下载文档原格式
并令əFəx=y+z+λ=0əFəy=x+z+λ=0əFəz=x+y+λ=0əFəλ=x+y+z-6=0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐解之得唯一解x=y=z=2，λ=-4因为F（x，y，z，λ）有最大值F（2，2，2，-4）=12所以∀x，y，z∈R+，F（x，y，z）=xy+yz=zx≤12当我们构造好函数F（x）后，求出在指定区间上的最大值M最小值m，则有m≤F（x）≤M.4利用积分的性质命题4：（柯西—施瓦茨不等式）设f（x），g（x）在[a，b]上均连续，则[ba∫f（x）g（x）dx]2≤b a∫f2（x）dx b a∫g2（x）dx例4：设f（x）在[0，1]上连续，试证1∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx＞1证明：因为f（x）在[0，1]上连续，所以e f（x），e-f（x）在[0，1]上连续，且恒为正于是（1∫e f（x）√e-f（x）√dx）2＜10∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx 即（1∫dx）2≤10∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx所以1∫e f（x）dx10∫e-f（x）dx≥1.参考文献：[1]蔡兴光,郑列.高等数学应用与提高[M].北京:北京科学出版社, 2002.[2]何卫力.高等数学方法引导[M].北京:清华大学出版社,2004.等量替换法是数学解题中常用到的一种方法，通常当原有数学问题较为复杂，数量关系不够简单时用这种方法，可以使问题变得明了而简单化，易于解答或计算。
下面我们来看几个实例。
一、用“等量替换法”解答文字题例：甲乙两数的和是245，甲数的2倍与乙数的2倍之和是多少？分析：这道题的已知条件是：甲数+乙数=245，而问题的列式是：甲数×2+乙数×2，乍一看，要求得结果，就要分别知道甲是多少，乙是多少。
而甲，乙分别是多少？已知中并未告诉，也没办法去求。
我们不妨把问题的算式来个等量变换：甲数×2+乙数×2=（甲数+乙数）×2[乘法分配律]，这时用“245”来替换“甲数+乙数”就可以得出结果。
思维拓展第1讲《等量代换》教案一、教学目标1. 让学生理解等量代换的概念，知道什么是等量代换。
2. 培养学生运用等量代换方法解决问题的能力。
3. 培养学生观察、分析、推理和判断的能力。
二、教学内容1. 等量代换的概念。
2. 等量代换的方法。
3. 等量代换的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握等量代换的方法，能够运用等量代换解决问题。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析问题，找到等量关系，进行等量代换。
四、教学过程1. 导入新课利用图片或实物导入，让学生观察并发现等量关系，引出等量代换的概念。
2. 讲解等量代换的概念通过实例讲解等量代换的概念，让学生理解什么是等量代换。
3. 讲解等量代换的方法通过实例讲解等量代换的方法，让学生掌握如何进行等量代换。
4. 练习等量代换让学生进行课堂练习，巩固等量代换的方法。
5. 讲解等量代换的应用通过实例讲解等量代换在实际问题中的应用，让学生学会如何运用等量代换解决问题。
6. 总结与拓展对本节课所学内容进行总结，并进行拓展，让学生了解等量代换在其他领域的应用。
五、课后作业1. 让学生完成课后练习题，巩固等量代换的方法。
2. 让学生观察生活中存在的等量代换现象，进行记录和分析。
六、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的参与程度，及时调整教学策略，提高学生的学习兴趣。
2. 在讲解等量代换的应用时，教师要注重引导学生观察、分析问题，培养学生的解决问题的能力。
3. 教师要关注学生的学习反馈，及时解答学生的疑问，帮助学生掌握等量代换的方法。
通过本节课的教学，让学生掌握等量代换的方法，培养学生的观察、分析、推理和判断的能力，为今后的学习打下基础。
在以上提供的教案中，需要重点关注的细节是“教学过程”部分，特别是“讲解等量代换的方法”和“讲解等量代换的应用”。
这两个环节是学生理解和掌握等量代换概念的关键，也是培养学生解决问题能力的重要步骤。
下面将对这两个重点细节进行详细的补充和说明。
等量代换练习题五年级在五年级数学学习中，等量代换是一个重要的概念，它是解决数学问题的关键步骤之一。
为了帮助五年级的学生更好地理解和掌握等量代换，下面我将为大家提供一些练习题，帮助大家熟练掌握这一概念。
1. 甲班有24名男生和16名女生，乙班有32名男生，男生人数一样，请问乙班有多少名女生？解析：由题意可知，甲班男生人数是固定的，为24人。
所以，乙班男生人数也应为24人。
乙班男生人数为32人，那么乙班女生人数为32-24=8人。
2. 甲班和乙班一共有48名学生，甲班比乙班多18名学生，请问乙班有多少名学生？解析：设乙班学生人数为x人，则甲班学生人数为x+18人。
根据题意可得出方程x+x+18=48。
解方程可以得到x=15。
所以，乙班学生人数为15人。
3. 一支队伍原有35名队员，其中男队员和女队员的比例是2:3。
后来有15名队员加入，其中男女队员的比例是1:2，请问此时该支队伍中男队员的人数是多少？解析：设男队员人数为2x，女队员人数为3x。
根据题意可得出方程2x/(3x+35+15) = 1/3。
解方程可以得到x=10。
所以，男队员人数为2x=2*10=20人。
4. 小明用了38元买了一本书和一支笔。
已知一本书比笔多花了18元，请问一支笔的价格是多少？解析：设一支笔的价格为x元，则一本书的价格为x+18元。
根据题意可得出方程x+(x+18)=38。
解方程可以得到x=10。
所以，一支笔的价格为10元。
5. 一袋玩具里有红球、蓝球和绿球，红球数一半比蓝球数多4个，蓝球数比绿球数少9个，红球、蓝球和绿球的总数是多少？解析：设红球数为x，蓝球数为y，绿球数为z。
根据题意可得出方程x=1/2y+4，y=z+9，x+y+z=总数。
通过解方程可以得到红球数x=20，蓝球数y=29，绿球数z=20+9=29。
所以，红球、蓝球和绿球的总数为20+29+29=78个。
通过以上练习题，希望大家能够更加熟练掌握等量代换的概念，并能够灵活运用到实际的数学问题中。
2022-2023学年小学五年级思维拓展专题置换(代换)问题知识精讲专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
典例分析【典例01】20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
【思路引导】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。
132÷(25+30)=2.4元，即每千克梨2.4元。
知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。
苹果的单价是：(132-2.4×30)÷20=3元。
【典例02】用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。
小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？【思路引导】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。
因此，312立方米的水就相当于小水泵(6+20)小时的抽水量了。
小水泵每小时抽水是312÷(6+20)=12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。
【典例03】一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？【思路引导】把题中两组已知条件进行对比，甲少做(5-3)小时，乙就要多做(9-3)小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。
学科培优数学等量代换学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位等量代换。
用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础.数学思想方法不仅有着广泛的应用,而且是今后进一步学习数学的基础。
知识梳理1本讲通过图形和文字形式锻炼学生的代数思想,在授课过程中,尽量用图形文字来表示数字,对高水平的学生可以尝试使用字母。
2.重点难点解析寻找等量关系3.竞赛考点挖掘较难等量代换和代数方法的综合4．英国某家报纸曾举办一项高额奖金的有奖征答活动。
题目是：在一个充气不足的热气球上,载着3位关系人类兴亡的科学家。
第一位是环保专家,他的研究可拯救无数人免于因环境污染而面临死亡的噩运。
第二位是原子专家,他有能力防止全球性的原子战争,使地球免于遭受灭亡的绝境。
第三位是粮食专家,他能在不毛之地运用专业知识成功地种植谷物,使几千万人脱离因饥荒而亡的命运。
此刻热气球即将坠毁,必须丢出一个人以减轻载重,使其余2人得以生存。
请问,该丢下哪一位科学家？问题刊出后,因为奖金的数额相当庞大,各地答复的信件如雪片飞来。
在这些答复的信中,每个人皆竭尽所能,甚至天马行空地阐述他们认为必须丢下哪位科学家的见解。
最后结果揭晓,巨额奖金得主是一个小男孩。
他的答案是——将最胖的那位科学家丢出去。
小男孩睿智而幽默的答案,是否给我们以足够的提醒：单纯的思考方式,往往比钻牛角尖更能获得良好的成功。
任何疑难问题的最好的解决方法,只有一种,就是能真正切合该问题所需求的,而非惑于问题本身的盲目探讨。
一位农场主巡视谷仓时,不慎将—只名贵的手表遗失在谷仓里。
他遍寻不获,便定下赏价,承诺谁能找到手表,就给他50美元。
人们在重赏之下,都卖力地四处翻找,可是谷仓内到处都是成堆的谷粒,要在这当中找寻—只小小的手表,谈何容易。
许多人一直忙到太阳下山,仍一无所获,只好放弃了50美元的诱惑而回家了。
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：五年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第25讲-等量代换授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标 1、学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系；2、掌握置换问题的解题思路与方法。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点：1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法； 2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，求苹果和梨的单价。
【解析】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元） 苹果的单价：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？知识梳理典例分析P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、一个苹果和一个犁共重250克，一个苹果和一个桔子共重180克，一个梨和一个桔子共重230克，算一算，一个苹果，一个梨，一个桔子各重多少克？【解析】梨和桔子重230g + 一个苹果和一个梨共重250g =2梨和1苹果1桔子=480g因为苹果和桔子共重180g所以梨=（480-180）÷2=150g因为一个苹果和一个梨共重250g所以苹果=250-150=100g因为苹果和桔子共重180g所以桔子=180-100=80g因此：梨150g,苹果100g,桔子80g.2、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。
五年级奥数：第21讲用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。
