高考数学原创试题的命题方向及典型题分析
浙江省衢州市教育局教研室 李世杰
从xx 年开始，全国高考11个省市独立命题。高考数学形成了“百花齐放”的局面，各地数学试卷中出现了不少新颖的高质量原创试题. 从某种角度看， 原创试题的新颖性对考生是一种难度，可真正考查出考生的学习潜能和个性品质状况；而对命题者来说，更是命题成功与否的一个重要标志。笔者在文[1]中已探讨了原创试题命题的七个方向，下面结合国内外课程标准，再提出原创试题的六个命题方向。
一、考查数学交流评价的试题
在我国xx 年制订的《普通高中数学课程标准》（下面简称《标准》）中，数学交流已作为一项教学目标被明确提出.使用交流去培养学生的数学理解力是数学交流的目标，但在我国高考数学中“数学交流”的试题现在基本上还没有涉及.以后会编制出不同种类的“数学交流”试题，让学生通过书面表述、图表、数学模式、数学图象、数学规律等方式进行数学交流，最终达到熟练掌握数学语言进行交流的目的.
典型题1 (韩国高考数学题改编)下面是学生甲和学生乙争论集合的部分内容:
甲:我们能够想象到的集合之全体的集合叫做Ｓ，那么
(ａ)Ｓ将Ｓ自身作为元素所有，是吧?
乙:那不成体统，哪有那样的事?
甲:好，那么(ｂ)不把自己本身作为元素的集合之全体的集合又怎么样呢?
以数学方式表达上述争论中带有底线的(ａ)，(ｂ)，哪一项最好?
(A)S ∈S ，{A|A ?A ，A 是集合}；(B) S ∈S ，{A|A ?A ，A 是集合}；
(C) S ∈S ，{A|A ?A ，A 是集合}；(D) S ?S ，{A|A ?A ，A 是集合}.
评注：此题通过两个学生的数学交流来表明他们对集合与集合、集合与元素之间关系的理解，同时让应试者参与讨论，并把一些观点与数学表达符号化.
二、考查凸显数学文化的试题
数学文化是多姿多彩的，它是人类文化宝库中的奇葩.《标准》中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。
《标准》强调了数学文化的重要作用，要求将其尽可能与高中数学课程内容有机结合.数学高考可能会出现考查学生数学文化的试题，如数学小作文，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值等，在雄厚的扎实的基础知识和基本技能基础上，进一步延伸到思想和方法、精神等文化的层次，达到一定数学文化层次的理解.
典型题2 《红楼梦》第62回写道：“一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，有两个一日的，也有三个一日的.” 由此.我们引出下面的问题，请解答：
若一年按365天计，那么在当今我们随机组成的50个人的一个教学班中
（1）全班每个人的生日都不相同的概率是多少？
（2）至少有两个人生日相同的概率是多少？
（3）恰有两个人生日相同的概率是多少？
（参考数据： 36549≈3.570×10125， 50365≈1.365×10620， 36550≈1.303×10128， 5012149124501263643643653.38910, 1.23710, 3.90910A A A ≈?≈?≈?）
(答案(1)0.03;(2)0.97;(3)0.1163)
三、考查体现数学价值和人文关怀的试题
高考数学应用题的命题方向，是引导学生自觉地置身于现实生活的大环境中，关心身边的数学问题，了解社会，关心社会，形成健全的人格. xx年高考应用题的背景:上海市是大学生就业问题，重庆市是过马路遇到红绿灯问题，浙江是缺电问题，真正做到了“贴近生活、背景公平、控制难度”的命题原则.随着学习能力、理性思维能力、创新意识逐步纳入高考考查的轨道，关心社会热点并结合新增内容的新颖的原创应用试题会大量出现.下面给出两个美国案例：
典型题 3 (美国高中数学课程标准中的案例)一个学生在城市里的排球比赛中膝盖脱臼了，医生给她开了一种消炎药来消肿.她要吃10天的药，每8小时吃两片200毫克的药片.如果她的肾每8小时过滤掉60%的药，10天后还有多少药残留在她的身体中?如果她继续服用这种药一年，又会有多少药残留在她的身体中?
评注:这是一个充满人文价值和人文关怀的题目，在解决这一问题的过程中，不仅考查了学生无穷等比数列的概念，还告诉学生，药物到最后还有部分残留在体内，使学生意识到吃药在治疗伤口的同时也对身体健康有一定的副作用.引导学生注意养生之道、学会如何生存，最终形成良好的健康意识，使数学知识成了促进学生形成正确的情感态度和正确的价值观的催化剂，这是符合新课程“以人为本”的理念的.
典型题4 (美国《Interactive Mathematics Program》高中数学教材中的案例改编)左右为难的收款方式:在一些地方送报人先买了报纸然后送到顾客家，再向顾客收取报纸的费用.
假设有一天顾客对送报人说:“不像往常一样每星期收5美元，而是随机的从这一袋中拿取2张钞票，怎么样？如果你愿意从袋中取钱的办法，从今以后每星期就采用这一方式.”
这顾客给送报人看袋子，里边有1张10美元和5张1美元的钞票.这样随机取两张钞票的总和可能是：11美元和2美元（当然顾客将会每星期用新的钞票替换上星期被抽走的钞票）.请你帮送报人决策是否要采用顾客的建议：
（1）构造一个模拟的情形并用合理的数目进行检验.如，300个星期，得到11美元的机会是100次，得到2美元的机会是200次，概括这一模拟的情形，决定选择什么方法对送报人有利，并解释你的选择.
（2）用面积模型方法或其它的方法计算这一支付方式送报人的数学期望值，即采用这一支付方式从长远看送报人每星期平均得到多少美元？根据这一理论分析，确定那种方式较好，并解释你的选择.
（3）哪种方式你更觉得可靠——模拟的，还是理论分析的？为什么？
这是从实际生活问题情景出发，以数学期望为依据的决策题目，体现数学的应用价值.
经过计算，P(11)=101
303
=，P(2)=
202
303
=，用300个星期作大数试验，结果送报人在300
个星期内共得到1500美元，数学期望值是每星期5美元.说明两种方法具有同样的数学期望值.因此，两种支付方式是一样的，可以采取每星期收取5美元的方法，也可以采取从袋子中抽取钞票的方法.
四、考查实验操作性的试题
人的认识是以感性认识为基础的，中学数学实验多数是重要数学公式和定理的再现，它能帮助学生形成正确的数学概念，加深对数学知识的理解，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义观点.数学实验可分为观察实验、验证性实验和探索性实验，这些实验能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识，是高考原创试题的命题方向之一.
xx年高考数学文科第22题是一个剪贴实验题，分别给出了三个条件，探索相应的结论，三个问题都有不同层次的探索能力要求，大家一致公认为好题.从一个新角度来看，高考对剪拼动手操作问题的考查，大家谁都没有见过，很公平.作为素材下面提供一个数学实验题: 典型题5 如下图：(1)圆柱面上的椭圆在圆柱侧面展开图中是什么形状?
(2)是圆弧、抛物线段等二次曲线的一部分吗?
以上问题可通过实验观察:由学生自制长方形纸片围成圆柱形，按纸片接头所在母线ＡＢ的位置分三种情形(如图1，2，3)画出截面的截口(无法精确，近似即可)，其中图3中的Ａ，Ｂ是半圆弧的中点.观察相应展开图的形状(如图4，5，6).(结果:正弦曲线或余弦曲线!)
探求论证:建立坐标系，证明展开图中的曲线方程为sin()y A x B ω?=++的形式.
评注：此题构思新颖，又源于教材，能充分考查学生的研究性学习能力.
五、涉及研究性学习的高考试题命题方向分析
高中数学课程内容不断发展变化，“研究性学习”进入我国基础教育课程体系，是一大亮点，对于培养具有创造精神和实践能力的开拓型人才有着重大意义.高考数学命题会要求考生通过研究性问题进行探索，抓住本质，揭示规律，勇于创新法、出新招、标新立异，以评价考生研究性学习的能力. 研究性学习的高考原创试题命题会从如下几个方面进行：
1.开放题
研究性学习逐步在数学学科中渗透，它的精髓是开放式教学，高考中的体现之一就是开放性试题，体现了数学活动的开放性和非常规化，以及活动过程中的探究性、实践性和创新性，是高考数学原创题命制的方向之一.
典型题6：(xx 年北京市高考题)若存在常数0>p ，使得函数()f x 满足()f px =)(),R )(2(x f x p px f 则∈-的一个正周期为 . 注：填
2
p 的正整数倍中的任何一个都正确. 2.学习成果展示题
典型题7：已知数列{a n }的前n 项和S n =q n －1（q>0且q 为常数），某同学研究此数列后，得出如下三个结论：
（1）{a n }的通项公式为a n =(q －1)q n －1;
（2）{a n }是等比数列;
（3）当q ≠1时，221n n n S S S ++< 其中结论正确的个数有 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
(答案:C)
评注:研究性课程作为新课程的必修课，成为高考内容是命题人积极倡导的，今后将会有更多的体现，研究性学习成果的评价是其中一个重要环节.
3.高观点试题
典型题8 （新编）设221,(1,2]()23,(2,5)
x x f x x x ?+∈-?=?-∈?? （1）对任意的(1,2]x ∈-，试比较(1)()f f x +与12()2
x f +的大小. （2）对任意的(1,5)x ∈-，你在（1）中得到的结果是否仍然成立？请说明理由.
评注：这是关于分段函数的凸性问题的试题，背景是凸函数的合成，考查分类讨论思想，综合能力.
4.新定义题
类似地考查学习能力的题还很多，如新定义题：
典型题9 任取x 1， x 2∈[ａ，ｂ]，且x 1≠x 2，若1212()()()22
x x f x f x f ++>，称f (x )是[ａ，ｂ]上的凸函数，则下列图象中，是凸函数图象的是( ).
典型题10 （xx 年北京市高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个
数列的前n 项和S n 的计算公式为________________
（答案3;当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212
） 5.合作研究的试题
下面是国内的一个高考模拟试题，供参考:
典型题11 张老师给出一个函数y=f (x )，请四名学生各指出其中一个性质:
学生甲:对于x ∈R ，都有f (x )= f (π－x );
学生乙:函数y= f (x )的图象关于原点对称;
学生丙:函数y= f (x )满足f (x +y)= f (x )·f (y)－f (2π－x )·f (2π－y);
学生丁:函数y= f (x )有最大值ｍ和最小值ｎ，且ｍ≠ｎ.
张老师说:你们四名同学中恰有3人说的是正确的，则张老师给出的函数可能是 .(只要写出一个适合的答案即可).
6．类比发现、归纳、推广的试题
数学创新思维是指对已掌握的数学知识和方法进行推广拓展，对未知数学领域通过探索得到新的结果的能力.高考中的这类命题，研究的立足点源于教材或双基，研究过程基于考生已有的知识结构，研究的目的是考查迁移能力，或更高层次的能力.
典型题12 (xx 年上海高考题）已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.
（1）求和：;,33423313203122312202
1C a C a C a C a C a C a C a -+-+- （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.
评注：本题主要考查探索能力、类比归纳能力和论证能力.
典型题13 (xx 年上海市普通高校春季高考数学试卷)如图，点P 为斜三棱柱
111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .
(1) 求证：MN CC ⊥1；
(2) 在任意DEF ?中有余弦定理：
DFE EF DF EF DF DE ∠?-+=cos 2222. 拓展到空间，
类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个
侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
解 (1) 证：
MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥?⊥∴⊥⊥?111111,,//平面Θ；
(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有
αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ?-+=， 其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角. 证明略.
评注：本题考查学生的类比推广能力，作为能力立意的高考题，是一次很好的尝试.
典型题14 （xx 年全国高考数学理科压卷试题）
（Ⅰ）设Z}t s,,0|2{2}{t ∈<≤+且是集合t s a s n 中所有的数从小到大排列成的数列，即.,12,10,9,6,5,3654321Λ======a a a a a a 将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3
5 6
9 10 12
… … … …
… … … … …
……………
（i ）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i ）求100a .
（Ⅱ）设Z}t s,r,,0|22{2}{r ∈<<≤++且是集合t s r b s t n 中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知k.,1160求=k b 评注：本题以集合中元素排列的数表为背景，要求考生由表及里，层层深入地运用数学知识分析探索，揭示问题本质，具有较大的自由度和思维空间，渗透了研究性学习的理念. 从上面三例不难发现，此类试题不仅考查了考生的现有知识存量，更着重于考查未来知识增量，即发展潜能.
A A 1
B 1 B
C 1 M N
P
HR Planning System Integration and Upgrading Research of A Suzhou Institution 近三年高考数学试卷分析 陈夏明 近三年的数学试卷强调了对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力.整套试卷遵照高考考试大纲的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.好多题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新.这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。 2009年高考数学考试大纲与往年对比，总体保持平稳，个别做了修改,修改后更加适合中学实际和现代中学生的实际水平，从大纲来看，高考主干知识八大块：１．函数；２．数列；３．平面向量；４．不等式（解与证）；５．解析几何；６．立体几何；７．概率与统计。仍为考查的重点,其中函数是最核心的主干知识. 考试要求有变化： 今年数学大纲总体保持平稳，并在平稳过渡中求试题创新，试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平；适当加大文理卷的差异，力求文理学生成绩平衡，文科试题“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度终点应与理科相同”。 试题难度没有太大变化，但思维量进一步加大，更加注重基础知识、基本技能的考查.注重通性通法,淡化特殊技巧，重视数学思想方法的考查.不回避重点知识的考查。函数、数列、概率（包括排列、组合）、立体几何、解析几何等知
识仍是考查的重点内容.保持高考改革的连续性、稳定性，严格遵循《考试大纲》命题. 针对高考变化教师应引导学生： 1．注重专题训练，找准薄弱环节 2．关注热点问题进行有针对性的训练 3．重视高考模拟试题的训练 4．回归课本，查缺补漏。 5．重视易错问题和常用结论的归纳总结 6．心理状态的调整与优化 （1）审题与解题的关系： 我建以审题与解题的关系要一慢一快：审题要慢，做题要快。 （2）“会做”与“得分”的关系： 解题要规范,俗话说：“不怕难题不得分,就怕每题都扣分”所以务必将解题过程写得层次分明,结构完整.这非常重要,在平时训练时要严格训练. （3）快与准的关系： 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果. （4）难题与容易题的关系： 拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此不要在某个卡住的题上打“持久战”，特别不要“小题大做”那样既耗费时间又未心能拿分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，而且解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难。 因此,我建议答题应遵循： 三先三后： 1.先易后难 2.先高（分）后低（分） 3.先同后异。
2019年高考数学试卷分析及2019年命题走 向 一、2019年高考试卷分析 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷i)继承2019年的改革方向。既保持了一定的稳定性，又有创新和发展；既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。 1考试内容体现了《考试大纲》的要求。 2试题结构与2019年大体相同。全卷共22小题，选择题12道，每题5分；填空题4道，每题4 分；解答题6道，前5道每题12分，最后1道14分。 3考试要求与考点分布。第1小题，(理)掌握复数代数形式的运算法则；(文)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念、符号，能够正确表示简单的集合。第2小题，掌握对数的运算性质。第3小题，掌握实数与向量的积，平面向量的几何意义及平移公式。第4小题，会求一些简单函数的反函数。第5小题，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。第6小题，(理)了解空集和全集，属于、包含和相等关系的意义，掌握充要条件的意义；(文)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。第7小题，掌握椭圆的标准方程和简单几何性质，理解椭圆的参数方程。第8小题，掌握直线方程的点斜式，了解线性规划的意义，并会简单的应用。第9小题，掌握同角三角函数的基本关系式，了解正弦函数、余弦函数的图像和性质。第10小题，能够画出空间两条直线、直线和平面各
种位置关系的图形，根据图形想像它们的位置关系，了解三垂线定理及其逆定理。第11小题，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。第12小题，掌握简单方程的解法。第13 小题，掌握简单不等式的解法。第14小题，(理)掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；(文)掌握等比数列的通项公式。第15小题，(理)了解递推公式是给出数列的一种方法；(文)直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。第16小题，掌握斜线在平面上的射影。第17小题，(理)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义；(文)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。第18小题，(理)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列，并能根据其分布列求出期望值。(文)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义。第19小题，( 理)掌握指数函数的概念、图像和性质；(文)会求多项式函数的导数，并会用导数求多项式函数的单调区间。第20小题，(理)掌握直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念；(文)会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。第21小题，(理)掌握双曲线的定义、标准方程和简单几何性质，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；(文)掌握直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念。第22小题，(理)了解数列通项公式
数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，
天一原创试题（理科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合{}2log 2A x x =≤，{}1B x x =>-则A B =（ ） A ．{14}x x -<≤ B ．{14}x x -<< C ．{04}x x <≤ D ．{4}x x ≤ 【答案】D 【解析】根据题意可得{}{}2log 204x A x x x ≤<=≤=，因为A B ={04}x x <≤，故选 C ． 2．以下四个命题中，真命题的个数是 ① 存在正实数,M N ,使得log log log M N MN a a a +=; ② 若函数满足(2018)(2019)0f f ?<，则()f x 在（2018,2019）上有零点的逆命题； ③ 函数(21)()log x a f x -=(0a >≠且a 1)的图像过定点（1,0） ④ “x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】根据对数运算法则知①正确；函数()f x 在（2018,2019）上有零点时，函数()f x 在x =2018和x =2019处的函数值不一定异号，故逆命题错误，故②错误；因为无论a 取何值(1)0f =,所以函数()f x 的图像过定点（1,0），故③正确；当x ＝－1时，x 2－5x －6＝0；x 2－5x －6＝0时，x ＝－1或x ＝6，所以是充分不必要条件，故④错误；故选B 3．若,,,a b c R a b ∈>，则下列不等式成立的是 A ．22ac bc > B ．a c b c > C.1 1()()22a b > D.2211 a b c c >++ 【答案】D 【解析】对于A ，当c=0，显然不成立；对于B ，令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，错误；对于C ，根据指数函数的单调性应为11()()22a b <；对于D ，∵a>b ，c 2＋1>0，∴2211 a b c c >++，故选D. 4．已知函数,0()(),0 x e x f x g x x ?≥=???
2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型２、集合间的基本关系 题型３、集合的运算 题型４、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型９、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型１3、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间） 题型１８、函数的周期性 题型１9、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型２８、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型３1、判断函数的图像 题型3２、函数图像的应用 题型３3、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型３6、函数与数列的综合 题型３7、函数与不等式的综合 题型３８、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型4０、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像
近三年全国新课标高考数学考试试题分析
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2011~2013年全国新课标数学试题试卷分析 高三数学组周继轩 纵观2011~2013年的新课标高考数学试题，整体感觉是：试卷结构保持稳定；考查内容相对 稳定，仍然遵循主干知识重点考查的原则；对能力的考查力度逐年提升。现把2011~2013 年全国课标卷所考查的知识点的情况以及相邻两年的对比分析如下。 一、2011~2013年全国课标卷考查的知识点对比： 高考数学试卷考点分析 题型题号2013 2012 2011 选 1 集合集合复数的运算 择 2 复数的运算排列组合函数基本性质 3 三角函数恒等变换复数的运算命题框图 4 框图圆锥曲线（椭圆）概率 5 平面向量（夹角）数列三角函数角的终边 6 三角函数图像平移框图三视图 7 排列组合三视图圆锥曲线（双曲线）离心率 8 线性规划圆锥曲线（双曲线）二项式定理 9 三视图三角函数单调性定积分 10 解析几何（抛物线）函数的图象平面向量命题 11 函数命题立体几何三角函数函数的基本性质 12 立体几何（体积）函数函数 填 13 不等式的解法平面向量线性规划 空 14 圆锥曲线（双曲线）线性规划圆锥曲线（椭圆） 15 概率统计（正态分布）概率统计（正态分布）立体几何 16 三角函数等差数列数列前n项和三角函数（解三角形) 解 17 数列通项公式求角数列通项公式 答 数列前n项和解三角形数列前n项和 18 统计的数字特征函数解析式线线垂直 概率概率数字特征二面角的大小 19 面面垂直线线垂直概率 二面角的大小二面角的大小概率数字特征 20 椭圆圆的半径抛物线圆的方程轨迹方程 圆的方程点到直线的距离点到直线的距离 21 函数解析式单调区间函数解析式单调区间参数求值
2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析 从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表：
从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体
来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新
数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。
对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”
天津市高考十年数学试卷分折 目录 第一部分：选择题与填空题基本知识点分析 知识点:复数的基本概念与运算（历年都考）。重点：复数的乘除 运算。 试题类型：选择题；位置：第一题；难度：容易试题规律：复数的基本运算为必考试题，一般是放在选择的第一题, 作为全卷的第一题非常容易，起到稳定军心的作用，但此题绝对不能出错。 2?知识点:四种命题及充要条件（历年都考）。重点：充要条件判断、命 题的否定与否命题，考真假命题。 试题类型：选择题；难度：容易或中等 试题规律：都是与其它知识点结合，重点考查充要条件的判断。新课 标有转向全称与特称命题的趋势。充要条件的判断根本的一点是“小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围”，而范围经常是用图形来表示的，所以要用数形结合的思想来求解。 3?知识点:分式与绝对值不等式及集合。重点：解二次和分式不等 式、解绝对值不等式、集合间的子、交、并、补运算、用重耍不等式求最值。 试题类型：选择题；位置：前7题；难度：容易试题规律：经常与集合结合，含绝对值不等式。 4?知识点:三角函数图象性质，止余弦定理解三角形（考图象性质, 考解三角形）重点：化一公式、图象变换、函数y = Asin（血+ 0）的性质、止余弦定理解题。 试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：常考查三角函数的单调
性、周期性及对称性；三角函数的图象变换。重点为y = Asin（祇+ 0）型的函数。 5?知识点:函数性质综合题（奇偶、单调、周期、对称等）、特别是 结合分段函数是新课标的考查重点（每年都考）试题类型：选择题；位置：选择后3题；难度：较难试题规律：是必考题。重点考查函数的奇偶、单调、周期、对称等性质的综合。结合分段函数是新课标的考查重点 6?知识点:圆锥曲线定义及几何性质有关问题（椭圆双曲线准线不 考）（抛物线定义、双曲线渐近线与抛物线相交）试题类型：选择题；位置：前五题；难度：容易试题规律：考三种圆锥曲线各自的独特性，椭圆的定义、双曲线的渐近线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线 7?知识点:抽样统计小题是趋势 试题类型：填空题；难度：中等或容易 试题规律：抽样方法，概率与统计，重要不等式的应用，分层抽样应用题 &知识点:直线与圆（常与参数方程极坐标等结合，主要是直线与圆相切或相割） 试题类型：选择题或填空题；位置：前六题；难度：容易试题规律：重点考查直线与圆的基本题型，直线和圆相切、直线被圆截得弦长问题、圆与圆内外切及相交问题等。每年必考。 9?知识点:平面向量基本运算（加法、减法、数乘和数量积，以数 量积为主，近年常以三角形和平行四边形为载体）（每年必考）试题类型：选择题或填空题；位置：较靠前；难度：中档试题规律：注重向量的代数与几何特征的结合，基底的思想加强了考査，向量的几何特征进行考査，题目小巧而灵活。 10?知识点:排列与组合 试题类型：选择题或填空；容易或中等试题规律：有两个限制条件的排数问题，球入盒问题，涂色问题，排列卡片问题，排数问题。总的看是以考查排列问题为主，考查的是基本的分类与分步思想。有成为选择或填空压轴题的趋势。
2018年浙江省高考模拟试卷 数学卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共40分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh = 如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ?=? 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 1 3 V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 ()() ()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p k k n -=-=L 棱台的体积公式 球的表面积公式 24S R π= () 11221 3 V h S S S S =++ 球的体积公式 34 3 V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。） 1、（原创）已知集合R U =，集合},2{R x y y M x ∈==，集合)}3lg({x y x N -==，则()=N M C U I （ ） A ．{}3≥y y B. {}0≤y y C. {} 30< 高考数学试题评析报告 高考数学试卷符合高中数学的教学水平，贯彻了高考命题的指导思想和原则，试卷平和清新，达到考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。 一、试题特点 1.立足基础知识，深入挖掘教材的考评价值 高考数学试题大多数源于课本，是课本例题或习题的类比、改造、延伸和拓展。事实上，数学概念和定义及其性质是解决数学问题的起点，基本的数学思想和数学方法，是在知识的形成过程中发展的，课本中重要的例题和习题，或者提供某个重要的结论，或者体现某种数学思想，或者是更高层次数学命题的具体形式，它的延伸、转化和扩展，呈现出丰富多彩的数学世界。 教材丰富的内涵是编拟高考数学试题的源泉。比如，第(1)、(6)、(l5)题，直接考查数学概念；第(1l)题，透过日常生活常见的现象揭示斜面在水平面上的射影的本质特征。试题改造了外在的设问形式，并未改变原来的思想意图，减少了运算量，着重考查思维能力，体现了试卷的整体设计思想。 2.突出思想方法的考查，有效区分不同思维层次的考生 数学解题过程是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，是思维活动。考生解题的切入点不同，运用的思想方法不同，体现出不同的思维水平。的试题注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的思想方法，创设多条解题路径，使不同思维层次的考生都有表现的机会，从而有效地区分出考生不同的数学能力。例如理科第(18)题“求|Z-Z1|的最大值”，可以用复数的三角形式，由三角函数的有界性获得；可以用复数的代数形式，由平均值不等式获得；可以比较复数的实部、虚部，由判别式获得；可以用复数的几何意义，比较两圆的位置关系获得：可以通过解斜三角形获得；还可选用有关复数的模的基本不等式等方法。理科第(17)题，文科第(18)题“求面SCD与面SBA所成二面角的正切值”，可以作出二面角的棱来探求它的平面角(有正向作法与反向作法)；可以平移平面SCD或平移平面SBA；还可以把棱锥补形为正方体。理科第(19)题，文科第(20)题“证明直线AC经过原点O”，常规思路是用代数方法证明OA与OC的斜率相等，这个过程有多条路径，有曲有直，或繁或简；此外，可以推证OC与BF的交点为A，或|AO|+|OC|=|AC|；也可用平面几何推理，推证相关线段相等，或相关角相等，或相关图形面积相等；如果注意到直线AC过原点，AC的方程必为y=kx的形式，则是抓住了问题的本质。把多样的数学思想方法，置于平凡、简洁的数学问题之中，解题方法的选择表现出考生的思维水平，而善于抓住问题的本质，思维敏捷的考生解题过程简便、快捷，减少错漏，展现其较高的数学素养。 3.加强数学应用，体现数学与传统的、现代的文化交融 对考生的创新意识和实践能力的考查，很大程度表现在解答数学应用问题之中。今年的试题对应用问题的考查，注意渗透到社会中的各个方面，力求真实、自然，又有时代气息。第(11)题“民房屋顶”反映传统的民风习俗，第(12)题“网络信息的传递量”显示数学步入时代的前沿，这两题为各类型数学的试卷共用。此外，理科第(21)题，以开发西部、搞好生态环境建设、促进旅游产业的发展为背景，体现了我国经济持续发展的一个重要战略思想；文科第(21)题设计宣传画节约纸张的问题，以街头巷尾的宣传广告为背景，是考生非常熟悉的生活现象。新课程试卷的应用题包括控制系统正常工作的概率估计，电厂冷却塔容积的计算，抽样方法，数学期望，足球比赛胜负情况的估计等。这些应用题从多个侧面展示数学应用的广泛性，体现出数学与传统的、现代的文化的交融，反映出数学来源于社会现实又为社会实践服务的基本事实。这些应用题的设计和考查，提高了考生学好应用问题的积极性，同时对运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力进行了有效的检测。 4.注重理论数学，检测考生后继学习的潜能 命题 1．（2012浙江卷）设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2． （湖北卷）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 3． （2012湖北卷）设,,a b c +∈R ，则“1abc =”是a b c ≤++”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要的条件 4.（2012安徽）命题“存在实数x ,，使>1x ”的否定是（） A.对任意实数x , 都有1x > B.不存在实数x ，使1x ≤ C.对任意实数x , 都有1x ≤ D.存在实数x ，使1x ≤ 5.（2012湖南）命题“若 4 πα= ，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A ．若 4 πα≠，则tan 1α≠ B ．若= 4 πα，则tan 1α≠ C ．若tan 1α≠，则4πα≠ D ．若tan 1α≠，则= 4 πα 6.（2012辽宁）已知命题()()()()122121:,,--0 p x x R f x f x x x ?∈≥，则p ?是 A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ?∈≤ B ． ()()()()122121,,--0 x x R f x f x x x ?∈≤ C ． ()()()()122121,,--<0 x x R f x f x x x ?∈ D ． ()()()()122121,,--<0 x x R f x f x x x ?∈ 7.（2012上海）对于常数m 、n ，“>0mn ”是“方程22+=1mx ny 的曲线是椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.（2012四川）下列命题正确的是（） A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--…… 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域（最值） 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性 题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性（区间）的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范 围 题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性 问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求 参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数 零点个数问题 题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节定积分和微积分基本定理 题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章三角函数 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和 诱导公式 题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α 2 是第几象限角 题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义 题型4-5 三角函数线及其应用 题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论 中出现的角是相同的 题型4-8 诱导求值与变形 第二节三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节三角恒等变换 题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节解三角形 题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状 题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量 第一节向量的线性运算 题型5-1 平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3 平面向量的线性运算 题型5-4 平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心 题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节向量的坐标运算与数量积 题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐 标表示 题型5-9 平面向量的数量积 题型5-10 平面向量的应用 第六章数列 第一节等差数列与等比数列 题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求 解 题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用 题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章不等式 第一节不等式的概念和性质 题型7-1 不等式的性质 题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不 等式 第二节均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用 题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节不等式的解法 题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法 第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规 划问题 题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10 平面区域的面积 题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节不等式综合 题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值 范围 2016年高考数学试卷分析 随着2016年高考的结束，，作为一线教师，也应该是对今年的高考试题进行一番细致的研究了。陕西省是即课改后首次使用全国卷。2015年的陕西卷已经为下一年的平稳过度做好了铺垫。首先在题型设置上，与全国卷保持一致，这已给师生做好了思想工作，当2016年的高考数学进入人们眼帘的时候，似乎也不是很陌生，很有老朋友相见的感觉。 今年的全国卷数学试题从试题结构与去年相比变化不大，严格遵守考试大纲说明，五偏题，怪题现象。试卷难度呈阶梯型分布，试题更灵活。入口容易出口难，有利于高校选拔新生。 一、总体分析： 1,试题的稳定性: 从文理试卷整体来看，考查的内容注重基础考查，又在一定的程度上进行创新。知识覆盖全面且突出重点。高中知识“六大板块”依旧是考查的重点。无论大小体目90%均属于常规题型，难度适中。是学生训练时的常见题型。其中，5，15，18注重考查了数学在实际中的应用能力。这就提示我们数学的教学要来源实际，回归生活，既有基础与创新的结合，又能增 加学生的自信心，发挥自己的最佳水平。 试题的变化： 有些复课中的重点“二项式定理”，“线性规划”，“定积分”。“均值不等式”等知识点并没有被纳入，而“条件概率”则出现在大题中，这也对试题的难度进行区分。 在难度方面，选择题的12题，填空题的16题，对学生造成较大困扰。这也有利于对人才的选拔。解答题中的20，21题第一问难度适中，第二问都提高了难度。这也体现了入口易，出口难，对人才的选拔非常有利。 今年的高考数学试题更注重了试题的广度，而简化了试题的深度。而这对陕西高考使用全国卷的过度上起到了承上启下的作用。平稳过度已是事实。给学生，教师都增加了信心。 试题的详细分析： 选择题部分 （1），考查复数，注重的是知识点的考查。对负数的运算量则降低要求，这要求我们不仅要求对运算过关，更强调知识点的全面性（2）集合的运算：集合的交并补三种运算应是同等对待。在平时的教学中，出现的交集运算比较多，。并集，补集易被忽略。（而 2020年高考数学试题很好的体现了“落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。”紧密联系社会实际，设计真实的问题情境，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，很好把握了稳定与创新，对引导中学数学教学将起到积极的作用。 一、整体保持稳定 1.所考查的题型是近几年高考考过的、学生平时见过的类型，没有学生感觉很不熟系的题目。例如2019年的维纳斯身高估算，学生上手比较容易；如理科第5题与2015年全国I卷19题第一问类型基本一致，通过散点图判断变量间的关系类型；理科压轴题第12题与2012年浙江第9题类似。 2.回归原来的数学高考模式，没有在概率统计题上进行再创新，各种题型的顺序与2017年及之前的高考题基本保持一致，没有像2018、2019年那样进行较大幅度的改革。 二、加强数学核心素养的考查 1.试题难度分布明显，考生能够清晰地感受到每道题的难度，能不能很好的完成试卷主要取决于个人的数学核心素养。 2.加强了运算求解能力的考查，17、18、19题运算量都比以前略大，第20题解析几何运算能力要求比往年高，但是像19题可以通过分析避免复杂的讨论，所以也不是单纯地考查运算能力，还要求具有很强的分析问题的能力。 3.压轴题重视能力考查。如理科第12题不仅考查考生运用所学知识分析、解决问题的能力，同时也考查学生的观察能力、运算能力、推理判断能力与灵活运用知识的综合能力；如理科第21题考查利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导数运算法则，综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力。 4.体现了“五育并举”的教育方针和数学的实际应用价值。如文科、理科第3题以世界建筑奇迹古埃及胡夫金字塔为背景，设计了正四棱锥的计算问题，将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合。 高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于 A ．{2，3} B ．{2，3，5，6} C ．{1，4} D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ． B ． C ． D ． 3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M高考数学试题评析报告
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