本文讨论简谐激励作用下的受迫振动
1、简谐激励下单自由度系统的振动微分方程
单自由度系统模型
F t=F0e iωt
式中：F(t)为系统的激振力，F0为简谐力的幅值，ω为激振力的频率，当m、k、c分别为系统的质量、刚度、阻尼，根据力的平衡关系可得该系统在简谐激振力作用下的振动微分方程：
mx+cx+kx=F0e iωt
2、系统的响应表达式
单自由度受迫振动微分方程式二阶常系数线性非齐次常微分方程，它的解由两部分组成
x t=x1t+x2(t)
式中x1t是齐次方程mx+cx+kx=0的通解，即为单自由度系统的衰减振动，其通解表达式为
x1t=Ae−nt sin (ωn t+α)
x2t是振动微分方程的特解，其特解为
x2t=Xe iωt=|X|e i(ωt−φ)
受迫振动有两部分组成，前一部分为衰减振动，后一部分是受迫振动，
由于阻尼的存在，衰减振动经过一段时间后就会消失，在衰减振动完全消失之前，系统的振动称为暂态过程，亦称为暂态响应。在此之后是稳定的等幅受迫振动，这是受迫振动的稳态过程，亦称为稳态响应。它是一简谐振动，其频率与激励力的频率相同，与激励力相比落后一相位角φ，称为相位差，X为稳态响应的幅值。
3、频率响应函数
将稳态解代入振动微分方程中可得：
−ω2m+iωc+k Xe iωt=F0e iωt
则系统的频率响应函数可表示为：
ω=X F0=1
−ω2m+iωc+k
令ξ为阻尼比，ξ=
mk,λ=ωω0,ω0为系统的固有频率，则
Hω=X F0=1
k[(1−λ2+i2ξλ)]
4、幅频特性曲线及相频特性曲线
根据频率响应函数，令X0=F0k,表示在激振力的作用下弹簧的静伸长量，称为静力偏移，频率响应函数可转变为
X X 0=
1 (1−λ2+i2ξλ)
运用平方差公式，将频率响应函数转化成标准复数形式，即
X X 0=
1
(1−λ2+i2ξλ)=1−λ2
(1−λ2)2+(2ξλ)2−i2ξλ
(1−λ2)2+(2ξλ)2
将X X0表示为系统振幅与静力偏移的比值，称为放大系数或动力系数用希腊字母β表示。
其幅频特性曲线为放大系数的模：
β===1
(1−λ2)2+(2ξλ)2相频特性曲线为放大系数的幅角:
tgφ=2ξλ1−λ2
通过对单自由度系统基本理论分析后，可以为后续二自由度系统的数学模型展开分析。
