单自由度系统的振动阻尼

单自由度系统自由衰减振动 及固有频率、阻尼比的测定一、 实验目的1、了解单自由度系统模型的自由衰减的振动的有关概念；2、学习用频谱分析信号的频率。

3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。

二、 实验仪器实验仪器：INV1601B 型振动教学实验仪、INV1601T 型振动教学实验台、加速度传感器、调速电机或配重块、MSC-1力锤（橡胶头）。

软件：INV1601型DASP 软件。

三、 实验原理单自由度系统的阻尼计算常常通过衰减振动的过程曲线振幅的衰减比例来进行计算。

衰减振动波形示于图1。

用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向相邻振幅之比，这两种基准方式进行计算。

通常以相隔半个周期的相邻两个振幅绝对值之比为基准来计算的较多。

两个相邻振幅绝对值之比，称为波形衰减系数。

图1 衰减振动波形1、对经过半周期为基准的阻尼计算 每经过半周期的振幅的比值为一常量，2121)2(1D D TD TDt t K K eeAeAe A A -+--+====πεεεϕ这个比例系数ϕ 表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。

衰减系数 ϕ 常用来表示振幅的减小速率。

如果用衰减系数ϕ的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。

21121lnln D D T A A D K K -====+πεϕδδ称为振动的对数衰减率。

可以利用来求得阻尼比D 。

22δπδ+=D引入常用对数101010303.2lg ,4343.0lg lg ln lg lg δδδϕδϕδ======ee ee 便得22)(lg 862.1lg )lg 733.0(1lg 733.0ϕϕϕϕ+=+=D在实际阻尼波形振幅读数时，由于基线甚难处理，阻尼较大时，基线差一点， ϕ 就相差很大，所以往往读取相邻两个波形的峰峰值之比，211+++++K K K K A A A A在211+++=K K K K A A A A 时，2111++++++==K K K K K K A A A A A A ϕ这样，实际阻尼波形读取数值就大为方便，求得阻尼比也更加正确。

振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。

在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。

对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。

1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。

例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。

2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。

例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。

二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。

阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。

阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。

2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。

3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。

4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。

然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。

三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。

2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。

3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。

综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。

了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。

习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。

单自由度系统的受迫振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、单自由度系统的无阻尼受迫振动2、单自由度系统的有阻尼受迫振动1、单自由度系统的无阻尼受迫振动受迫振动在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。

km简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力。

简谐激振力随时间的变化关系可写成：)sin(j w +=t H F 其中：H 称为激振力的力幅，即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；j 是激振力的初相角。

（1）振动微分方程m 取物块的平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正。

物块的受力为恢复力F e 和激振力F 。

F e F方程两边同除以m ，并令, 得到：m k =20w H h m=)sin(d d 2022j w w +=+t h x tx ——无阻尼受迫振动微分方程的标准形式解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。

齐次方程的通解可写为：)sin(01q w +=t A x 特解可写为：2sin()x b t w j =+将x 2 代入微分方程，得到:)sin()sin()sin(22j w j w w j w w +=+++-t h t b t b 解得：220ww -=hb 微分方程的全解为：)sin()sin(2200j w ww q w +-++=t ht A x 结果表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。

第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。

第一部分会逐渐衰减，而第二部分则是稳定的。

0sin()A t w q +220sin()ht w f w w+-1、单自由度系统的无阻尼受迫振动（2）受迫振动的振幅2220sin()hx t w j w w=+-系统的受迫振动为简谐振动，振动频率也等于激振力的频率，振幅大小与运动的初始条件无关，而与振动系统的固有频率ω0、激振力的频率ω、激振力的力幅H 相关。

单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。

在模型建立过程当中，可以直接进行建立。

在运行时，只需将c=0即可。

ω增加，单位时间内振动次数增加。

无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。

初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。

由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。

于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。

二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。

由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。

有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。

解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。

当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。