高中数学常用公式及常用结论
1. 包含关系
A B A A B B A B C U B C U A
A C
B
C U A B R
U
2 .集合n 个;真子集有2n –1 个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2
{a , a , ,a n} 的子集个数共有 2
1 2
个.
3.充要条件
(1)充分条件:若p q ,则p 是q充分条件.
(2)必要条件:若q p ,则p 是q 必要条件.
(3)充要条件:若p q ,且q p ,则p 是q 充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
4. 函数的单调性
(1) 设x1 x a,b , x x 那么
2 1 2
f (x ) f (x )
1 2 在上是增函数;
(x x ) f (x ) f (x ) 0 0 f (x) a,b
1 2 1 2
x x
1 2
f (x ) f (x )
1 2 在上是减函数.
(x x ) f (x ) f (x ) 0 0 f (x) a,b
1 2 1 2
x x
1 2
(2) 设函数y f ( x) 在某个区间内可导,如果 f (x) 0,则 f (x) 为增函数;如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为减函数.
5. 如果函数 f (x) 和g( x) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数 f (x) g( x) 也是减函数; 如果函数y f (u)和u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数y f [ g( x)] 是增函数.
6.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么
这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
7. 对于函数y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立, 则函数 f (x) 的对称轴是函数
a b
x ; 两个函
2
数y f (x a) 与y f (b x) 的图象关于直线
8. 几个函数方程的周期( 约定a>0)
a b
x 对称.
2
(1) f (x) f (x a) ,则 f (x) 的周期T=a;
1
(2),( ( ) 0)
f (x a) f x ,或
f (x)
9. 分数指数幂f (x a)
1
f (x)
( f (x) 0), 则 f (x) 的周期T=2a;
m
n
1
n m
a (a 0,m, n N ,且n 1).(2) a
m
n
1
m
n
a
(1) a (a 0, m, n N ,且n 1). 10.根式的性质
n a a . (2)当n 为奇数时,n a n a;当n 为偶数时,n
(1)( )
11.有理指数幂的运算性质n n a,a 0 a |a|
a,a 0
.
r s r s r s rs r r r
(1) ( 0, , )
a a a a r s Q .(2) (a ) a (a 0,r ,s Q) .(3) (ab) a
b (a 0,b 0,r Q) .
12. 指数式与对数式的互化式log b
a N
b a N (a 0,a 1,N 0)
.
①.负数和零没有对数,②.1 的对数等于0:log a 10,③.底的对数等于1:log a a 1,
M
④.积的对数:MN M N
log a ( ) log log ,商的对数:log a log M log N ,
a a a a
N
n
n n
幂的对数:M n M
log a log ; b
log b a
a m log
a
m
13. 对数的换底公式log N
a log
log
m
m
N
a
( a 0, 且a 1, m 0, 且m1, N 0).
n
n
推论log log
b b
m
a
a
m
(a 0, 且a1, m,n 0 , 且m1, n 1, N 0).
15. a
n s , n 1
1
s s ,n 2
n n 1
( 数列{ }
a 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).
n
16. 等差数列的通项公式*
a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ;
n
其前n 项和公式为( 1 )
n a a n(n 1)
n
s na1 d
n
2 2 d 1
2
n (a d)n.
1
2 2
17. 等比数列的通项公式n 1 1 n *
a
a a1q q (n N )
n
q
;
其前n 项的和公式为
n
a (1 q )
1
s 1 q
n
, q 1
或s
n
a a q
1 n
1 q
,q 1
.
na ,q 1
1
na ,q 1
1
18. 同角三角函数的基本关系式
2 2
sin cos 1,tan = sin cos
19 正弦、余弦的诱导公式
n
n
sin( )
2
2
( 1) sin ,
n 1
2
( 1) co s ,
(n 为偶数)
(n 为奇数)
20 和角与差角公式sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
tan( )
tan tan
1 tan tan
.
a sin
b cos = 2 2 sin( )
a b ( 辅助角所在象限由点( a,b)的象限决定, tan b
a
).
21、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin2 2sin cos .
⑵ 2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin (
2 1 cos 2
2
cos
,
sin
2 1 cos 2
2
).
⑶tan2
2 tan
2
1 tan
.
22. 三角函数的周期公式
函数y sin( x ),x∈R及函数y cos( x ) ,x∈R(A, ω, 为常数,且A≠0,ω>0) 的周期
2
T ;
函数y tan( x ) ,x k ,k Z (A, ω, 为常数,且A≠0,ω>0) 的周期T .
2
23. 正弦定理
a b c
sin A sin B sin C
24. 余弦定理
2R .
2 2 2 2 cos
a b c bc A ; 2 2 2 2 cos
b c a ca B ; 2 2 2 2 cos
c a b ab C .
25. 面积定理
1 1 1
S ab sin C bc sin A ca sin B (2).
2 2 2
26. 三角形内角和定理
在△ABC中,有 A B C C (A B)
27. 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么C A B
2 2 2
2C 2 2(A B) .
(1) 结合律:λ( μa)=( λμ) a;(2) 第一分配律:( λ+μ) a=λa+μa; (3) 第二分配律:λ( a+b)= λa+λb. 28. 向量的数量积的运算律:
(1) a ·b= b ·a (交换律);(2) (a)·b= (a·b)= a·b= a·(b);(3) (a+b)·c= a ·c +b ·c. 30.向量平行的坐标表示
设a=( x , y ) , b=(x2 , y2) ,且 b 0,则 a b(b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
1 1
31. a 与b 的数量积( 或内积) a·b=| a|| b|cos θ.
32. 数量积a·b 等于 a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积.
33. 平面向量的坐标运算
(1) 设a= (x , y ) , b=(x2, y2) ,则a+b= (x1 x2, y1 y2 ).
1 1
(2) 设a= (x , y ) , b=(x2, y2) ,则a-b= (x1 x2 , y1 y2 ) .
1 1
(3) 设A(x1, y1) ,B( x2 , y2 ) , 则A B OB OA (x2 x1, y2 y1 ).
(4) 设a= (x, y), R ,则a= ( x, y) .
(5) 设a= (x , y ) , b=(x2 , y2) ,则a·b= (x1x2 y1y2 ).
1 1
x x y y 34. 两向量的夹角公式 1 2 1 2
cos
2 2 2 2
x y x y
1 1
2 2 ( a= (x , y ) , b=(x2, y2 ) ).
1 1
35. 平面两点间的距离公式d A,B =| AB | AB AB
2 2
(x x ) (y y ) (A ( x1 , y1) ,B(x2 , y2) ).
2 1 2 1
36. 向量的平行与垂直
设a=(x1, y1) , b=(x2 , y2 ),且 b 0,则
A|| b b=λa x1 y2 x2 y1 0 .
a b(a 0) a·b=0 x1x2 y1 y2 0 .
37. 三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2 )、C(x3,y 3 ), 则△ABC 的重心的坐标是x x x y y y
1 2 3 1 2 3
G( , ) .
3 3
设
O为ABC所在平面上一点,角A, B,C 所对边长分别为a, b, c ,则
(1)O 为ABC的外心
2 2 2
OA OB OC . (2)O为ABC 的重心OA OB OC 0 .
(3)O 为ABC的垂心OA OB OB OC OC OA. 38. 常用不等式:
(1)a,b R a2 b2 2ab ( 当且仅当a=b 时取“=”号) .
(2)a,b R a b
2
ab (当且仅当a=b 时取“=”号).
(3)a b a b a b .
39 已知x, y都是正数,则有(1)若积xy是定值p ,则当x y 时和x y有最小值 2 p ;
(2)若和x y是定值s,则当x y 时积xy有最大值1
4
2 s .
40. 含有绝对值的不等式当a> 0 时,有 2 2
x a x a a x a .
2 2
x a x a x a 或x a .
41.斜率公式
k y y
2 1
x x
2 1
(P1 (x1, y1) 、P2 (x2, y2 )).
42.直线的五种方程
(1)点斜式y y1 k(x x1) ( 直线l 过点P1(x1, y1 ),且斜率为k ).
(2)斜截式y kx b (b 为直线l 在y轴上的截距).
y y x x
(3)两点式 1 1
y y x x
2 1 2 1
( y1 y2 )( P1(x1, y1) 、P2 (x2, y2 )( x1 x2 )).
x y
(4) 截距式1( a、b 分别为直线的横、纵截距,a、b 0)
a b
(5)一般式Ax By C 0 (其中A、B 不同时为0).
43.两条直线的平行和垂直
(1)若l1 : y k1x b1 ,l2 : y k2 x b2 ①l1 || l2 k1 k2,b1 b2 ;②l1 l2 k1k2 1 .
(2)若l1 : A1x B1 y C1 0 , l2 : A2 x B 2 y C2 0,且A1、A 2、B1、B2 都不为零,
A B C
① 1 1 1
l ||l
1 2
A B C
2 2 2
;②l1 l2 A1A2 B1B2 0;
( l1 : A1x B1 y C1 0 ,l2 : A2x B 2 y C2 0 , A1 A2 B1B2 0 ).
直线l l 时,直线l1 与l2 的夹角是
1 2 2
.
45.点到直线的距离
d | Ax By C |
0 0
2 2
A B
(点P(x0, y0) ,直线l :Ax By C 0 ).
46. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 2 2 2
( x a) ( y b) r .
(2)圆的一般方程 2 2 0
x y Dx Ey F (
2 2 4
D E F >0).
47. 直线与圆的位置关系
直线Ax By C 0 与圆 2 ( )2 2
(x a) y b r 的位置关系有三种:
d r 0 ; d r 相切0 ;
相离
d r 0. 其中
相交
Aa Bb C
d .
2 B
2
A
48. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r 1,r 2,O1O2 d
d r1 r 条公切线; d r1 r2 外切3条公切线;
外离 4
2
r 条公切线; d r1 r2 内切1条公切线;
1 r d r r 相交 2
2 1 2
0 d r r .
内含无公切线
1 2
49. 圆的切线方程
(1) 已知圆 2 2 0
x y Dx Ey F .(2) 已知圆
2 2 2
x y r .
①过圆上的P
0 (x0, y0 )点的切线方程为
2 x x y y r ;
0 0
50. 椭圆
2 2
x y
2 2 1( 0)
a b
a b
的参数方程是
x a
y b
c os
sin
.
51. 椭圆
2 2
x y
2 2 1( 0)
a b
a b
2 2
a a
焦半径公式PF e(x ) ,PF2 e( x) .
1 c
c
52.椭圆的的内外部
(1)点P(x , y ) 在椭圆
0 0
2 2
x y
2 2 1(a b 0)
a b
的内部
2 2
x y
0 0
2 2 1
.
a b
2 2 2 2
x y x y
0 0
(2)点P(x0, y0 ) 在椭圆 2 2 1(a b 0) 2 2 1
的外部.
a b a b
2 2 2 2
x y a a
53. 双曲线 2 2 1( 0, 0) PF e x
a b 1 | ( ) | PF2 |e( x) |
的焦半径公式,
a b c c
54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
.
2 2
x y
(1 )若双曲线方程为 1
2 2
a b 渐近线方程:
2 2
x y
2 2 0
a b
b
y x .
a
x y
b
(2) 若渐近线方程为y x 0
a a
b 双曲线可设为
2
2
x
a
y
b
2
2
.
2 2
x y
(3) 若双曲线与 1
有公共渐近线,可设为
的焦半径公式
2 2
a b
2
55. 抛物线y 2px
2
2
x
a
y
b
2
2
(0,焦点在x 轴上,0,焦点在y 轴上).
抛物线
p 2 2 ( 0)
y px p 焦半径CF x0 .
2
p p
过焦点弦长x x p
CD x1 x2 1 2
2 2
.
56. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 2
AB (x x ) (y y ) 或
1 2 1 2
2 2 2 2
AB (1 k )(x x ) | x x | 1 tan | y y | 1 cot (弦端点A(x1, y1), B(x2 , y2 ),由方
2 1 1 2 1 2
程
y
F( kx
x, y) b
2 bx c
消去y 得到ax 0 ,0, 为直线AB的倾斜角,k 为直线的斜率).
57(1) 加法交换律:a+b=b+a.(2) 加法结合律:( a+b) +c =a+( b+c) .(3) 数乘分配律:λ( a+b)= λa+λb.59 共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b 存在实数λ使a=λb.
P、A、B 三点共线AP || AB AP t AB OP (1 t)OA tOB . 60.
向量的直角坐标运算
设a=(a , a , a ),b=(b1,b2,b3 )则
1 2 3
(1) a+b=(a b ,a b ,a b ) ;(2) a-b=(a1 b1,a2 b2 ,a3 b3) ;(3) λa=( a1, a2 ,a3) ( λ∈R);
1 1
2 2
3 3
(4) a·b=a b a b a b ;
1 1
2 2
3 3
61. 设A (x , y , z ) ,B(x2, y2, z2 ),则AB OB OA = (x2 x1, y2 y1,z2 z1) .
1 1 1
62.空间的线线平行或垂直
设a( x , y , z ),
1 1 1 b ( x , y ,z ) ,则a b a b 0 x1x
2 y1y2 z1z2 0 .
2 2 2
63. 夹角公式
设a=(a , a , a ),b=(b1,b2,b3 ),则cos 〈a,b〉=
1 2 3
a b a b a b
1 1
2 2
3 3
2 2 2 2 2 2
a a a
b b b
1 2 3 1 2 3
.
64.异面直线所成角cos | cos a,b |=
|a b |
| x x y y z z |
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 | a | | b | x y z x y z
1 1 1
2 2 2
(其中(0 90 )为异面直线a,b所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)
65.直线AB 与平面所成角
arc sin AB m | AB ||m|
( m 为平面 的法向量 ).
m n
m n 66.二面角
l
的平面角
arc cos 或
arc cos
| m||n| | m||n|
( m , n 为平面 , 的法向量) . 134. 空间两点间的距离公式
若 A
(x , y , z ) ,B (x 2 , y 2, z 2 ) ,则 d A,B =| AB |
AB AB
1
1
1
2
2
2
(x x )
(y
y )
(z
z ) .
2
1
2
1
2
1
67. 球的半径是 R ,则
其体积
4
3
V
R , 其表面积
3
2
S 4 R .
(3)
球与正四面体的组合体 :
棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为
6 12
a , 外接球的半径为
6
4 a .
1
S
h
V
Sh .
68
3
69. 分类计数原理( 加法原理) N m 1 m 2
m n .
1
S h
V Sh
3
70. 排列数公式 m A =n(n 1)
(n m 1) =
n
n !
*
,且 m n ) .注:规定 0! 1.
.( n ,m ∈ N
(n m)
!
71. 组合数公式
m
C
=
n
m
A n
m A
m
=
n (n
1
1) 2
(n m m
72.
组合数的两个性质 (1)
m C = n
n m C
;(2)
n
m
C
n
n m 1
m m
155. 组合恒等式 (1)C
C
n n
m
1
n
m m
;(2)C
C 1
n n
n
m
n m
m 1
;(3)C
C
n n 1
m
; (4)
r n 0
r C
n
=
n
2 ;
73. 排列数与组合数的关系
m m
A m !C .
n
n
74.单条件排列以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列 .
(1)“在位”与“不在位”
①某(特)元必在某位有
m 1
A
种;②某(特)元不在某位有
n 1
m
m 1
A
(补集思想)
n
A
n 1
1
m 1
A
(着眼位置)
n
A
1 n 1
m 1 m 1
A n
A A
(着眼元素)种 .
1
m 1 n 1
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
①定位紧贴: k(k
m n) 个元在固定位的排列有
k m k
A k A 种.
n k
②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有
k
n k 1
A
n 1
A 种.注:此类问题常用捆绑法;
k k
③插空:两组元素分别有
k 、h 个( k h 1),把它们合在一起来作全排列, k 个的一组互不能挨近的所有排
列数有
h k
A h A 1 种.
h
(3)两组元素各相同的插空
m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
当 n m 1时,无解;当 n m 1时,有
n
A
m
C
1 n m
n
n
A
1 种排法 .
(4)两组相同元素的排列:两组元素有
m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为
n
C
.
m n
75.分配问题
(1 )(平 均分组有 归属问 题) 将相异 的 m 、 n 个物 件等 分给 m 个人 ,各得 n 件,其 分配方法 数共有
N
C n mn n C
mn
n
n C
mn
( m n)!
n
n
C
C
2
.
n
2n
n
m
(n! )
(2)(平均分组无归属问题 )将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的
m 堆,其分配方法数共有
N n C mn n C mn n n C mn
m!
n n
... C 2 C ( m n)! 2n
.
n n
m
m!(n! )
(3)(非平均分组
有归
属问
题)将相异的P(P=n +n + +n ) 个物体分给m个人,物件必须被分完,分别得到
1 2 m n ,1
n ,?,n m 件,且n1,n2,?,n m这m个数彼此不相等,则其分配方法数共有2 N C n p
1
C n p
2
...C
n
1
n
n
p! m!
m .
m
m!
n !n !... n !
1 2 m
76. 二项式定理n C 0a C a b C a b C a b C b
n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r n n
(a b) ;
n n n n n
二项
展开式的通项
公式r n r r
T r 1 C a b (r0,1,2 ,n) .
n
k k n k
77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P (k) C P (1 P) .
n n
78. 离散型随机变量的分布列的两个性质(1)0( 1,2, )
P i ; (2)P1 P2 1 .
i
79. 数学期望 E x1P1 x2P2 x n P n
80.. 数学期望的性质(1)E(a b) aE( ) b. (2)若~B(n, p) ,则E np .
81. 方差 2 2 2
D x
E p x E p x E p标准差= D .
1 1
2 2 n n
82. 方差的性质(1) 2
D a b a D ;(2 )若~B(n, p) ,则D np (1 p) .
83.. f (x) 在(a, b) 的导数( )
f x y d y df y f (x x) f ( x)
lim lim
dx dx x 0 x 0
x x
.
84.. 函数y f (x) 在点x处的导数的几何意义
函数y f (x) 在点x处的导数是曲线y f (x) 在P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率 f (x0 ),相应的切线方程是0
y y0 f (x0 )(x x0 ).
85.. 几种常见函数的导数
(1) C 0 (C为常数).(2) ' n 1
(x ) nx (n Q) .(3) (sin x) cos x .
n
(4) (cos x) sin x (5) 86..导数的运算法则
1
(ln x) ;
x
1
x
(log a ) (6)
xln a
x e x ) x ln
x
(e ) ; (a a
a .
(1)' ' '
(u v) u v . (2)
' ' '
(uv) u v uv . (3)
' '
u u v uv
'
( ) (v 0)
2
v v
.
87.. 复合函数的求导法则
设函数u (x) 在点x处有导数' ' ( )
u x ,函数y f (u) 在点x处的对应点U处有导数
x
' ' ( )
y f u ,则复合函u
数y f ( ( x)) 在点x处有导数,且' ' '
y y u ,或写作
x u x f x f u x . ' ( ( )) '( ) ' ( ) x
89. 复数的相等 a bi c di a c,b d . (a, b,c,d R )
90. 复数z a bi 的模(或绝对值)| z|=| a bi |= 2 2
a b .
91. 复数的四则运算法(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i (2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(3) (a bi )(c di) (ac bd ) (bc ad )i ; (4)
ac bd bc ad
(a bi) (c di) i(c di 0)
2 2 2 2
c d c d
.
的角度0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
2 的弧度0 6 4
3 2 3 3
4
5
6
3
2
2
1 sin 0 2
2
2
3 1
2
3
2
2
2
10 1 0
2
cos 1 3
2
2
2
1
2 0
1
2
2
2
3 1 0 1
2
tan 0 3 1 3 无 3 1
3
3 0 无0 3
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
数
性
y x y cosx y tan x
sin
质
图象
定义域R R x x k,k
2值域1,11,1R
当x2k k时,
2
当x2k k时,
y max1;当x2k
最值y max1;当x2k既无最大值也无最小值
2
k时,y min1.k时,y min1.
周期性22
奇偶性奇函数偶函数奇函数
在2,2
k k
22
在2k,2k k上是
单调性
k上是增函数;在
增函数;在2k,2k
在,
k k
22 3
2k,2k
22
k上是减函数.
k上是增函数.k上是减函数.
对称中心k,0k
对称轴x k k
2
对称中心,0
k k
2
对称轴x k k
k
对称中心,0
2
无对称轴
k
对称性
高中数学公式大全 (最全面,最详细) 高中数学公式大全 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式:S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
高 中 数 学 公 式 大 全(简化版)
目录 1 集合与简易逻辑 (01) 2 函数 (03) 3 导数及其应用 (09) 4 三角函数 (11) 5 平面向量 (13) 6 数列 (14) 7 不等式 (15) 8 立体几何与空间向量 (17) 9 直线与圆 (20) 10圆锥曲线 (23) 11排列组合与二项式定理 (25) 12统计与概率 (26) 13复数与推理证明 (29)
§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.集合运算 全集U :如U=R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 3.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注:数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 5.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6. 真值表 7. 常见结论的否定形式
8. 四种命题 原命题:若p 则q 逆命题:若q 则p 否命题:若p ?则q ? 逆否命题:若q ?则p ? 原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同 9. 充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1.元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有21n -个;非空子集有21n -个;非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 3. 充要条件(记p 表示条件,q 表示结论) (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4. 全称量词?表示任意,?表示存在;?的否定是?,?的否定是?。 例:2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤: (1)先求定义域 (2)把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = (3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 8.若奇函数在x =0处有意义,则一定存在()00f =; 若奇函数在x =0处无意义,则利用 ()()x x f f -=-求解; 9.多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像: 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T a =||; (2)()()f x a f x +=-,则)(x f 的周期2T a =|| (3)1 ()() f x a f x += ,则)(x f 的周期2T a =|| (4)()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|; 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >).
高中数学公式大全(最新整理版)54508
高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0) f x a x x x x a =--≠. 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点) 0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2、函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 3、两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线 0),(=--b y a x f 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: a b f b a f =?=-)()(1 . 6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为] )([1 1b x f k y -=-,并不是 )([1 b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是 ])([1 b x f k y -= 的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2.集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2),)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ,或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ; 9.分数指数幂 (1)m n a = (0,,a m n N * >∈,且1n >).(2)1m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 10.根式的性质 (1 )n a =.(2)当n a =;当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? - . 11.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:01log =a ,③.底的对数等于1:1log =a a , ④.积的对数:N M MN a a a log log )(log +=,商的对数:N M N M a a a log log log -=,
高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 A B A A B B A B C U B C U A A C U B C U ABR 2 .集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n – 1 个;非空子集有 2n – 1 个;非空的真子集有 2n – 2 个 . 3.充要条件 ( 1)充分条件:若 ( 2)必要条件:若 ( 3)充要条件:若 p q ,则 p 是 q 充分条件 . q p ,则 p 是 q 必要条件 . p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件 . 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 . 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b , x 1 x 2 那么 (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数; x 2 x 1 (x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x)在 a, b 上是减函数 . 1 2 1 2 x 1 x 2 (2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导,如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ( x) 0 ,则 f ( x) 为减函 数 . f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ; 5. 如果函数 则在公共定义域内 如果函数 y f (u) 和 u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 . 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b x ; 两个函 a b 2 数 y f (x a) 与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) ( 1) f (x) f (x a) ,则 f (x) 的周期 T=a ; ( 2), f ( x a) 1 ( f ( x) 0) ,或 f (x a) 1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ; f (x) 9. 分数指数幂 m 1 m 1 (1) a n ( a 0, m, n N ,且 n 1 ) .(2) a n 0, m, n N ,且 n 1) . n a m m ( a a n 10.根式的性质 ( ) ( n a )n a . ( 2)当 n 为奇数时, n n a ;当 n 为偶数时, n a n | a | a, a 0 . 1 a a, a 0 11.有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q) .(3) (ab)r a r b r (a 0, b 0, r Q) . 12. 指数式与对数式的互化式log a N b a b N (a 0, a 1, N 0) . ①.负数和零没有对数,② .1 的对数等于 0: log a 1 0 ,③ .底的对数等于 1: log a a 1 , ④ .积的对数: log a (MN ) log a M log a N ,商的对数: log a M log a M log a N , N n log a b 幂的对数: log a M n nlog a M ; log a m b n m
高学高等数学公式集锦 常用导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个;非空子集有 2 1 个;非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个;真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式: ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; (当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时,设为此式) (3) 0) ;(当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时,设 为此式) 2 a(x x 0 ) ( 4)切线式: f ( x) (kx d ), (a 0) 。(当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时,设为此式) 4 5 真值表: 同真且真,同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1)个 1)个 至多有( 至少有( p 且 p 或 x ,成立 x ,不成立 x ,不成立 x ,成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): ( 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假 . ) 四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互逆 逆命题 若q则p 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非p则非q 逆否命题 若非q则非p 互逆 p p q ,则 q ,且 充要条件: (1) P 是 q 的充分条件,反之, q 是 p 的必要条件; 、 ( 2)、 q ≠> p ,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3) 、p ≠ > p ,且 q p ,则 P 是 q 的必要不充分条件; 4、p ≠ > p ,且 q ≠ > p ,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数: (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是:
高中数学公式大全.txt鲜花往往不属于赏花的人,而属于牛粪。。。道德常常能弥补智慧的缺陷,然而智慧却永远填补不了道德空白人生有三样东西无法掩盖:咳嗽贫穷和爱,越隐瞒,就越欲盖弥彰。抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
高中数学公式大全(最全面,最详细) 高中数学公式大全 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式:S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式: sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式: sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式:
高中数学常用公式及常用结论 1.元素与集合的关系 x 三A 二x C u A, x 三C u A 二x A. 2.德摩根公式 C U(A B^C U A C U B;C U (A B^C U A C u B . 3.包含关系 A B = A :二A B = B :二A —B :二C u B —C u A =A CjB = ::」u C u A B 二R 4.容斥原理 card (A B) =cardA cardB — card (A B) card(A B C) =cardA cardB cardC -card (A B) -card (A B)-card(B C)-card(C A) card (A B C). 5?集合{a1,a2/ ,a n}的子集个数共有2n个;真子集有2n- 1个;非空子集有2n- 1个;非空的真子集有2n- 2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x)二ax1 2 bx c(a = 0); (2)顶点式f(x)二a(x-h)2 k(a = O); ⑶零点式f(x) =a(x-xj(x-x2)(a =0). 7.解连不等式N :::f (x) ::: M常有以下转化形式 ::f(x) :: M = [ f (x) —M ][ f (x) — N] :: 0 M - f(x)
8.方程f(x)=0在(k「k2)上有且只有一个实根,与f (kjf(k2)::: 0不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件?特别地,方程ax2 bx 0(a = 0)有且只有一个实根在 b k t + k2 (k i,k2)内,等价于f (kjf(k2):: 0,或f(kJ = 0 且k i - -,或f(k2)=0 且 2a 2 k t k2 b , k2. 2 2a 9?闭区间上的二次函数的最值 二次函数f (x) =ax2 bx - c(a =0)在闭区间〔p,q〕上的最值只能在x —处及区 2a 间的两端点处取得,具体如下: ⑴当a>0 时,若X 二-f lp,q L 则fx> nm f( -)jfx xmm =(f)p)fq ?; 2a 2a b ' '-P,q L f (x)max 二max C f (P), f (q)^,f(X)min 二min f (P), f 9) ? 2a ⑵当a<0 时,若X 二-卫〔P,q 1 ,则f ( x m i n mfi nf p( f, q (若) 2a x 二-兰」p,q L 则f &爲=max1f(p), f (q)1, f(x)m^ -min「f(p), f(q)L 2a 10.一元二次方程的实根分布 依据:若f (m) f (n) :::0,则方程f(x) =0在区间(m,n)内至少有一个实根. 设f (x) = X2 px q,则 / 2 p _ 4q 启0 (1)方程f(x)=0在区间(m,^)内有根的充要条件为f(m)=0或< p; > m u 2 f(m) 0 |f(n)>0 (2)方程f (x) =0在区间(m,n)内有根的充要 条件为 f (m) f (n) 或* p2 _4q启。 p m £—上< n I 2 f(m) =0 f(n )=0 或或 af (n) 0 af(m) 0
高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ; (2)顶点式 f (x ) = a (x - h )2 + k (a ≠ 0) ; (3)零点式 f (x ) = a (x - x 1 )(x - x 2 )(a ≠ 0) . 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 f (x ) = - f (-x + a ) y = f (x ) a ( ,0) 2 1、若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 f (x ) = - f (x + a ) ,则函数 y = f (x ) 为周期为2a 的周期函数. 2、函数 y = (1) 函数 y = f (x ) 的图象的对称性 f (x ) 的图 x = a 象关于直线对称? f (a + x ) = f (a - x ) ? f (2a - x ) = f (x ) . (2) 函数 y = f (x ) 的图象关于直线 x = a + b 2 对称? f (a + mx ) = f (b - mx ) ? f (a + b - mx ) = f (mx ) . 3、两个函数图象的对称性 (1) 函数 y = f (x ) 与函数 y = f (-x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. x = a + b (2) 函数 y = f (mx - a ) 与函数 y = f (b - mx ) 的图象关于直线 2m 对称. (3) 函数 y = f (x ) 和 y = f -1 (x ) 的图象关于直线 y=x 对称. 4、若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移b 个单位,得到函数 y = f (x - a ) + b 的图象; 若将曲线 f (x , y ) = 0 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线 f (x - a , y - b ) = 0 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: f (a ) = b ? f -1 (b ) = a . y = 1 [ f -1 (x ) - b ] 6、 若 函 数 - y = f (kx + b ) 存 在 反 函 数 ,则 其 反 函 数 为 k y = 1 [ f (x ) - b ] ,并 不 是 y = [ f 1 (kx + b ) ,而函数 y = [ f -1 (kx + b ) 是 k 的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f (x ) = cx , f (x + y ) = f (x ) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f (x ) = a x , f (x + y ) = f (x ) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f (x ) = lo g a x , f (xy ) = f (x ) + f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f (x ) = x , f (xy ) = f (x ) f ( y ), f ' (1) =. (5)余弦函数 f (x ) = cos x ,正弦函数 g (x ) = sin x , f (x - y ) = f (x ) f ( y ) + g (x )g ( y ) , § 数 列
高中数学常用公式大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22M N M N f x +--()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0) f x a x x x x a =--≠. 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点) 0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2、函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线 2a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 3、两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和 )(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: a b f b a f =?=-)()(1 . 6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为] )([11 b x f k y -= -,并不是 )([1b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是])([1 b x f k y -=的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1) f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=, ' ()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+, § 数 列