2018届高三理科数学(新课标)二轮复习专题整合高频突破习题：专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练18 W

专题能力训练14直线与圆(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,且点(5,1)到l的距离为,则l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.x-3y-4=02.若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(2017浙江宁波中学模拟)若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=04.已知直线l:kx+y+4=0(k∈Z)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()ABCD.25.已知直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是()ABC.[-]D6.若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为()AB.2C.4D.27.已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:kx-y-2k=0(k∈R),若直线l与圆C恒有公共点,则实数k的最小值是()A.-B.-1C.1 D8.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是()A.(0,1)BCD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江金丽衢十二校二模)直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点,P(1,1)到该直线的距离最大值为.10.经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.11.已知圆O:x2+y2=r2与圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)在第一象限的一个公共点为P,过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同的两点A,B(异于点P),且OA⊥OB,则直线OP的斜率为,r= .12.已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取得最小值时点P的坐标为.13.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则l的方程为.14.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知定点M(0,2),N(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).(1)若点M,N到直线l的距离相等,求实数k的值;(2)对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,求实数k的取值范围.16.(本小题满分15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.参考答案专题能力训练14直线与圆1.C2.D解析由圆x2+y2-2x-2y+1=0,知圆心(1,1),半径为1,所以=1,解得b=2或b=12.3.B解析依题意知,点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,且为切点.因此圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为,切线的斜率k=-2.故圆的切线方程为y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.4.C解析由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d=,所以弦长等于2=2.故选C.5.D解析由题意知圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离为d==1,故当|MN|≥2时,d=≤1,解得k∈.故选D.6.B解析圆C1的方程x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)可化为(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C2的方程x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)可化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1.∵圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,∴=3-1,即a2+b2=4,ab≤(a2+b2)=2.∴ab的最大值为2.7.A解析由题意知圆心C(-2,0),半径r=2.又圆C与直线l恒有公共点,所以圆心C(-2,0)到直线l的距离d≤r.因此≤2,解得-≤k≤.所以实数k的最小值为-.8.B图1解析 (1)当直线y=ax+b与AB,BC相交时(如图1),由得y E=,又易知x D=-,∴|BD|=1+.由S△DBE=,得b=.图2(2)当直线y=ax+b与AC,BC相交时(如图2),由S△FCG=(x G-x F)·|CM|=,得b=1-(∵0<a<1),∵对于任意的a>0恒成立,∴b∈,即b∈.故选B.9.(-2,3)解析直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R),即λ(y-3)+x+2=0,令解得x=-2, y=3.故直线l恒过定点(-2,3),P(1, 1)到该直线的距离最大值=.10.(x-2)2+(y-1)2=10解析∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心为C(a,b),则有解得a=2,且b=1.因此圆心坐标为(2,1),半径r=|AC|=.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.11. 2解析由题意知,P(1,),A(-1,),B(3,),由OA⊥OB得=-1,所以r2=4,所以r=2,P(1,),k OP=.12. 解析如图所示,圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,圆心C(-1,2),半径r=,因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标为.13.x+y=0或x-y+4=0解析若a=b=0,则直线l过点(0,0)与(-2,2),直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.若a≠0,b≠0,则直线l的方程为=1,由题意知解得此时,直线l的方程为x-y+4=0.综上,直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.14.2+2解析设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.因为要使直线AB与圆x2+y2=1相切,所以d==1,化简得2a2+b2+2ab=a2b2,利用基本不等式得a2b2=2a2+b2+2ab≥2ab+2ab,即ab≥2+2,从而得|AB|==ab≥2+2,当b=a,即a=,b=时,|AB|的最小值是2+2.15.解 (1)∵点M,N到直线l的距离相等,∴l∥MN或l过MN的中点(设其为点C).∵M(0,2),N(-2,0),∴直线MN的斜率k MN=1,MN的中点坐标为(-1,1).又∵直线l:kx-y-2k+2=0过定点(2,2)(设其为点D),∴当l∥MN时,k=k MN=1;当l过MN的中点时,k=k CD=.综上可知,k的值为1或.(2)∵对于l上任意一点P,∠MPN恒为锐角,∴l与以MN为直径的圆相离,即圆心(-1,1)到直线l的距离大于半径,∴d=,解得k<-或k>1.16.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].。

专题限时集训(六) 数列(对应学生用书第92页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝________.－2 [因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.]2．(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.63 [由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，所以S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.]3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．1 830 [当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1； 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， 所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.]4．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________.12 [∵S 3＝12，∴S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝12.解得d ＝2， 则a 6＝a 1＋5d ＝2＋2×5＝12.]5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.3 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，∴a 13－3－1＋a 14－3－1＝533，解得a 1＝13.则a 3＝13×32＝3.] 6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．2 [∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1－q 91－q ＝a 1－q 31－q ＋a 1－q61－q，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2.]7．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．1322[设最上面一节的容积为a 1， 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＝4，解得a 1＝1322.]8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________.【导学号：56394041】－527[设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝a 1＋3d a 1＋4d ，9a 1＋9×82d ＝1，解得a 1＝－527.]9．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7＝________.2 [由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.]10．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．31 [若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，则S 4＝4,5S 2＝10，与题意不符． 设等比数列的公比为q (q ≠1)， 由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1－q 41－q＝5a 1(1＋q )，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 则S 5＝1－251－2＝31.]11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点， 设数列{a n }，{b n }满足：向量B n A n →＝a n CA →＋b n CB →(n ∈N *)，有下列四个命题，其中假命题是：________.【导学号：56394042】①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列； ②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 有最小值，无最大值；④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12.③ [由BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA →－CB →)，B n B →＝12n CB →，B n A n →＝B n B →＋BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1CB →，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1.则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故①正确；数列{a n ＋b n }即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 是首项和公比均为12的等比数列，故②正确；而当n ＝1时，a 1＝12，b 1＝0，a n b n 不存在；n ＞1时，a nb n ＝2n －12－2n ＝－1＋12－2n 在n ∈N *上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|2＝(a 2n ＋b 2n )CA →2＋2a n b n CA →·CB →＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －352－15，当n ＝1时，取得最小值，即有|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12，故④正确．]12．(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23 [因为a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n ＋1>b n ⇒(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1⇒n >2λ－1⇒2>2λ－1⇒λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ<23，因此λ<23.]13. (山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为________． S 9a 9[S 17>0⇒a 1＋a 172>0⇒a 92>0⇒a 9>0，S 18<0⇒a 1＋a 182<0⇒a 9＋a 102<0⇒a 10＋a 9<0⇒a 10<0，因此S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9>0，S 10a 10<0，而S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 8>a 9，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8<S 9a 9.]14．(云南大理2017届高三第一次统测)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________.5 050 [由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n，∴a n ＝3n－1，所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝＋2＝5 050.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }满足：b 1＝a 1，b 2＝a 2－1，若数列c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16. ① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55. ②4分由①得2a 1＝16－7d 将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220.即256－9d 2＝220，∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)2＝2n －1.6分 (2)∵b 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝2n －1，∴c n ＝a n b n ＝(2n －1)2n －1， 8分S n ＝1·20＋3·21＋…＋(2n －1)·2n －1,2S n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n .两式相减可得：－S n ＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2×－2n －11－2－(2n －1)·2n，∴－S n ＝1＋－2n －11－2－(2n －1)·2n＝1＋2n ＋1－4－(2n －1)·2n＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n， ∴S n ＝3＋(2n －1)·2n－2n ＋1＝3＋(2n －3)·2n.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝20，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，2d 2＝a 1d . 2分又因为d ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1.4分 所以a n ＝n ＋1. 5分(2)因为1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝nn ＋. 7分因为存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立， 所以存在n ∈N *，使得n n ＋－λ(n ＋2)≥0成立， 即存在n ∈N *，使λ≤n n ＋2成立.10分又n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n＋4≤116(当且仅当n ＝2时取等号)， 所以λ≤116.即实数λ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，116. 14分17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n，n ∈N *.(1)若函数 f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值a 4＋1，求函数 f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)∵a n a n ＋1＝2n，则a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2a n＝2， 又a 1＝1，故a 1a 2＝21，即a 2＝2， ∴a 3＝2，a 4＝4，∴A ＝a 4＋1＝5，故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，4分 又x ＝π6时，f (x )＝5，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，且0<φ<π，解得φ＝π6， ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，6分而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，故2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，综上知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，5. 8分18．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 2n ＋12a n ，n ∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }满足：b 1＝1，b n －b n －1＝2a n (n ≥2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2；(3)若T n ≤λ(n ＋4)对任意n ∈N *恒成立，求λ的取值范围.【导学号：56394043】[解] (1)n ＝1时，a 1＝a 21＋12a 1，∴a 1＝12.⎩⎪⎨⎪⎧S n －1＝a 2n －1＋12a n －1S n ＝a 2n ＋12a n⇒a n ＝a 2n －a 2n －1＋12a n －12a n －1，⇒(a n ＋a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a n －1－12＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝12，∴{a n }是以12为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝12n .4分(2)证明：b n －b n －1＝n ，⎩⎪⎨⎪⎧b 2－b 1＝2b 3－b 2＝3⋮b n －b n －1＝n⇒b n －b 1＝n ＋n －2⇒b n ＝n n ＋2.1b n＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，即T n <2. (3)由2nn ＋1≤λ(n ＋4)得λ≥2nn ＋n ＋＝2n ＋4n ＋5，当且仅当n ＝2时，2n ＋4n＋5有最大值29，∴λ≥29.16分19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. 6分(2)S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ；8分(－1)nk <n ＋1＋9n，当n 为奇数时，k >－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n，∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n的最小值为7，当n 为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴－7<k <294.16分20．(本小题满分16分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x1－x 的图象上任意两点，且OM →＝12(OA →＋OB →)，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：M 点的纵坐标为定值；(2)若S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，n ∈N *，且n ≥2，求S n；(3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1S n＋Sn ＋1＋，n ≥2.其中n ∈N *.T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围.【导学号：56394044】[解] (1)证明：∵OM →＝12(OA →＋OB →)，∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为(x ，y )，由12(x 1＋x 2)＝x ＝12，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1.2分 而y ＝12(y 1＋y 2)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋log 2x 11－x 1＋12＋log 2x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1＋log 2x 21－x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1·x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 1x 2x 1x 2＝12()1＋0＝12，∴M 点的纵坐标为定值12. 5分(2)由(1)，知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ， 两式相加，得2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝1＋1＋…＋1n －1，∴S n＝n －12(n ≥2，n ∈N *).8分(3)当n ≥2时，a n ＝1S n ＋S n ＋1＋＝4n ＋n ＋＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2.10分 T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝23＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋2＝2n n ＋2. 12分由T n <λ(S n ＋1＋1)，得2n n ＋2<λ·n ＋22.∴λ>4n n ＋2＝4nn 2＋4n ＋4＝4n ＋4n＋4. ∵n ＋4n≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴4n ＋4n＋4≤44＋4＝12. 因此λ>12，即λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16分。

专题六 第一讲A 组1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为导学号 52134691( B )A ． 2B ．823C ． 3D ．833[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋－2＝823.故选B ． 2．(文)(2017·哈三中一模)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为导学号 52134692( D )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3．(理)⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为导学号 52134693( D )A ．13B ．4C ．43913D ．83913[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0． 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，⊙O 的半径R ＝2，∴截得弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913． 3．(2017·湖南岳阳一模)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为导学号 52134694( B )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0[解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0．4．(2017·南昌一模)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是导学号 52134695( D )A ．[－13，0)B ．(－13，0)C ．(－13，＋∞)D ．(－∞，－13)∪(0，＋∞)[解析] 本题考查点到直线的距离、直线的斜率．由题意得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10， 整理得x 0＋3y 0＋2＝0.又y 0<x 0＋2，设y 0x 0＝k OM ，如图，当点位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点位于射线BN (不包括端点B )上时，k OM <－13，所以y 0x 0的取值范围是(－∞，－13)∪(0，＋∞)．故选D ．5．(2017·重庆适应性测试)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝导学号 52134696( D )A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 5[解析] 本题主要考查圆的性质、点到直线的距离公式与数形结合思想．记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，圆心C 到y 轴的距离为1，且|CA |＝|CB |＝2，则CA ⊥CB ，因此圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是有|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5，故选D ． 6．(2017·广东综合测试)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是导学号 52134697( C ) A ．(3，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[2，22)D ．[3，22][解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 2<2，解得2≤k <22， 故选C ．7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__2__.导学号 52134698[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2．8．(2017·天津耀华中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是__(－13,13)__.导学号 52134699[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题． 要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c |122＋52<1，解|c |<13，∴－13<c <13．9．(2017·河北唐山调研)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数).导学号 52134700(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13．综上可知，k 的值为1或13．(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1．10．(2017·济南模拟)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.导学号 52134701(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4．C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2．若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0． 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34．故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0．直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0． 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0．B 组1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为导学号 52134702( D )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．2．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝导学号 52134703( C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为导学号 52134704( A )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 设圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)，故直线CD 的斜率k CD ＝3－2－2－－＝－1， 则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－1k CD＝1，故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0．4．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为导学号 52134705( C )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5．解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝|2θ－π4＋a ＋2|2． △ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×|2θ－π4＋a ＋2|2＝|2sin(θ－π4)＋a ＋2|，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5．解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ， 两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即|m －2|2＝|±2－a －2|2， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|．当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1． 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5． 故a ＝1或－5．5．若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是导学号 52134706( A )A ．－33B ．－ 3C ．33D ． 3[解析] 由条件知，|cos θ＋sin 2θ－1|cos 2θ＋sin 2θ＝14， ∵θ为锐角，∴cos θ＝12，∴sin θ＝32．∴直线的斜率k ＝－cos θsin θ＝－33，故选A ．6．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是导学号 52134707( C )A ．a >7或a <－3B ．a >6或a <－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －＋a |5<5－＋a 2＋1|5<5得－6<a <6，两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧－＋a |5>5－＋a 2＋1|5>5得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C ．7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为导学号 52134708[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b2＝c12c 2＝2，∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27．8．已知过点P (2,1)有且只有一条直线与圆C ：x 2＋y 2＋2ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0相切，则实数a ＝__－1__.导学号 52134709[解析] 由条件知点P 在⊙C 上，∴4＋1＋4a ＋a ＋2a 2＋a －1＝0，∴a ＝－1或－2． 当a ＝－1时，x 2＋y 2－2x －y ＝0表示圆，当a ＝－2时，x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0不表示圆，∴a ＝－1．9．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：导学号 52134710(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)， 则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2． 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x2x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92．故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－m22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

专题能力训练17 椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.(2017全国Ⅲ,理5)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=12.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是() A.-B.-C.-D.-3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.84.已知双曲线=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=15.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.6.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.7.(2017全国Ⅰ,理15)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足||=·()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l 与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.思维提升训练11.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1012.(2017全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.13.(2017山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.15.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B 是端点),的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程;(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q 两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.参考答案专题能力训练17椭圆、双曲线、抛物线能力突破训练1.B解析由题意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.A解析由条件知F1(-,0),F2(,0),=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),-3<0. ①=1,=2+2.代入①得,∴-<y0<3.B解析不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.4.D解析根据对称性,不妨设点A在第一象限,其坐标为(x,y),于是有则xy=b2=12.故所求双曲线的方程为=1,故选D.5.C解析在y=±x中令x=c,得A,B-,在双曲线=1中令x=c得P当点P的坐标为时,由=m+n,得-则-由得或(舍去),,-,∴e=同理,当点P的坐标为-时,e=故该双曲线的离心率为6.2解析∵四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2. 7解析如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,∵∠MAN=60°,∴|AP|=b,|OP|=--设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=-tanθ=, -,解得a2=3b2,∴e=8.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由-消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故--解得因此,点B的坐标为(2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.解(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为-由题意,有-=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由--消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. ①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=-,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以-=1+-此时>1,且2,所以1<1+-<3,且1+-,所以1<<3,且综上所述,的取值范围是10.解(1)由题意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).∵||=()+2,-=2y+2,∴x2=4y.∴曲线C的方程为x2=4y.(2)设Q,则S△QAB=2-=2-∵y=,∴y'=x,∴k l=x0,∴切线l的方程为y-x0(x-x0)与y轴交点H-,|PH|=-=1-直线PA的方程为y=-x-1,直线PB的方程为y=x-1,由---得x D=-由--得x E=,∴S△PDE=|x D-x E|·|PH|=1-,∴△QAB与△PDE的面积之比为2.思维提升训练11.A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得-消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16, 当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为不妨令∈作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=-同理可得|BF|=,所以|AB|=-又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.12.6解析设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=±4所以N(0,±4.所以|FN|=-=6.13.y=±x 解析抛物线x2=2py的焦点F,准线方程为y=-设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得-消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.14.解(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组-消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有--而|PQ|=|x1-x2|=-,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=--,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值15.解(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=--1,即1<a≤3时,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,与条件矛盾;当y=->-1,即a>3时,的最大值是---,由条件得---,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得--=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入生活的色彩就是学习得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m K12的学习需要努力专业专心坚持。

专题能力训练直线与圆锥曲线能力突破训练.已知为坐标原点是椭圆(>>)的左焦点分别为的左、右顶点为上一点,且⊥轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过的中点,则的离心率为().....(江西赣州二模)已知双曲线(>)的离心率为,则抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是().....如果与抛物线相切倾斜角为°的直线与轴和轴的交点分别是和,那么过两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为()..(河南六市第二次联考)已知双曲线Γ(>>)的左、右焦点分别为,椭圆Γ的离心率为,直线过与双曲线交于两点,若∠∠,则双曲线Γ的两条渐近线的倾斜角分别为()°和°°和°°和°°和°.平面直角坐标系中,双曲线(>>)的渐近线与抛物线(>)交于点.若△的垂心为的焦点,则的离心率为..已知椭圆(>>)的右焦点(),过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点,当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为°.()求椭圆的方程.()设为坐标原点,线段上是否存在点(),使得?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由..(浙江)如图,已知抛物线,点,抛物线上的点().过点作直线的垂线,垂足为.()求直线斜率的取值范围;()求·的最大值..已知椭圆(>>)的离心率为()()(),△的面积为.()求椭圆的方程;()设是椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证·为定值.。

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题六 解析几何考向一 直线与圆【高考改编☆回顾基础】2x ＋y ＝0垂直的直线方程为________． 【答案】y＝12x【解析】因为直线2x ＋y ＝0的斜率为－2，所以所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y ＝12x.2.【弦长问题】【2016·全国卷Ⅰ改编】设直线y ＝x ＋22与圆C ：x 2＋y 2－22y －2＝0相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 【答案】2 33.【直线与圆，圆与圆的位置关系】【2016·山东卷改编】已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】由垂径定理得a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交．4.【椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系】【2017课标3，改编】已知椭圆C：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 .【解析】【命题预测☆看准方向】从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.另外，从高考试题看，涉及直线、圆的问题有与圆锥曲线等综合命题趋势.复习中应注意围绕圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届北京丰台二中高三上学期期中】已知点()2,0P 及圆22:6440C x y x y +-++=．（Ⅰ）设过P 的直线1l 与圆C 交于M ， N 两点，当4MN =时，求以MN 为直径的圆Q 的方程．（Ⅱ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ， B 两点，是否存在实数a ，使得过点P 的直线l ，垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()2224x y -+= (2) 不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．【解析】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明证明即可．（Ⅱ）把直线10ax y -+=及1y ax =+代入圆C 的方程，消去y ，整理得：()()2216190ax a x ++-+=，由于直线10ax y -+=交圆C 于A ， B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(),0-∞． 设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线2l 上， 所以2l 的斜率2PC k =，所以12AB k a ==， 由于()1,02∉-∞， 故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．【趁热打铁】【2018届江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校高三12月联考】经过点()2,0且圆心是直线2x =与直线4x y +=的交点的圆的标准方程为__________． 【答案】()()22224x y -+-=【解析】直线2x =与直线4x y +=的交点为()2,2 即圆心为()2,2，因为圆经过点()2,0所以半径为2，故圆的标准方程为()()22224x y -+-= 故答案为()()22224x y -+-=【例2】已知圆C 经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N. (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN|·|BM|为定值．【答案】(1)x 2＋y 2＝4.(2)3.(3)证明：见解析.(2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.∴BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3)证明：当直线PA 的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8. 当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设P(x 0，y 0)， 直线PA 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 02－x 0.∴|AN|·|BM|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2） ＝ 4 ＋ 4·y 20 －2y 0 ＋ x 20 －2x 0 ＋ x 0 y 0 （x 0 －2）（y 0 －2） ＝ 4 ＋ 4·4－2y 0 －2x 0 ＋ x 0 y 0（x 0 －2）（y 0 －2） ＝ 4 ＋4×4－2y 0 －2x 0 ＋ x 0 y 04－2y 0 －2x 0 ＋ x 0 y 0 ＝ 8， 故|AN|·|BM|为定值8.【趁热打铁】(1)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围为________________．(2)已知圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y －a ＋4＝0关于直线l 1：ax ＋3y －5＝0对称，过点P(3，－2)的直线l 2与圆C 交于A ，B 两点，则弦长|AB|的最小值为________________． 【答案】(1)－43≤k≤0 (2)2 3.(2)圆C ：x 2＋y 2－ax ＋2y －a ＋4＝0，其圆心C 为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，半径r ＝12a 2＋4a －12.∵圆C 关于直线l 1：ax ＋3y －5＝0对称，∴a22－3－5＝0，解得a ＝±4.当a ＝－4时，半径小于0，不合题意，舍去． ∴a ＝4，则圆心C 为(2，－1)，半径r ＝ 5.由|PC|＝2<5，可知点P 在圆内，则当弦长|AB|最小时，直线l 2与PC 所在直线垂直． 此时圆心C 到直线l 2的距离d ＝|PC|＝2， 弦长|AB|＝2r 2－d 2＝23， 即所求最小值为2 3.【方法总结☆全面提升】1.要注意几种直线方程的局限性,点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直,两点式方程要求直线不能与坐标轴垂直,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.2.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即若斜率存在时,“斜率相等”或“互为负倒数”;若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究.3.求圆的方程一般有两类方法:(1)几何法,通过圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,求得圆的基本量和方程; (2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.4.直线与圆的位置关系: (1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离． 优先选用几何法.【规范示例☆避免陷阱】【典例】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A,B.①求圆1C 的圆心坐标.②求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.③是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【规范解答】: ①由22650x y x +-+=,得(x-3)2+y 2=4, 从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0).②设线段AB 的中点M(x,y), 由弦的性质可知C 1M ⊥AB,即C 1M ⊥OM.故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C ,半径r=|OC 1|=3=,其方程为+y 2=,即x 2+y 2-3x=0. 又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内,所以<2.又x 2+y 2-3x=0,所以x> 易知x≤3,所以<x≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0【反思提高】处理有关圆的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化. 【误区警示】1.求轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、相关点法(坐标代入法)等,解决此类问题时要读懂题目给出的条件,进行合理转化,准确得出结论.本题确定轨迹方程，易于忽视横坐标的限制范围.2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.考向二 椭圆、双曲线、抛物线【高考改编☆回顾基础】1.【椭圆的方程及其几何性质】【2017·江苏卷改编】椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，椭圆的半焦距为c 且a 2＝4c ，则椭圆E 的标准方程为____________． 【答案】x 24＋y23＝1【解析】因为椭圆E 的离心率为12，所以e ＝c a ＝12，又a 2＝4c,所以a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y23＝1.2．【双曲线的方程及其几何性质】【2017·全国卷Ⅲ】双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________. 【答案】5【解析】令x 2a 2－y 29＝0，得双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x ，∵双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.3. 【抛物线方程及其几何性质】【2017课标1，改编】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 . 【答案】16【命题预测☆看准方向】从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素.考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率以及向量、直线、圆锥曲线的小综合. 考查的重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程；圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B 32 D ．233【答案】A 【解析】【趁热打铁】【2018届吉林省实验中学高三上第五次月考（一模）】F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为357 【答案】D【解析】设AB m =，则112212,24AF BF BF a AF AF a m a =-==+∴=，由余弦定理得()()222022464264cos60287,7c a a a a a e e =+-⨯⨯⨯=∴== 选D.【例2】【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

6.直线、圆、圆锥曲线■要点重温…………………………………………………………………………· 1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的倾斜角为α(α≠90°)，则斜率为k ＝tan α＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)； (3)解决直线的倾斜角与斜率的问题，可借助k ＝tan α的图象(如图22)．图22[应用1] 已知直线l 过P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 2．直线方程的几种形式：点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；截距式：x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0)；一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．要注意由于“截距为零”或“斜率不存在”等特殊情况造成丢解．[应用2] 若直线在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，且过点(1,2)，则此直线方程为________．[答案] x ＋2y －5＝0或y ＝2x 3．两直线的平行与垂直(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒： A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，A 1A 2≠B 1B 2，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件．[应用3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．[答案] －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[应用4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． [答案] 1513265．圆的方程：(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(3)以线段P 1P 2为直径的圆方程：(x －x 1)(x －x 2)＋ (y －y 1)(y －y 2)＝0.(4)求圆的方程的方法：待定系数法，即根据题意列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组，求得a ，b ，r 或D ，E ，F 的对应值，代入圆的标准方程或一般方程便可．解题时注意圆的几何性质的应用．[应用5] (1) 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.(2)求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程． [答案] (1)－1(2)x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或 x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0 6．直线与圆的位置关系(1)若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则l ＝2r 2－d 2. (2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦． (3)讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离的位置关系． [应用6] 过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为12，所以直线AB 的斜率为－2，显然(1,1)为其中一个切点，所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，化简得2x ＋y －3＝0.故选A. [答案] A7．(1) 圆锥曲线的定义和性质[应用7] (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A.19 B ．125 C.15D ．13(2)若x 2m ＋y 2n＝1表示椭圆，则m ，n 应满足的关系是________.(3)已知椭圆的离心率为12，且过点(2,3)，求椭圆的标准方程．[解析] (1)由抛物线定义可得M 点到准线的距离为5，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，∴M (1,4)，点A (－a ，0)，由AM 的斜率等于渐近线的斜率得41＋a ＝1a ，解得a ＝19，故选A.[答案] (1)A (2)m ＞0，n ＞0，m ≠n (3)x 216＋ y 212＝1和 x 2434＋ y 2433＝18．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[应用8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C ．1∶2D ．1∶3[解析] 由题意可知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2. [答案] C[应用9] 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1. 代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得，(2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0， 由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0， 解得k <32.设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2kk －k 2－2，点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1.∴k k －k 2－2＝1，解得k ＝2>32，故不存在被点A (1,1)平分的弦．■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1C [因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝|3＋2|5＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.]2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1B [由题意得b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2＝25，所以a ＝4，b ＝3，所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( ) A ．13 B ．32 C ．12D ．1C [由题意得c a ＝32，2ab ＝12⇒a 2＝12，b 2＝3，利用点差法得直线l 的斜率为－b 2x 中a 2y 中＝－－12×1＝12，选C.] 4．若抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A ．34B ．32C ．1D ．2D [设抛物线的焦点为F (0,1)，AB 的中点为M ，准线方程为y ＝－1，则点M 到准线的距离d ＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝3，即点M 到准线的距离的最小值为d min ＝3，所以点M 到x轴的最短距离d ′min ＝d min －1＝2，选D.]5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的点，点M 为圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1上的动点，点N 为圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1上 的动点，则|PM |＋|PN |的最大值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ． 20B [由题可知，(|PM |＋|PN |)max ＝|PC 1|＋|PC 2|＋2＝12，故选B.]6．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1、C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5 B ．5－1 C.5＋1 D ．5＋12D [如图所示，OM ⊥F 1N ，且M 为线段F 1N 的中点，所以AN ＝F 2N ＝2a ，F 2N ⊥F 1N ，所以在Rt△F 1F 2N 中，cos∠NF 1F 2＝2b 2c ＝b c ，在Rt△F 1AN 中，cos∠F 1NA ＝2a 2b ＝a b ，又因为∠NF 1F 2＝∠F 1NA ，所以b c ＝a b ，即c 2－a 2＝b 2＝ac ，解之得e ＝1＋52，故选D.]7．已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( ) A ．32 B ．16 C ．8D ．4B [因为双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1与双曲线C 1：x 24－y 2＝1的离心率相同，所以e ＝c a ＝52，解得b a ＝12，即双曲线C 2的一条渐近线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0，又因为OM ⊥MF 2，△OMF 2的面积为16，所以12|OM |·|MF 2|＝|MF 2|2＝16，解得|MF 2|＝4，即右焦点F 2(c,0)到渐近线x －2y ＝0的距离为4，所以c5＝4，解得c ＝45，a ＝4552＝8,2a ＝16，即双曲线C 2的实轴长为16.故选B.]8．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152xB [依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p 2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，选B.]9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝2x －4，圆C 的半径为1，圆心在直线l 上，若圆C 上存在点M ，且M 在圆D ：x 2＋(y ＋1)2＝4上，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－25 5，2＋25 5D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－25 5∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋25 5，4B [点M 既在圆C 上，又在圆D 上，所以圆C 和圆D 有公共点，圆C 的圆心为(a,2a －4) ，半径为1，圆D 的圆心为(0，－1) ，半径为2，则圆心距a 2＋a －4＋2＝5a 2－12a ＋9 ，满足⎩⎨⎧5a 2－12a ＋9≤35a 2－12a ＋9≥1，解得：0≤a ≤125，故选B.]10．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB,A 、B 为切点，则直线AB 经过定点A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49 C ．(2,0)D ．(9,0)A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0), 则PA ：x 1x ＋y 1y ＝4；PB ：x 2x ＋y 2y ＝4; 即x 1x 0＋y 1y 0＝4；x 2x 0＋y 2y 0＝4；因此A 、B 在直线x 0x ＋y 0y ＝4上，直线AB 方程为x 0x ＋y 0y ＝4，又x 0＋2y 0－9＝0，所以(9－2y 0)x ＋y 0y ＝4⇒y 0(y －2x )＋9x －4＝0即y －2x ＝0,9x －4＝0⇒y ＝89，x ＝49，直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89，选A.] 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，点C 是B 1F 2的中点，若B 1F 1→·B 1F 2→＝2，且CF 1⊥B 1F 2，则椭圆的方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意可得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2，B 1F 1→·B 1F 2→＝(－c ，－b )·(c ，－b )＝－c 2＋b 2＝2①，CF 1→⊥B 1F 2→，可得CF 1→·B 1F 2→＝0，即有⎝⎛⎭⎪⎫－3c 2，－b 2·(c ，－b )＝－32c 2＋b 22＝0②，解得c ＝1，b ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2，可得椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.]13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使OA →·OB →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋c (0≤m <a b )，联立双曲线方程，消去x ，得(b 2m 2－a 2)y 2＋2b 2mcy ＋b 4＝0，所以y 1＋y 2＝－2b 2mc b 2m 2－a 2①，y 1y 2＝b4b 2m 2－a2②.因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，即m 2y 1y 2＋mc (y 1＋y 2)＋c 2＋y 1y 2＝0，代入①②整理，得b 4m2－2b 2m 2c 2＋c 2b 2m 2－a 2c 2＋b 4＝0,0≤m 2＝b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2.由b 4－a 2b 2≥0，得(c 2－a 2)2－a 2c 2≥0，即c 4－3a 2c 2＋a 4≥0，e 4－3e 2＋1≥0，解得e ≥1＋52；由b 4－a 2c 2b 2c 2－b 4<a 2b2，得b 4－a 4－a 2c 2<0，即(c 2－a 2)2－a 4－a 2c 2<0，c 4－3a 2c 2<0，所以c a< 3.综上所述，e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋52，3.]14．已知直线l ：x ＝my ＋1过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，抛物线x 2＝43y 的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，当m 变化时， λ1＋λ2的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由．[解] (1)易知椭圆右焦点F (1,0)，∴c ＝1，抛物线x 2＝43y 的焦点坐标(0，3)，∴b ＝3， ∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1 .(2)易知m ≠0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1 ⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，∴Δ＝(6m )2＋36(3m 2＋4)＝144(m 2＋1)>0. ∴y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4.又由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →得：λ1＝－1－1my 1，λ2＝－1－1my 2.∴λ1＋λ2＝－2－1m ·y 1＋y 2y 1·y 2＝－83.15．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝43y 的焦点．(1)若A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两点，设点P (－4,0)，连接PA 交椭圆C 于另一点E ，求证：直线BE 与x 轴相交于定点M ；(2)设O 为坐标原点，在(2)的条件下，过点M 的直线交椭圆C 于S ，T 两点，求OS →·OT →的取值范围．[解] (1)证明：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线x 2＝43y 的焦点为(0，3)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝12，b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 由题意可知直线PA 存在斜率，设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，代入椭圆方程可得(4k 2＋3)x 2＋32k 2x ＋64k 2－12＝0.由Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，有－12<k <12.设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (x 1，－y 1)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－32k 24k 2＋3①，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3②直线BE 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，可得x M ＝x 2y 1－x 1y 1y 1＋y 2＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2，将y 1＝k (x 1＋4)，y 2＝k (x 2＋4)代入上式，整理可得x M ＝2x 1x 2＋4x 1＋x 2x 1＋x 2＋8③将①，②代入③整理可得x M ＝k 2－－128k2－32k 2＋k 2＋＝－1∴直线BE 与x 轴相交于定点M (－1,0)．(2)当过点M 的直线ST 的斜率为0时，S (－2,0)，T (2,0)，此时OS →·OT →＝－4.当过点M 的直线ST 的斜率不为0时，设直线ST 的方程为x ＝my －1，且设点S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my －1x 24＋y 23＝1，消去x 整理，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 由根与系数的关系得：y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 从而OS →·OT →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1－1)(my 2－1)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝－m 2＋3m 2＋4－6m 23m 2＋4＋1＝－12m 2－53m 2＋4 ＝－4＋113m 2＋4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－4，－54综上所述，OS →·OT →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。