高中数学选修2-2优质学案：1.1.3 导数的几何意义

1.1.3 导数的几何意义[学习目标] 1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．知识点一曲线的切线如图所示，当点P n沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的______．(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的______．思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？知识点三导函数的概念对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f′(x)便是关于x的一个函数，称它为函数y＝f(x)的________，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数y′|x＝x0就是函数y＝f(x)在开区间(a，b)(x∈(a，b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值，即y′|x＝x0＝f′(x0)，所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0)．思考如何正确理解“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？题型一求曲线的切线方程1．求曲线在某点处的切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程．反思与感悟 若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 跟踪训练1 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为________．(2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为____________． 2．求曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 跟踪训练2 求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．题型二 求导函数例3 求函数f (x )＝x 2＋1的导函数．反思与感悟 求解f ′(x )时，结合导数的定义，首先计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )．然后，再求解Δy Δx，最后得到f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx . 跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－1，求f ′(x )及f ′(－1)．题型三 导数几何意义的综合应用例4 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．反思与感悟 与导数的几何意义相关的题目往往涉及[解析]几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．跟踪训练4 (1)已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为______________．(请用“＞”连接)(2)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是__________．因对“在某点处”“过某点”分不清致误例5 已知曲线y ＝f (x )＝x 3上一点Q (1,1)，求过点Q 的切线方程． 错解 因y ′＝3x 2，f ′(1)＝3. 故切线方程为3x －y －2＝0.错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q 不是切点这一情形，导致漏解． 正解 当Q (1,1)为切点时， 可求得切线方程为y ＝3x －2.当Q (1,1)不是切点时，设切点为P (x 0，x 30)， 则由导数的定义，在x ＝x 0处，y ′＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 将点(1,1)代入，得1－x 30＝3x 20(1－x 0)， 即2x 30－3x 20＋1＝0，所以(x 0－1)2·(2x 0＋1)＝0， 所以x 0＝－12，或x 0＝1(舍)，故切点为⎝⎛⎭⎫－12，－18， 故切线方程为y ＝34x ＋14.综上，所求切线的方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0.防范措施 解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q (1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点．1．下列说法中正确的是( )A ．和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线B ．和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线C ．曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点D ．曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点2．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．23．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－14．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．165°5．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导函数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．提醒：完成作业 1.1.3[答案]精析知识梳理知识点一切线思考不正确．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．知识点二斜率思考(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线．曲线的切线并不一定与曲线有一个交点．(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率．函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导．知识点三导函数思考“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．题型探究例1解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f′(1)＝limΔx→0(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3－(1－1＋3)Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3(Δx)2＋2ΔxΔx＝limΔx→0[(Δx)2＋3Δx＋2]＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)， 即2x －y ＋1＝0.跟踪训练1 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1)[解析] (1)设切线的倾斜角为α，则 tan α＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →013(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx ＝lim Δx →013(Δx )3－Δx Δx ＝lim Δx →0[13(Δx )2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)， ∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →03x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1.∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)． 例2 解 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0 [2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32.∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38)．当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 跟踪训练2 解 由题意知y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x . 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20. 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点， ∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0. 例3 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1＝2x Δx ＋(Δx )2(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴Δy Δx＝2x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1，∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02x ＋Δx (x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.跟踪训练3 解 因Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝(x ＋Δx )2－1－(x 2－1) ＝2Δx ·x ＋(Δx )2，故lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →02Δx ·x ＋(Δx )2Δx ＝2x ， 得f ′(x )＝2x ，f ′(－1)＝－2.例4 解 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )2－9(x ＋Δx )－1－(x 3＋ax 2－9x －1) ＝(3x 2＋2ax －9)Δx ＋(3x ＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴ΔyΔx＝3x 2＋2ax －9＋(3x ＋a )Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝3x 2＋2ax －9＝3(x ＋a 3)2－9－a 23≥－9－a 23. 由题意知f ′(x )最小值是－12， ∴－9－a 23＝－12，a 2＝9，∵a ＜0，∴a ＝－3.跟踪训练4 (1)k 1＞k 3＞k 2 (2)34[解析] (1)结合导数的几何意义知，k 1就是曲线在点A 处切线的斜率，k 2则为在点B 处切线的斜率，而k 3则为割线AB 的斜率，由图易知它们的大小关系．(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故交点坐标为(1,1)．曲线y ＝1x在点(1,1)处切线方程为l 1：x ＋y －2＝0， 曲线y ＝x 2在点(1,1)处切线方程为l 2：2x －y －1＝0.从而得S ＝12×⎪⎪⎪⎪2－12×1＝34. 当堂检测1．D [y ＝sin x ，x ∈R 在点(π2，1)处的切线与y ＝sin x 有无数个公共点．] 2．C [f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →02(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即k ＝8.] 3．A [由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.]4．B [∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.] 5．(3,30)[解析] 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．。