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2015年秋季新版华东师大版九年级数学上学期22.2.5、一元二次方程的根与系数教案2

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一元二次方程的根与系数的关系
【知识与技能】
1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.
2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.
【过程与方法】
通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.
【情感态度】
在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.
【教学重点】
一元二次方程根与系数之间的关系的运用.
【教学难点】
一元二次方程根与系数之间的关系的运用.
一、情境导入，初步认识
1.完成下列表格
问题你发现了什么规律？
①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）
②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p,x1·x2=q）
2.完成下列表格
问题 上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）
请完善规律：
①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）
②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-
a b ,x 1·x 2=a
c ） 二、思考探究，获取新知
通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明. ax 2
+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=a
c . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.
例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
（1）x 2
-6x-15=0;
（2）3x 2+7x-9=0;
（3）5x-1=4x 2.
解：（1）x1+x2=6,x1·x2=-15; （2）x1+x2=-
3
7,x1·x2=-3； （3）x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.
例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为2
3，k=3.
【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.
例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.
三、运用新知，深化理解
1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:
（1）x 2
-3x=15
（2）5x 2-1=4x 2
（3）x 2-3x+2=10
（4）4x 2-144=0
（5）3x （x-1）=2（x-1）
（6）（2x-1）2=（3-x ）2
2.两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A.7x 2-12x+5=0
B.6x 2-13x-5=0
C.4x 2+21x+5=0
D.x 2+15x-8=0
【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.
【答案】1.（1）x 1+x 2=3,x 1x 2=-15
（2）x 1+x 2=0,x 1x 2=-1
（3）x 1+x 2=3,x 1x 2=-8
（4）x 1+x 2=0,x 1x 2=-36 （5）x 1+x 2=
35,x 1x 2=3
2 （6）x 1+x 2=-32,x 1x 2=-38
2.C
【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
1.一元二次方程的根与系数的关系.
2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题2
2.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系，再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑思维能力.。

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华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法4.一元二次方程的根的判别式(共18张PPT)

华东师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法4.一元二次方程的根的判别式(共18张PPT)


ax2 (b c)x 1 a 0
∴方程
ax2
(b
c)x
4
1
a
0中，
4
Δ=(b+c)2-4a·1 a =(b+c+a)·(b+c-a)＞0
4
∴此方程有两个不相等的实数根。
3、已知a、b、c为△ABC的三边长，且
关于x的方程(c b)x2 2(b a)x (a b) 0 有两个相等的实数根，试判定△ABC的形状。
代数式b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，
通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判
断一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)的实数
根的情况：
(1)Δ＞0 (2)Δ= 0 (3)Δ＜0
方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根. 方程没有实数根.
课后作业
一、不解方程，判断下列方程的根的情况：
温故而知新
解：移项，得 ax2+bx= - c
二次项系数化为1得 x2 b x c
aa
配方得
x2
b a
x
( b )2 2a
c a
b2 4a2
即(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
（b2-4ac≥0）
直接开平方得 x b b2 4ac
2a
2a
解得 x b b2 4ac 2a
探索交流 你能不解方程，就可以迅速判别下列方程 根的情况吗？
解：∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=0,即[2(b-a)]2-4(c-b)·(a-b)=0.
整理得(a-b)·(a-c)=0.
则a=b或a=c或a=b=c, ∴以a、b、c为三边长的△ABC
为等腰三角形或等边三角形。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》精品课件_2

华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》精品课件_2

一元二次方程根的判别式
华东师大版九年级上册
学习目标
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论 证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
回忆
新课导入
我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过
程中，得到

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
.
（✻）
试一试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0. 当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ 当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9.
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是
0，因此方程有两个相等的实数根：
x1

x2


b； 2a
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （✻）的右边是
一个负数，而对于任何实数 x，方程左边

x

b 2a
2

0，因此方程没有实数根.
概括
这里 b2 – 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二 次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的实数根的情况：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
例7 解下列方程： （1）3x2 = 5x – 2； （3）4(y2 + 4) – y = 0；
《22.2＊5一元二次方程的根与系数的关系》作业设计方案-初中数学华东师大版12九年级上册

《22.2＊5一元二次方程的根与系数的关系》作业设计方案-初中数学华东师大版12九年级上册

《一元二次方程的根与系数的关系》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计的目标是巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，掌握其基本解法，并能灵活运用该知识解决实际问题。

通过作业练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生的数学应用意识。

二、作业内容本课时的作业内容主要围绕一元二次方程的根与系数的关系展开。

具体包括：1. 复习一元二次方程的标准形式及根的判别式，理解根与系数的关系公式。

2. 练习通过给定的一元二次方程，求其根及利用根与系数的关系求未知数。

3. 掌握利用根与系数的关系解决实际问题的方法，如求解与二次函数图像相关的问题。

4. 强化对一元二次方程根的性质的理解，如根的和等于系数相反数等。

5. 结合实际生活情境，设计应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

三、作业要求1. 学生在完成作业时，应先复习一元二次方程的相关知识，确保对基础知识有清晰的理解。

2. 在解题过程中，要按照先易后难的顺序进行，确保基础题与难题的平衡。

3. 对于每一个问题，学生都应明确解题思路和步骤，避免直接抄写答案。

4. 对于练习题中出现的错误，学生应及时自我纠正，并回顾相关知识点。

5. 在解决实际问题时，应学会用数学的眼光观察和分析问题，用数学语言准确描述问题情境和解决过程。

四、作业评价作业评价采取老师批阅和学生自评、互评相结合的方式进行。

老师应针对学生完成情况给予评分及评价意见，对于学生存在的问题应及时进行辅导和讲解。

学生自评和互评旨在提高学生的自我反思能力和相互学习意识。

五、作业反馈根据作业的完成情况和批改结果，进行有针对性的反馈：1. 对普遍存在的问题进行课堂讲解和复习。

2. 对个别学生的问题，及时进行个别的辅导和解答。

3. 鼓励学生之间进行交流和讨论，分享解题经验和思路。

4. 定期组织学生进行自我总结和反思，提高学习效率和质量。

六、附加建议为帮助学生更好地掌握本课时的知识，建议家长在孩子完成作业后进行适当的辅导和检查，同时鼓励孩子多进行练习和思考，培养其独立思考和解决问题的能力。

一元二次方程的根与系数的关系课件华东师大版九年级数学上册

一元二次方程的根与系数的关系课件华东师大版九年级数学上册

22.2.5 一元二次方程的根 与系数的关系
九年级上
学习目标
1. 理解一元二次方程根与系数的关系；
重点
2. 了解一元二次方程根与系数的关系的简单应用.
难点
新课引入
1. 求出一元二次方程 x2 + 3x - 4 = 0 的两根 x1 和 x2，并计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值． 2. 观察它们与方程的系数有什么关系？
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等
于常数项与二次项系数的比．
注意：满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac ≥ 0.
针对训练
1. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和 与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
(1) am2 + bm + c = 0；(2) an2 + bn + c = 0；(3) m + n = - ；
(4) an2 + bm + c = 0；(5) am2 + bn＋c＝0；(6) mn = .
3. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - (2m - 2)x + m2 - 2m = 0 的两实数根为 x1，x2，且 x12+x22 = 10，求 m 的值. 解：由题意可知 Δ = ( 2m - 2 )2 - 4(m²- 2m) = 4 > 0， ∴无论 m 取任何值，方程有两个不相等的实数根. ∵x1 + x2 = 2m - 2， x1x2 = m²- 2m， ∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10， ∴(2m - 2)2 - 2(m2 - 2m) = 10， ∴m2 - 2m - 3 = 0， ∴m = -1或 m = 3.