高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理教学案2数学教学案

2．1.2 演绎推理 预习课本P78～81，思考并完成下列问题 (1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？ [新知初探] 1．演绎推理 (1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理． (3)模式：三段论． 2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

“三段论”的结论 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断

“三段论”的表示 ①大前提：M是P； ②小前提：S是M； ③结论：S是P [点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理．( ) (2)演绎推理的结论是一定正确的．( ) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( ) A．合情推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．演绎推理 答案：D 3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的． 答案：小前提 把演绎推理写成三段论的形式 [典例] 将下列推理写成“三段论”的形式： (1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；

(2)0.332·是有理数； (3)y＝sin x(x∈R)是周期函数． [解] (1)大前提：向量是既有大小又有方向的量． 小前提：零向量是向量． 结论：零向量也有大小和方向． (2)大前提：所有的循环小数都是有理数．

小前提：0.332·是循环小数． 结论：0.332·是有理数． (3)大前提：三角函数是周期函数． 小前提：y＝sin x(x∈R)是三角函数． 结论：y＝sin x(x∈R)是周期函数． 用三段论写推理过程的技巧 (1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系． (2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略． (3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提． [活学活用] 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 解析：选B 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式. 演绎推理在几何中的应用 [典例] 如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理． [解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以DF∥AE.(结论) (2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE∥BA且DF∥EA，(小前提) 所以四边形AFDE为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) DE和AF为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED=AF.(结论) 几何证明中应用演绎推理的两个关注点 (1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论． (2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论． 提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误． [活学活用] 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD. 证明：三角形的中位线平行于底边，大前提 点E，F分别是AB，AD的中点，小前提 所以EF∥BD.结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线， 则这条直线与此平面平行，大前提 EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提

所以EF∥平面BCD.结论 演绎推理在代数中的应用

[典例] 已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝ax1＋x1－2x1＋1－ax2－x2－2x2＋1

＝ax1－ax2＋x1－2x1＋1－x2－2x2＋1 ＝ax1－ax2＋3(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)， ∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0. 又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．(小前提) ∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论) 应用演绎推理解决的代数问题 (1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等． (2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等． (3)三角函数的图象与性质． (4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质． (5)不等式的证明． [活学活用] 已知函数f(x)＝x2－aln x在区间[1,2]内是增函数，g(x)＝x－ax在区间(0,1]内是减函数，则a＝______.

解析：f′(x)＝2x－ax，依题意f′(x)≥0，x∈[1,2]， 即a≤2x2，x∈[1,2]． 因为上式恒成立，所以a≤2.①

又g′(x)＝1－a2x， 依题意g′(x)≤0，x∈(0,1]， 即a≥2x，x∈(0,1]． 因为上式恒成立，所以a≥2.② 由①②得a＝2. 答案：2 层级一 学业水平达标 1．下面说法： ①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略． 其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选C ①③④都正确． 2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是( ) A．三段论推理 B．假言推理 C．关系推理 D．完全归纳推理 解析：选A ∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A. 3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是( ) A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等 C．等腰梯形的对角线相等 D．矩形的对边平行且相等 解析：选B 由三段论的一般模式知应选B. 4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( ) A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错 解析：选A 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的． 5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确． 6．求函数y＝log2x－2 的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是 log2x－2 有意义，结论是____________． 解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0. 答案：log2x－2≥0 7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断． 解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断． 答案：否定 8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为： 大前提：_______________________________________________________________. 小前提：___________________________________________________________________.