常用解题方法(8)-----代换法

【学生版】

例析利用换元法解题题型 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。其实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

所谓换元法：又称辅助元素法、变量代换法；就是通过引进新的变量，改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法。换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路；换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何中广泛应用；

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有：等参量换元、非等量换元。

一、利用局部换元，实现简化

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例1、设函数3x4x)x(f2，23)x(gx，集合}0))x(g(fx{M，}2)x(gx{N，则NM为（ ）

A．),1( B．)1,0( C．)1,1( D．)1,(

【提示】

【解析】

【评注】

例2、设对一切实数x，不等式2222224(a1)2a(a1)xlog2xloglog0aa14a恒成立，则a的取值范围为__________

例3、设0a，求：2a2xcosxsin)xcosx(sina2)x(f的最大值和最小值。

化学式技巧计算

有关化学式的计算是学习化学的基本技能，也是初中化学计算的重点，要想解题迅速准确，必须针对题目的特点选择最有效的解题方法，甚至是多种方法综合运用，以达到减少运算量、增强运算准确率的效果。下面为同学们介绍几种常用的解题方法和技巧。

一、配平法

例1要使SO2与SO3有相同质量的氧元素，则SO2与SO3的分子个数比为（）。

A。1:1B。3:2C。1:4D。6:5

解析：本题中SO2与SO3含有相同质量的氧元素，根据“元素质量比等于相对原子质量与原子个数乘积之比”可知，在SO2与SO3的分子中含有相同个数的氧原子；SO2与SO3分子中氧原子个数2与3的最小公倍数为6，所以我们可以配平为：3SO2和2SO3，即SO2与SO3的分子个数比为3：2。答案为B。

二、定“1”法

例2下列铁的氧化物中，铁元素的质量分数由高到低排列正确的是（）。

A。FeOFe2O3Fe3O4B。Fe2O3Fe3O4FeO

C。Fe3O4Fe2O3FeOD。FeOFe3O4Fe2O3

解析：本题可以利用元素质量分数的公式，常规解法是利用公式：元素的质量分数=100%，分别求出3种物质中铁元素的质量分数，然后比较大小，但运算麻烦。 此题可以将3种物质中铁元素的原子个数定为“1”，然后比较化学式中氧原子的个数，再比较分母的大小进行判断。先把FeO、Fe2O3、Fe3O4化学式变形为：FeO、FeO、FeO；比较氧原子的个数：1、、；铁原子的个数相同，氧原子的个数越少则铁元素的质量分数越大。答案为D。

三、平均值法

例3已知碳酸钙（CaCO3）和另一物质组成的混合物含碳量大于12%，则另一物质可能是（）。

A。Na2CO3B。MgCO3C。KHCO3D。K2CO3

解析：本题可以利用平均值法，根据题目所给的数据，此数据实际上是含杂质的混合物进行反应时测出的平均值，与假设为纯净物时所得的数据进行对比，一个数据应大于平均值，一个应小于平均值，从而判断杂质的成分。

初中数学常用的10种解题方法及业务学习材料

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初中数学常用的 10 种解题方法

第一次

数学的解题方法是跟着对数学对象的研究的深入而发展起来的。 教师研究习题、 精晓解题方法，能够促使教师进一步娴熟地掌握中学数学教材， 练好解题的基本功， 提升解题技巧，累积教课资料，提升业务水平易教课能力。

下边介绍的解题方法， 都是初中数学中最常用的，

有些方法也是中学教课大纲领求掌握 的。 1、换元法

换元法是数学中一个特别重要并且应用十分宽泛的解题方法。 我们往常把未知数或变数称为元， 所谓换元法， 就是在一个比较复杂的数学式子中， 用新的变元去取代原式的一个部分或改造本来的式子，使它简化，使问题易于解决。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，

它作为数学的一个有力工具、 一种数学方法在代数、 几何、三角等的解题中起侧重要的作用。因式分解的方法有很多， 除中学课本上介绍的提取公因式法、 公式法、 分组分解法、十字相乘法等外，还犹如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理， 不单可用于计算面积， 并且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的成效。 运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用概括法或剖析法证明平面几何题， 其困难在添置协助线。 面积法的特色是把已知和未知各量用面积公式联系起来， 经过运算达到求证的结果。 所以用面积法来解几何题， 几何元素之间关系变为数目之间的关系， 只需要计算， 有时能够不添置补贴线， 即便需要添置协助线，也很简单考虑到。

4、鉴别式法与韦达定理

一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a、b、 c 属于 R，a≠0）根的鉴别，△ =b2-4ac ，不单用来

1利用基本不等式求最值

题型梳理

【题型1 直接法求最值】

【题型2 配凑法求最值】

【题型3 常数代换法求最值】

【题型4 消元法求最值】

【题型5 构造不等式法求最值】

【题型6 多次使用基本不等式求最值】

【题型7 实际应用中的最值问题】

【题型8 与其他知识交汇的最值问题】

命题规律

基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择

题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，

它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式

的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正

二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识梳理

【知识点1利用基本不等式求最值的方法】

1.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转

化为，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出

“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利

2用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【知识点2基本不等式的实际应用】

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

举一反三

【题型1 直接法求最值】

1(2023上·北京·高一校考阶段练习)已知a>0，则a+