方法专题：中点联想 (学生版)

专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）椭圆:第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a b y a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，第二步：两式相减得0))(((2212122121=-++-+by y y y a x x x x ））（， 第三步：2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）（2,22121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200ab k x y -=⋅⇒，此种方法为点差法。

特别提醒：若AB 是椭圆）（012222>>=+b a b y a x 上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线AB 与OP 的斜率之积为定值22-ab考点一 直线与椭圆例1．（1）、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为A ．22B ．12C ．14D 3（2）、已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14-，则b 的值是A ．2B 3C ．32D 2（3）、椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB ，则a b的值为A B C ．D ．【小试牛刀1-1】．已知椭圆(22212x y a a +=的左、右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则a 的值是______.【小试牛刀1-2】．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率e =直线l 交椭圆于,M N两点，如果BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，直线l 方程为________．【小试牛刀1-3】．已知)F为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为23π，则椭圆C 的长轴长为___________.例2．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【小试牛刀2-1】．已知椭圆22 :15x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点,M N 在椭圆C 上.（1）若线段MN 的中点坐标为12,3⎛⎫⎪⎝⎭，求直线MN 的斜率；（2）若,,M N O 三点共线，直线1NF 与椭圆C 交于,N P 两点，求ΔPMN 面积的最大值，考点二 直线与双曲线例 3.（1）、已知双曲线)0,5(),0,0(12222F b a by a x >>=-为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于B A ,两点，且AB 的中点)780,745(--M ，则该双曲线的方程为 .（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22214x y b-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14，则b 的值是（ ）A ．2 BC ．32D（3）、（2023·全国·高三专题练习）直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l的斜率为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1（4）、（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D ．3【小试牛刀3-1】．（2023·全国·高三专题练习）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()21，，则双曲线E 的离心率为 ______.【小试牛刀3-2】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为则双曲线C 的离心率为___________.【小试牛刀3-3】．（2022·全国·高三专题练习）过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________.例4．（2022·河南·新乡市第一中学高二阶段练习）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上． (1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【小试牛刀4-1】．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C 过点P ⎫⎪⎝⎭，其焦点1F ，2F 在x 轴上，且12||||2PF PF -=．(1)求双曲线C 的标准方程．(2)是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．考点三 直线与抛物线例5.（1）、已知抛物线24y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）A .1y x =-B .21y x =-C .2y x =-+D .23y x =-+（2）、（2022·云南·一模（文））经过抛物线C ：24x y =的焦点作直线与抛物线C 相交于A ､B 两点.若8AB =，则线段AB 的中点的纵坐标为（ ）A ．32B ．3C ．72D ．4（3）、（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线()220x py p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．3y =- B ．32y =-C ．3x =-D ．32x =-【小试牛刀5-1】．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A 、B 两点，过线段AB 的中点M 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点N ，若AB =，则l 的斜率为（ ）A ．12 B C D【小试牛刀5-2】．（2021·福建省福州第一中学高三开学考试）已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F的直线与抛物线交于,A B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为()1,3，则p =__________.【小试牛刀5-3】．（2022·全国·高三专题练习）若A 、B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点()4,0P ，则弦AB 中点的横坐标为___________.【小试牛刀5-4】．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()3,2，则线段AB 的长度为_______．例6．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,2P 在抛物线C 上．(1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为()3,2M -，求直线l 的方程及AB ．A 组 基础巩固1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为 ( ) A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.191822=+y x2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -=3．已知椭圆221369x y +=以及椭圆内一点P(4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－2D ．24．已知椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，斜率为13-的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为()1,2M ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B 2C 3D ．125．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是A ．221325y x +=B ．221325x y +=C ．221369y x +=D ．221369x y +=6．如果椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．240x y +-=C ．23120x y +-=D ．280x y +-=7．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞3l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．18．椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是A ．20x y -=B ．24x y +=C ．2314x y +=D ．28x y +=9．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：0x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=10．已知椭圆22:143x y C +=，过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．3220x y --= B ．3240x y +-= C ．3450x y +-=D ．3410x y --=11．已知点(2,1)是直线l 被椭圆221124x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是（ ） A ．2370x y +-= B ．2310x y --= C ．43110x y +-=D ．4350x y --=12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．313．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线221164x y -=，以点()5,1P -为中点的弦所在的直线方程为（ ） A ．45210x y +-= B ．54210x y +-= C ．240x y --=D ．240x y +-=14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的离心率为2，过点(3,3)P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y --=B ．290x y +-=C ．360x y --=D ．60x y +-=15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线2:4C y x =，过点(2,1)P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．1216．（2022·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线22y x =-上的两点A ，B （点A 的横坐标大于点B 的横坐标），满足OA OB FA λ-=（O 为坐标原点），弦AB 的中点M 的横坐标为56-，则实数λ=（ ）A ．32B ．43C ．3D ．417．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限内的点(),4M t 为线段AB 的中点，则AB 的长度为（ ） A ．12B ．18C ．16D ．818．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点（点A 在第一象限，点B 在第四象限），与x 轴交于点(,0)M m ，若线段AB 的中点的横坐标为3，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3]B ．(,3]-∞C ．(0,6]D ．(1,6]19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F l 与C交于,M N 两点，若线段MN F 到C 的准线的距离为_______．20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-，在抛物线C 上存在A ､B 两点关于直线:70l x y +-=对称，设弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则||OM 的值为___________.21．已知点P (1，2)是直线l 被椭圆22148x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是_____.22．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．23．已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若椭圆E的离心率为12，2ABF 的周长为16． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点,C D ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：,,O M N 三点共线.B 组 能力提升25．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BC D 26．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭27．已知斜率为12的直线l 与椭圆22:1164x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 中点M 纵坐标为点P 在椭圆上，若APB ∠的平分线交线段AB 于点N ，则||||PN MN 的值MN 为（ ）AB C D28．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.29．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________.30．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为4（1）当直线y x m =+与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）设点(2,1)M 是直线l 被椭圆所截得的线段AB 的中点，求直线l 的方程．31．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(3,0)F ，AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，AB 的垂直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N .当1k =时，直线OE 的斜率为14-（O 为坐标原点）.（1）求椭圆的标准方程；（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求ENd的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)OA OB k k k k =⋅>，判断并证明22175AB EN ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是否为定值.32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦（不经过原点），直线()0y kx k =>经过弦AB 的中点，与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线AB 的斜率为1k .（1）若点Q 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程；（2）求证：1k k 为定值；（3）过P 作x 轴的垂线，垂足为R ，若直线AB 和直线QR 倾斜角互补，且PQR 的面积为26求椭圆C 的方程.33．已知直线l ：y x m =+与椭圆C ：2213xy +=交于A ，B 两点.（1）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F ，求AB ；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，求m .34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ； (2)若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．35．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知椭圆()22122:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 与抛物线2Γ的焦点重合，1Γ的中心与2Γ的顶点重合，过2F 且与x 轴垂直的直线交1Γ于A 、B 两点，交2Γ于C 、D 两点，且125CD AB =.(1)求1Γ的离心率；(2)设E 是1Γ与2Γ的公共点，若213=EF ，求1Γ与2Γ的标准方程；(3)直线:=+l y kx h 与1Γ交于M 、N ，与2Γ交于P 、Q ，且在直线l 上按M 、P 、N 、Q 顺序排列，若MP PN NQ ==，求2QF .。

内容 基本要求略高要求较高要求全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．FEDCBA【巩固】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．DCBA【例2】 如图，已知AB DC =，AD BC =，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E F ，．求证：E F ∠=∠例题精讲中考要求中点及中心对称类全等问题21OFEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．OF E DCBA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例4】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【例6】 已知ACB ∆，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交底BC于G ，求证GD GE =．GED C BA【例7】 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．F EDCBA【例8】 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，D M EF ⊥于M ．求证：FM EM =．MFED CB A【例9】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．MCBA【例10】 在△ABC 中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【例11】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBA【例12】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FEDC BA【例13】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【例14】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFACD E B【例15】ABC ∆中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的大小关系是AD ______AE ．(填“>”、 “<”或“=”)E AB CD【例16】 已知AM 为ABC ∆的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FE AB D C【巩固】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBA【例17】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBA【巩固】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使B D A B =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．ECB A【例19】 已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =DCB A1. 如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．ABCDO2. 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF3. 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB AB''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．课后作业DCB AD'C'B'A'4. 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBA5. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBA。

方法技巧突破(二) “中点”之六大模型
“中点”模型秘诀： 中点问题常用性质及常见辅助线作法
1．多个中点或“平行＋中点”―联―想→构造中位线； 联想
2．直角＋斜边中点――→直角三角形斜边中线的性质； 3．等腰＋底边中点―联―想→等腰三角形三线合一；
联想 4．同一边遇垂直＋中点――→垂直平分线性质； 5．中线或与中点有关线段―联―想→倍长中线构造全等； 6．圆＋弦(弧)的中点―联―想→垂径定理．
如图，∠ABC＝∠ADC＝90°.M，N 分别是 AC，BD 的中点，AC＝10，
BD＝8，则 MN 为
( A)
A．3
B．4
C．5
D．6
【思路点拨】连接 MB，MD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可证 MB＝MD，再由 ND，根据等腰三角形“三线合一”性质，得 MN⊥BD，在 Rt△BMN 中，利用勾股定理即可求解．
7 中点，过点 D 作 DE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为__ 3 __.
【思路点拨】根据勾股定理易求得 AB＝10，则 BD＝5，易证△ABC∽△EBD， 则 BC∶BD＝AB∶(BC＋CE)，从而求得 CE 的长．
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC.∠A＝120°，BC＝6 cm，AB，AC 的垂直 平分线分别为 ME 与 NF，交 BC 边于点 M，N，则 NM 的长为__22__cm.
证明：如解图，延长 FD 到 G，使 DG＝DF，连接 CG. ∵AD 是 BC 边的中线，∴BD＝CD. 在△BDF 和△CDG 中，
BD＝ CD，
∠BDF＝∠CDG， DF＝ DG， ∴△BDF≌△CDG(SAS)，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，

专题03线段的双中点模型对于刚接触几何的七年级学生来说，关于线段的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。

一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。

但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。

如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。

总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。

模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.例1．（2022秋·河南新乡·七年级校考期末）如图，已知线段6cm AB =，4cm BC =，若点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，则MN =（）A ．6cmB ．5.5cmC ．5cmD ．6.5cm例2．（2023·重庆七年级期中）如图，点C 是线段AB 上一点，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，若AB 长12cm ，则MN 长（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cmB A．b a-B．a b+C．A．4个B．3个C．2个例7．（2023秋·河北廊坊·七年级校考阶段练习）已知线段ABAC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．7cm B．9cm C．7cm或5cm例8．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，已知线段15cm AB =，3cm CD =，E 是线段AC 的中点，F 是线段BD 的中点．(1)若5cm AC =，求线段EF 的长度．(2)当线段CD 在线段AB 上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF 的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段EF 的长度；如果变化，请说明理由．例9．（2022秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知直线l 上有A 、B 、C 三点，点A 在点B 的左侧，M 为AC 的中点，N 为BC 的中点．(1)如图，若点C 为AB 的中点，且10cm AB =，求线段MN 的长．(2)若32AC BC =：：，且AB a =，求线段MN 的长．（用含a 的代数式表示）上，且初步感知：(1)如图1，点C在线段AB上，若23C ABk-=，则ACAB=__________；若3AC BC=，则C ABk-=____________；课后专项训练1．（2022秋·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm2．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，线段AB 的长为6，点C 为线段AB 上一动点（不与A ，B 重合），D 为AC 中点，E 为BC 中点，随着点C 的运动，线段DE 的长度为（）A ．不确定B ．2.5C ．3D ．3.53．（2023秋·安徽亳州·七年级统考期末）已知线段8cm AB =，线段12cm AC =，且,AB AC 在同一条直线上，点B 在A 、C 之间，此时,AB AC 的中点M 、N 之间的距离为（）A ．1.5cm B ．2cm C ．4cm D ．10cm4．（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）若线段122A A =，在线段12A A 的延长线上取一点3A ，使2A 是13A A 的中点；在线段13A A 的延长线上取一点4A ，使3A 是41A A 的中点，在线段41A A 的延长线上取一点5A ，使4A 是15A A 的中点…，按这样操作下去，线段20222023A A 的长度为（）A ．20212B ．20222C ．20232D ．20242上任意一点（不与端点重合）A．1个B．2个C．3个3长为13．（2023秋·吉林延边·七年级统考期末）如图，7cm,6cm AE BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是BC 的中点．(1)求线段AB 的长；(2)求线段DE 的长．14．（2022秋·福建莆田·七年级校联考期末）已知：如图，线段a 和线段b(1)尺规作图：求作线段AB a b =+，并在线段BA 的延长线上，求作线段AC a b =-；(作图工具只限直尺和圆规，保留作图痕迹)；(2)若M 、N 分别是AB 、AC 的中点，求MN 的长(用含a 、b 的式子表示)．15．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？18．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知线段12AB=，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO 的中点．(1)AO=______CO；BO=______DO；(2)求线段CD的长度；(3)小南在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小南画出图形分析，并求线段CD的长度．AB=，点C为线段AB上的一个动点，点D、19．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段12cmE分别是AC和BC的中点．AC=，求DE的长；(2)若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是______；(1)若4(3)试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变．20(2)【拓展与延伸】。