通](1)在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重新指出．因此，就会出现隐性三段论．(2)本题在推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然．只是大前提“等比数列的判定方法”在证明过程中省略，并不影响结论的正确性．8．“因为y ＝sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，所以sin 3π7>sin 2π5”，上述推理中，大前提为________________，小前提为________________，结论为________________．答案：y ＝sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数 3π7∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且3π7>2π5 sin 3π7>sin 2π59．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab时，则 x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a b 上是减少的．当x 2>x 1≥ab时，则 x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增加的．1．应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是人们熟知的，则可以省略不写．2．合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系是： 推理方式 意义主要形式 结论的真假 合情推理 认识世界、发现问题的基础 归纳推理、 类比推理 不确定 演绎推理证明命题、建立理论体系的基础三段论真1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确，∴结论正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，PO ⊥l 交l 于O ，则可以得到的结论是________．解析：由面面垂直的性质定理知PO ⊥β. 答案：PO ⊥β6．函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线，用三段论表示为： 大前提：_____________________________________________； 小前提：_____________________________________________； 结 论：_____________________________________________. 答案：一次函数的图像是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线7．已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明b a <b ＋ma ＋m. 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b <a ，m >0， (小前提)所以，mb <ma . (结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)mb <ma ， (小前提)所以，mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )， (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提)b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提)所以，b a ＋m a a ＋m <a b ＋m a a ＋m ，即b a <b ＋ma ＋m. (结论)8.如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的棱长均为a ，D ，E 分别为C 1C ，AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D .证明：(1)如图，连接A 1D ，DG ，BD ，∵三棱柱ABC ­A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴四边形A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点， ∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD .∵G 为A 1B 的中点， ∴A 1B ⊥DG . 又∵DG ∩AB 1＝G ， ∴A 1B ⊥平面AB 1D ，又∵AD 平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD . (2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，DC ∥AA 1， ∴GE ∥DC .∵GE ＝12AA 1＝12a ，DC ＝12CC 1＝12a ，∴GE ＝DC .∴四边形GECD 为平行四边形，∴EC ∥GD .又∵E C ⃘平面AB 1D ，DG 平面AB 1D ， ∴EC ∥平面AB 1D .9．求证：函数f (x )＝2x－12x ＋1是奇函数且在定义域上是增函数．证明：f (x )＝2x＋1－22x＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为R.f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22－x＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2x ＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2x ＋2·2x1＋2x＝2－21＋2x1＋2x＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－21＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋2x 2 ＝22x 1－2x 21＋2x 21＋2x 1，由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0. 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．。

2019-2020年高中数学北师大版选修1-2第三章《推理与证明》（第1课时合情推理）精品学案1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().A.10nB.10n-1C.10n+1D.11n【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(xx年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则7xx的末两位数字为().A.01B.43C.07D.49【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵7xx=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().A.1+++…+<(n≥2)B.1+++…+<(n≥2)C.1+++…+<(n≥2)D.1+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。

演绎推理一、教学目标 1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理； (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？ ②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则） 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入：（小前提）是二次函数函数12++=x x y（二）、新课探析 1.概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提） S —M （S 是M ） （小前提） S —P （S 是P ）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2.例题探析：21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

§2 数学证明●三维目标1．知识与技能(1)体会数学证明的特点，了解数学证明的思想方法．(2)熟悉三段论证明命题的推理形式．2．过程与方法通过对三段论证明方法的学习，感受演绎推理的形式，明确推理的依据．3．情感、态度与价值观(1)通过对数学证明的学习，体会三段论推理的作用．(2)通过感受演绎证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯．●重点难点重点：正确理解“三段论”推理的形式和各部分的含义，能用演绎推理进行一些简单的推理．难点：对常见数学证明书写中的三段论给予严格、正确的解读．演绎推理的一般模式——三段论是本节的重点，为了突破它，可创设适当的情境，情境应符合实际，包括生活场景的实际、教学内容的实际、学生知识状况的实际、学生思维发展的实际等，实现数学新知识的建构学习．要通过反例，让学生理解演绎推理的前提和结论之间所蕴涵的关系，本节通过例题和变式，让学生归纳出演绎推理错误的主要原因，再通过例题及变式找到本题的大前提、小前提、结论，再进行知识梳理，培养学生演绎推理和逻辑证明的能力，从而突破难点．(教师用书独具)●教学建议1．本节知识与学生的日常生活联系密切，教学中，可引导学生从生活实例和已学过的数学例子出发，让学生经历从实际背景中感受出演绎推理含义的过程，而不是追求概念的抽象表示，学生通过“经历”、“体会”、“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现以学生为全体的现代教育观．2．要通过具体实例帮助学生了解合情推理和演绎推理的区别与联系，让学生既要学会证明，也要学会猜想．数学内部规律的准确性须用演绎推理的方式来证明，而在证明或数学学习的过程中，也经常使用合情推理去猜测和发现结论．●教学流程创设情境，引入课题⇒探究新知：通过实例，讨论(1)什么是演绎推理？(2)什么是三段论？(3)合情推理与演绎推理有哪些区别？⇒抽象概括：(1)演绎推理的定义及特点；(2)演绎推理的一般模式——“三段论”及集合解释；(3)合情推理与演绎推理的区别与联系⇒互动展示：通过例题及变式深化对新知的认识⇒归纳总结：通过提问，归纳本节所学知识与方法科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石，还发现了鱼龙的化石，地质学家们推断说，鱼类、贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．(1)地质学家的这种推断方式有什么特点？ (2)根据此例，能否概括出这种推断的模式？ 【提示】 (1)由一般情况推断特殊情况．(2)⎭⎪⎬⎪⎫鱼、贝类都生活在海洋里喜马拉雅山上发现了鱼、贝类(化石)――→结论喜马拉雅山曾是海洋．1．演绎推理的概念从一般性的道理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 2．演绎推理的主要形式三段论是最常见的一种演绎推理形式，先表述大前提、小前提，由此给出结论，即为三段论推理的形式．其中(1)大前提——已知的一般性道理； (2)小前提——所研究对象的特殊情况；(3)结论——根据一般性道理，对特殊情况作出的判断．将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；(2)三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；(3)循环小数是有理数，0.3·是循环小数，所以0.3·是有理数． 【思路探究】 明确大前提、小前提、结论的概念是解题的关键． 【自主解答】 (1)一切偶数都能被2整除，(大前提) 0是偶数，(小前提) 0能被2整除．(结论)(2)三角形的内角和是180°，(大前提) 等边三角形是三角形，(小前提) 等边三角形的内角和是180°.(结论) (3)循环小数是有理数，(大前提)0.3·是循环小数，(小前提)0.3·是有理数．(结论)1．三段论的一般模式是：大前提、小前提、结论．2．用三段论写演绎推理的过程，关键是分清推理的大前提和小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理中往往省略，而小前提指出了大前提的一个特殊情况，结论是在大前提和小前提的基础上，说明一般原则与特殊情况间的联系．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．(2)通项公式a n＝2n＋3表示的数列{a n}为等差数列．(3)y＝cos x(x∈R)是周期函数．【解】(1)大前提：平行四边形的对角线互相平分，小前提：菱形是平行四边形，结论：菱形的对角线互相平分．(2)大前提：数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，小前提：通项公式是a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，结论：通项公式a n＝2n＋3表示的数列{a n}为等差数列．(3)大前提：三角函数是周期函数，小前提：y＝cos x(x∈R)是三角函数，结论：y＝cos x(x∈R)是周期函数．下列推理是否正确，如不正确，请说明理由．(1)留大胡子的是导演，(大前提)马大爷留了大胡子，(小前提)所以马大爷是导演．(结论)(2)无理数都是实数，(大前提)2是实数，(小前提)所以2是无理数．(结论)(3)金属铜、铁、铝能够导电，(大前提)金是金属，(小前提)所以金能导电．(结论)【思路探究】从推理形式、大前提、小前提及结论等几个方面进行判断．【自主解答】(1)错．错在大前提，在“三段论”中大前提要求是对所有对象都成立的一般性原理．(2)错．错在小前提，“三段论”中要求小前提中的特殊对象必须是大前提中一般对象的子集，故正确的小前提应为“2是无理数”，这样才可以得到“2是实数”的正确结论．(3)错．错在推理形式，因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．可以从以下几个方面来判断演绎推理是否正确：(1)看推理形式是否正确，即看是否由一般到特殊的推理．(2)看大、小前提是否正确，注意小前提是大前提的特殊情况．(3)大前提、小前提或推理形式之一错误，都可以导致结论错误．凡自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．两个“整数”概念不一致【解析】该推理的大前提、小前提和结论及推理形式都是正确的，因此这个三段论推理正确．【答案】 A求证：函数f(x)＝1－22x＋1是奇函数．【思路探究】在证明中，弄清大前提是什么、小前提是什么，这是证明的关键．【自主解答】函数f(x)的定义域是R，且f(－x)＝1－22－x＋1＝1－2×2x1＋2x＝1＋2x－2×2x1＋2x＝1－2x1＋2x＝2－(2x＋1)1＋2x＝21＋2x－1＝－(1－22x＋1)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．1．求证f (x )是奇函数的大前提是奇函数的定义，在证明过程中，有时大前提可以省略不写．2．虽然有时大前提可以省略不写，但是每一步推理都要知道大前提是什么，以免因大前提错误造成推理错误．已知函数f (x )＝－a a x ＋a (a ＞0，且a ≠1)，求证：函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称．【证明】 函数f (x )的定义域是R ，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)的对称点的坐标为(1－x ，－1－y )，由已知y ＝－aa x ＋a ，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，又f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a ax ＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a.所以－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称.用列表法解逻辑推理题(12分)有6名歌手参加电视歌曲大奖赛，组委会只设一名特别奖．观众A ，B ，C ，D 四人对于谁能获得特别奖进行了如下猜测：A 说：“不是1号就是2号能获得特别奖．”B 说：“3号不可能获得特别奖．”C 说：“4号、5号、6号都不可能获得特别奖．”D 说：“能获得特别奖的是4号、5号、6号中的一个．”比赛结果分布后表明，A ，B ，C ，D 四人中只有一个人猜对了．问：是谁猜对了？究竟是几号歌手获得了特别奖？【思路点拨】 抓住只设一名特别奖与只有一个猜对比赛结果考虑．【规范解答】将4人的判断结果列表如下，其中可能获特别奖打“√”，不可能获特别奖的打“×”．8分由上表可知，只有3号歌手获特别奖时，A，B，C，D四人中只有一个人猜对，故3号歌手获得特别奖. 12分逻辑推理题难在不易找到解决问题的入手点，并且推理过程复杂，不易理清关系，通过列表来表达推理过程，清晰、直观，容易得到结果．1．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．三段论式推理包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．2．合情推理是认识世界、发现问题的基础．结论不一定正确．演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础，二者相辅相成，在数学中证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推理的法则将命题推导出来，只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论就正确.1．有以下推理：指数函数都是增函数，大前提函数y ＝(1e)x 是指数函数，小前提所以函数y ＝(1e)x 是增函数．结论该推理错误的原因是( ) A ．大前提不正确 B ．小前提不正确 C ．推理形式不正确 D ．大小前提都不正确【解析】 对指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)来说，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，所以大前提不正确．【答案】 A2．“因为四边形ABCD 是矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等”，以上推理的大前提是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．等腰梯形的对角线相等D ．矩形的对边平行且相等 【解析】 易知大前提为选项B. 【答案】 B3．凡自然数都是整数，2是自然数，所以________． 【解析】 由“三段论”推理可知，2是整数． 【答案】 2是整数4．(1)用三段论形式证明f (x )＝x 3＋x (x ∈R )为奇函数；(2)已知：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3(n ∈N ＋)，证明：{a n －1}是等比数列．【证明】(1)满足f(－x)＝－f(x)的函数是奇函数，(大前提)f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，(小前提)∴f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．(结论)(2)∵a n＋1＝4a n－3，∴a n＋1－1＝4(a n－1)，又∵a1＝2，a1－1＝1≠0，∴n∈N＋时，a n＋1－1＝4，a n－1∴数列{a n－1}是以1为首项，4为公比的等比数列.一、选择题1．下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理的一般模式是“三段论”形式；③演绎推理得到的结论一定正确；④演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由演绎推理的特点可知①②④是正确的．【答案】 C2．“π是无限不循环小数，∴π是无理数”．以上推理的大前提是()A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无限不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数【解析】演绎推理的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．本题中由小前提及结论知选C.【答案】 C3．“指数函数y＝a x(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指数函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是()A．推理完全正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【解析】y＝xα(α>1)并非指数函数，犯偷换概念的错误，故选C.【答案】 C4．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两直线平行，同位角相等，如果α和β是两条平行直的同位角，那么α＝βB．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某校高二共10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a3＝3，由此归纳出a n＝n【解析】由三段论的推理原理可知．【答案】 A5．设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的个数为()①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线A．2 B．3C．4 D．5【解析】只有①③④能推出x∥y.【答案】 B二、填空题6．在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝45°，AB＝ 2.求得AC＝1时其大前提为________．【解析】在△ABC中，ABsin C＝ACsin B，(大前提)在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝45°，AB＝2，(小前提)∴2sin 45°＝ACsin(180°－105°－45°)，∴AC ＝1.(结论)【答案】 AB sin C ＝AC sin B图3－2－17．如图3－2－1，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD . 证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC ，①所以AD >BD ，②于是∠ACD >∠BCD . ③则在上面证明的过程中错误的是____．(只填序号)【解析】 由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一个三角形中，大边对大角”．而AD 与BD 不在同一个三角形中，故③错误．【答案】 ③8．已知a ＝π2，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系是________． 【解析】 ∵a ＝π2＞1，∴f (x )＝a x 是增函数， 又∵f (m )＞f (n )，∴m ＞n .【答案】 m ＞n三、解答题9．将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 °C ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 °C 时，水会沸腾；(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A ＝∠B .【解】 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100 °C ，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100 °C 时，结论：水会沸腾．(2)大前提：两条直线平行，同位角相等，小前提：∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，结论：∠A ＝∠B .10．设a ，b 是实数，求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．【证明】 a 2＋b 2≥2ab ，①b 2＋3≥23b ，②3＋a 2≥23a ，③①＋②＋③得2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3b ＋3a )，∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．11．设函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005,2 005]上解的个数．【解】 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧ f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )，∴f (4－x )＝f (14－x )，∴f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10.又f (3)＝f (1)＝0，而f (－3)＝f (7)≠0，故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．(2)由(1)知f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )＝0在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知方程f (x )＝0在[0,2 005]上有202个解，在[－2 005,0]上有200个解，则方程f (x )＝0在[－ 2 005,2 005]上有402个解.(教师用书独具)观察下面等式：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的证明．【思路探究】 观察每个等式中角之间的关系，可写出猜想，注意到所证等式左边的代数结构是两正切的代数和，可联想正切和角公式，结合诱导公式证之．【自主解答】 观察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，因此猜想此推广为α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为90°＋k ·180°，k ∈Z ，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1. 证明如下：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ， ∴tan(α＋β)＝tan(π2－γ)＝cot γ＝1tan γ， 又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴1tan γ＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴tan γtan α＋tan βtan γ＝1－tan αtan β∴tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.演绎推理一般分为三段，称为三段论，其中第一段称为大前提，指的是一个一般原理，第二段称为小前提，指的是一种特殊情况，第三段称为结论，是所得的判断结果．若数列{a n }是等差数列，则数列{a 1＋a 2＋…＋a n n}也是等差数列， 类比上述结论，若数列{b n }是等比数列，且b n ＞0，则什么数列也是等比数列？证明你的结论．【解】 数列{n b 1b 2…b n } 是等比数列．证明如下：设数列{b n }的公比为q ，则q ＞0， ∵n b 1b 2…b n ＝n b 1q n (n －1)2＝b 1q n －12， ∴n ＋1b 1b 2…b n ＋1＝b 1q (n ＋1)－12＝b 1q n 2， ∴n ＋1b 1b 2…b n ＋1n b 1b 2…b n ＝b 1q n 2b 1q n －12＝q 12， ∴数列{n b 1b 2…b n }是等比数列．。

第1课时合情推理1.结合已学过的数学实例和生活实例,了解归纳推理与类比推理的含义.2.能利用归纳方法进行简单推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.3.掌握类比推理的一般方法,会对一些简单问题进行类比,得出新的结论,培养学生的类比推理能力.重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理.难点:用归纳、类比进行推理,作出猜想.历史上,人们提出过许多永动机的设计方案,有人采用“螺旋汲水器”的原理,有人利用轮子惯性原理,有人利用水的浮力或毛细作用的原理,但均以失败告终.于是人们纷纷认为:不可能制造出永动机.问题1:他们为什么认为不可能制造出永动机?通过大量失败的例子归纳推理得到的,并由后人提出的能量守恒定律彻底说明永动机不可制造.问题2:归纳推理、类比推理及其特点(1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们把这种推理方式称为归纳推理.它具有以下几个特点:①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,但是可以为我们的研究提供一种方向.(2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特性,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.它具有以下几个特点:①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,是一种从特殊到特殊的推理.③类比的结果不一定正确,但它却有发现的功能.问题3:归纳推理、类比推理的一般步骤(1)归纳推理:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想);如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可能为真.归纳推理的一般思维过程:实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;③检验猜想.类比推理的一般思维过程:观察、比较→联想、类推→猜想新结论问题4:合情推理及其意义归纳推理和类比推理都是最常见的合情推理.合情推理是根据实验与实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确,但是,在数学、科学、经济和社会的历史发展中,合情推理有非常重要的价值,它是科学发现和创造的基础.数学中有一条三角形定理:三角形的两边之和大于第三边,根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形.这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域.他认为,历史上如果三个割据势力并存,就形成了三足鼎立,这是一种比较稳定的结构.如果强者侵犯了弱者,被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来.结盟之后,两边之和大于第三边,稳定的三足结构就不会被破坏.只有当强者的力量超过了两个弱者之和,三国鼎立的局面才会结束.这位科学家利用类比推理表达自己的思想,使抽象的道理具体化,使论述更加形象,收到了良好的表达效果.1.数列{a n}的前四项为,1,,,由此可以归纳出该数列的一个通项公式为().====【解析】将前四项分别写成,,,,即可作出归纳.【答案】B2.由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是().+1【答案】B3.已知点A(x1,)、B(x2,)是函数y=x2的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方,因此有结论>()2成立.运用类比思想方法可知,若点C(x1,lg x1)、D(x2,lg x2)是函数y=lg x(x>0)的图像上的不同两点,则类似地有成立.【解析】因为线段总是位于C、D两点之间函数图像的下方,所以有<lg.【答案】<lg4.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3个点可以连3条弦,4个点可以连6条弦,5个点可以连10条弦,由此可以归纳出什么规律?【解析】设f(n)为n个点可连的弦的条数,则f(2)=1=,f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,…,故f(n)=.归纳推理的应用已知函数f(x)=,设f1(x)=f(x),f n(x)=f n-1[f n-1(x)](n>1,n∈N+),则f3(x)的表达式为,猜想f n(x)(n∈N+)的表达式为.【方法指导】写出f1(x),f2(x),f3(x),观察f n(x)的特点,从而归纳出f n(x).【解析】由f1(x)=f(x)得f2(x)=f1[f1(x)]==,f3(x)=f2[f2(x)]==,…,由此猜想f n(x)=(n∈N+).【答案】f3(x)=f n(x)=(n∈N+)【小结】归纳推理的一般步骤:(1)经过观察个别情况发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个有明确结论的一般性命题.利用类比推理猜想结论在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.【方法指导】寻找类比对象,理解等差数列性质,结合等比数列性质给出结论.【解析】等差数列用减法定义性质用加法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q);等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N +,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q).由此,猜测本题的答案为b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).【答案】b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+)【小结】本题考查等差数列与等比数列的类比.类比问题的关键是找好对应的类比对象,理解类比前问题成立的条件也是个关键.通过类比方法解题通过计算可得下列等式:22-12=2×1+132-22=2×2+142-32=2×3+1……(n+1)2-n2=2×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)2-12=2×(1+2+3+…+n)+n,即1+2+3+…+n=.类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n2的值.【方法指导】利用提示的思路求得(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1,再叠加即可.【解析】23-13=3×12+3×1+133-23=3×22+3×2+143-33=3×32+3×3+1……(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1将以上各式分别相加得:(n+1)3-13=3×(12+22+32+…+n2)+3×(1+2+3+…+n) +n,所以12+22+32+…+n2=[(n+1)3-1-n-3··n]=n(n+1)(2n+1).【小结】类比推理是由特殊到特殊的推理,其关键就是注重本质的推导方式,通过这种推导方式对解决另一个问题起到指导作用.(1)设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n∈N+且n≥2时,f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个．．．等式．．为.【解析】(1)观察给定的各个函数解析式,可知分子都为x,分母都为关于x的一次式的形式且各个式子的常数项分别为2,4,8,16,…,这样f n(x)对应的函数的分母的常数为2n,x的系数比常数少1即为2n-1,因此f n(x)=f(f n-1(x))=.(2)由题中等式可知第i个等式左边为1到i+1的立方和,右边为1+2+…+(i+1)的平方,所以第五个等式为13+23+33+43+53+63=212.【答案】(1)(2)13+23+33+43+53+63=212下列是用类比法进行猜测的几个结论:①由“a=b⇒ac=bc”类比得到“a>b⇒ac>bc”;②由“a(b+c)=ab+ac”类比得到“sin(A+B)=sin A+sin B”;③由“=(a>0,b>0,c>0)”类比得到“=(a>0,b>0,c>0)”;④由“分数的分子、分母同乘一个非零的数,分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子,分数值不变”.其中,正确结论的个数为().B.1【解析】当c≤0时,①类比的结论不正确;②类比的结论是学生刚学习三角时经常出现的错误;③类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误,即类比推理的结论不一定正确;④类比的结论是正确的.【答案】B在平面上,若两个正三角形的边长之比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,求它们的体积之比.【解析】由类比推理得,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8.下面计算验证,假设两个正四面体的棱长分别为1和2,如图,正四面体ABCD的棱长为1,取BC的中点E,作AO⊥ED于O,则OD=ED=×=,又在Rt△AOD中,AO===,则V正四面体ABCD=S△BCD·AO=××=.同理,可算得棱长为2的正四面体的体积V正四面体A'B'C'D'=2.∴V正四面体ABCD∶V正四面体A'B'C'D'=∶=1∶8.1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于().1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=1111112345×9+6=111111【答案】B2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面体().A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点【解析】正四面体的四个面都是正三角形,其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.【答案】C3.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N+),可以猜测数列的通项a n的表达式为.【答案】a n=(n∈N+)4.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在△DEF中,由正弦定理得==,于是类比三角形中的正弦定理,在四面体S-ABC 中,猜想:==.(2013年·陕西卷)观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10……照此规律,第n个等式可为.【解析】设等式右边的数的绝对值构成数列{a n},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,a n-a n-1=n,以上所有等式相加可得a n-a1=2+3+4+…+n,即a n=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·.【答案】12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于().(x)(x)(x)(x)【解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x),故选D.【答案】D2.下图所示的是一串白黑相间排列的珠子,若按这种规律从左往右排起来,则第36颗珠子的颜色为().A.白色B.黑色C.白色的可能性大D.黑色的可能性大【解析】把三颗白珠子与两颗黑珠子看作一个整体,即5个珠子一个周期,故第36颗珠子与第1颗珠子的颜色相同.【答案】A3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式:+<2,+<2,+<2,根据以上不等式的规律,写出对正实数m,n成立的条件不等式:.【答案】当m+n=20时,有+≤24.将全体正奇数排成一个三角形数阵:13 5791113151719……按照以上规律的排列,求第n(n≥3)行从左向右的第3个数.【解析】前n-1行有1+2+3+…+(n-1)=个数,加上第n行(n≥3)从左向右的3个数共有(-+3)个数,故第n(n≥3)行从左向右的第3个数为2(-+3)-1=n2-n+5.5.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72014的末两位数字为()..43【解析】∵75=16807,76=117649,77=823543,78=5764801,…,发现74k-2的末两位数字为49,74k-1的末两位数为43,74k的末两位数为01,74k+1的末两位数为07,k∈N+,∵72014=74×504-2,∴末两位数为49.【答案】D6.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出的式子为().+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)+++…+<(n≥2)【答案】C7.在平面几何体中,△ABC的内角∠C的平分线CE分AB所成线段的比=.把这个结论类比到空间:在三棱锥A—BCD中(如图),DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.【答案】=8.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=-,且S n-1++2=0(n≥2,n∈N+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想S n 的表达式.【解析】当n=1,S1=a1=-;当n=2时,=-2-S1=-,∴S2=-;当n=3时,=-2-S2=-,∴S3=-;当n=4时,=-2-S3=-,∴S4=-;猜想:S n=-(n∈N+).9.在公比为4的等比数列{b n}中,若T n是数列{b n}的前n项积,则有,,仍成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是{a n}的前n项和,则有也成等差数列,且该等差数列的公差为.【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S3030010.在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S满足=a n(S n-).(1)求,,,并求(不需证明);(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n≥2时,由a n=S n-S n-1和=a n(S n-),得=(S n-S n-1)(S n-),即=2+,所以=2+=2+1=3,=2+=5,=2+=7,……=2+=2n-1.(2)由(1)知S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-,显然a1=1不符合上述表达式,所以数列{a n}的通项公式为a n=。

第一章 推理与证明1.1归纳推理教学目标：1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、 三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

23130sin 75sin 15sin 222=++ ；23145sin 85sin 25sin 222=++ ； 23150sin 90sin 30sin 222=++ ；23180sin 120sin 60sin 222=++ 。

1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究※ 典型例题2，例1 观察下列等式：1+3=4=21+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{n a }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试练1. .练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 ※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想. 2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）. A.()f n 可以为偶数 B. ()f n 一定为奇数 C. ()f n 一定为质数 D. ()f n 必为合数2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.。

§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）【内容分析】：归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。

【教学目标】：1、知识与技能：（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义（2）能利用归纳方法进行简单的推理，2、过程与方法：通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。

3、情感态度与价值观：体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。

【教学重点】：（1）体会并实践归纳推理的探索过程（2）归纳推理的局限【教学难点】：引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论【练习与测试】： （基础题）1）数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272）从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

3)定义,,,A B B C C D D A ****的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A ）、（B ）所对应的运算结果可能是（ ）.4 A.,B D A D ** B.,B D A C ** C.,B C A D ** D.,C D A D ** 4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________． 5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第n 件首饰所用珠宝总数为_________________颗.6)已知n n a n na 11+=+（n=1.2. …）11=a 试归纳这个数列的通项公式答案：1）B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2）2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项 3）B4）（n-2）3605） 91,1+5+9+…4n+1=2n 2+3n+1 6） a 1=1,a 2=21 a 3=31… a n =n1（中等题）1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形.2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f （4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.64)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测123...)1()1(...321++++-++-++++=n n n a n 的结果. 答案：1）1+2+3+4+…+(n+1)=)2)(1(21++n n 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C4）依次为，1，22，32，42，所以a n =n 2（难题）1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

第三章推理与证明
章末小结
一、归纳和类比
1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．
2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．
二、数学证明
1．三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括大前提、小前提、结论．在前提和推理形式都正确的前提下，结论就一定正确．
2．合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．
三、综合法与分析法
1．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法可以联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
2．综合法是“由因导果”；分析法是“执果索因”，书写时要注意格式和语言．
四、反证法
1．反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
2．反证法的步骤
(1)作出否定结论的假设；
(2)进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．。