2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6讲对数与对数函数学案

第6讲 对数与对数函数板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 对数的定义如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．考点2 对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 考点3 对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是单调递增的在(0，＋∞)上是单调递减的函数值正负 当x ＞1时，y ＞0； 当0＜x ＜1时，y ＜0当x ＞1时，y ＜0； 当0＜x ＜1时，y ＞0考点4 反函数指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[必会结论]1．对数的性质(a ＞0且a ≠1) (1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN＝N .2．换底公式及其推论(1)log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)；(2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a ；(3)log am b n＝n mlog a b ；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (4)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．[2018·广东深圳模拟]已知a ＝0.30.3，b ＝1.20.3，c ＝log 1.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b答案 A解析 ∵a ＝,1)，b ＝，c ＝， ∴c <a <b .故选A.3．[课本改编]12lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是________．答案 －12解析 原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.4．[课本改编]已知a23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 3解析 因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.5．[2018·陕西模拟]已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 答案10解析 ∵4a ＝22a＝2，∴a ＝12.∵lg x ＝12，∴x ＝10.6．[2015·天津高考]已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 由于a >0，b >0，ab ＝8，所以a ＝8b ，所以log 2a ·log 2(2b )＝log 28b·log 2(2b )＝(3－log 2b )·(1＋log 2b )＝－(log 2b )2＋2log 2b ＋3＝－(log 2b －1)2＋4，当b ＝2时，有最大值4，此时a ＝4.板块二 典例探究·考向突破 考向对数的化简与求值例 1 (1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2的值为________．答案 3解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 22＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.(2)已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝________.答案 2解析 因为3a＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412，1a ＝log 12 3，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log123＋log124＝log1212＝2. (3)[2016·浙江高考]已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析 由于a >b >1，则log a b ∈(0,1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝12或log a b ＝2(舍去)，所以a 12 ＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a，所以a＝2b ，b 2＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4.触类旁通对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【变式训练1】 (1)计算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.答案 1解析 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫16×0.06＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.(2)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝32log 32·56log 23＝54.考向对数函数的图象及应用例 2 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)答案 B解析 易知0<a <1，则函数y ＝4x与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12>2，解得a >22， ∴22<a <1. 触类旁通应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式训练2】 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，求a 的取值范围．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可，如图所示．当0＜a ＜1时，显然不成立． 当a ＞1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2.∵log a 2≥1，∴1＜a ≤2，即a 的取值范围为(1,2]．考向对数函数的性质及其应用命题角度1 比较对数值的大小例3 [2017·天津高考]已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，g (x )为偶函数．又f (x )在R 上递增，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，且f ′(x )>0，g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )在[0，＋∞)上递增．a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，由对数函数y ＝log 2x 的性质，知3＝log 28>log 25.1>log 24＝2>20.8，∴c >a >b .故选C.命题角度2 解简单的对数不等式例4 [2018·西安模拟]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18 x )>0⇒log 18 x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．命题角度3 与对数有关的复合函数问题 例 5 已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解 (1)由f (－1)＝－3，得log 12 (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 这时f (x )＝log 12(x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 令u ＝x 2－4x ＋3，对称轴为x ＝2，则u 在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因为⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数． 触类旁通对数函数性质及应用中应注意的问题(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．核心规律1.指数式ab ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．3.研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．4.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．满分策略1.在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意条件，当n ∈N *，且n 为偶数时，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |.2.指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列2——有关对数运算的创新应用问题[2017·北京高考]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解题视点 首先要读懂题意，搞清其本质就是利用对数来比较两个数的大小，然后根据相关公式计算．解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093.故选D. 答案 D答题启示 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.跟踪训练里氏震级M 的计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．答案 6 10000解析 根据题意，由lg 1000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震的最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·广东湛江模拟]函数f (x )＝1－ln x 的定义域是( ) A ．(0，e) B ．(0，e] C ．[e ，＋∞) D ．(e ，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )＝1－ln x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ≥0，x >0，解得0<x ≤e，则函数f (x )的定义域为(0，e]．故选B. 2．设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c答案 B解析 因为a <0，b >1,0<c <1，所以a <c <b .故选B.3．[2018·承德模拟]已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案 B解析 由已知得5a＝b,10c＝b ，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc ＝a .故选B.4．[2018·西安模拟]已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1 答案 A解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，f (x ＋1)，x <2，则函数f (log 23)的值为( )A ．3 B.13 C ．6 D.16答案 D6．[2017·天津模拟]函数f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 D解析 令u ＝x 2－2x －8，则关于u 的函数y ＝ln u 在定义域(0，＋∞)上是一个单调递增函数，故要求f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间，只需使u (x )＝x 2－2x －8>0且u (x )在该区间单调递增．解x 2－2x －8＝(x －4)(x ＋2)>0，得x <－2或x >4；u (x )＝x 2－2x －8的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以x >4时u (x )单调递增，所以f (x )＝ln (x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.7．[2018·安徽江淮联考]已知a >0，b >0，且a ≠1，则“log a b >0”是“(a －1)(b －1)>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 a >0，b >0且a ≠1，若log a b >0，则a >1，b >1或0<a <1,0<b <1，∴(a －1)(b －1)>0；若(a －1)(b －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，b －1<0，则a >1，b >1或0<a <1,0<b <1，∴log a b >0，∴“log a b >0”是“(a －1)(b －1)>0”的充分必要条件．8．[2015·浙江高考]若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________. 答案433解析 原式＝2log 43＋2－log 43＝3＋13＝433. 9．已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2017]内这样的企盼数共有________个．答案 9解析 令g (k )＝f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )，∵f (k )＝log k ＋1(k ＋2)＝lg (k ＋2)lg (k ＋1)，∴g (k )＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg (k ＋2)lg (k ＋1)＝lg (k ＋2)lg 2＝log 2(k ＋2)．要使g (k )成为企盼数，则k ＋2＝2n ，n ∈N *.∵k ∈[1,2017]，∴(k ＋2)∈[3,2019]，即2n ∈[3,2019]．∵22＝4,210＝1024,211＝2048，∴可取n ＝2,3，…，10.因此在区间[1,2017]内这样的企盼数共有9个．10．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )>1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )>1,8－2a >a ，即a <83，故1<a <83.当0<a <1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )>1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故这样的a 不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. [B 级 知能提升]1．若f (x )＝lg (x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．故选A.2．[2018·河北监测]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a答案 C解析 因为c ＝5－ 12 ＝15<12，a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，a ＝log 32>log 33＝12，所以c <a <b .故选C.3．[2018·河南模拟]已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________． 答案 7 2解析 由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.4．[2018·福建六校联考]已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9，∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9，若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)， 若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f (x )min ＝log a 9＝－2，则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13. 5．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值． 解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－ 13 ， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－ 13 )－ 32 ＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ 32 ＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。