高等数学对数求导法参数方程的求导法则演示文稿

g( x)ln
f
( x).
(按隐函数求微分或导数)
4
y (1 sin x)x ,
解 恒等变形得 ln y x ln(1 sin x)
根据微分法则知
1 dy dx ln(1 sin x) x 1 cos xdx
y
1 sin x
因此
dy
y
dx
ln(1
sin
x)
x 1 1 sin x
2
一、幂指函数的对数求导法则
例1 设 y xsin x ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[ x
1

1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
10
例5 设 y ( x 1)( x 2) , 求y. ( x 3)( x 4)
解 等式两边先取绝对值再取对数得
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
cos
xdx
(1
sin
x)x
ln(1
sin
x)
x cos x 1 sin x
dx.
5
求导法则:
对幂指函数 y uv , 其中u u( x),v v( x),可用对数
求导法求导:

结束
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2 y dx2

d (dy) dx dx

d ((t)) dt dt (t) dx
d2y dx 2

d dt

(t ) ( t )

dx
dt
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
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结束
x a(t sint) y a(1cost)
x a cos3 t

y

a
sin 3
t
2
2
2
x3 y3 a3
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结束
x2 y2 axa x2 y2
a(1cost)
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结束
ea
a
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结束
例8 一汽球从离5开 0m 0处 观离 察地 员面铅
上升 ,其速率 14m 0为 /mi.当 n 气球高 50m 度 0时,为
观察员视线的 率仰 是角 多 ? 增 少加
解 设t时 刻 ,气球上升h高 ,观度 察为 员 视 线
的 仰 角 ,则 为
tan h （相关方程）
500
四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数
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1、隐函数的导数 P102
定义: 设在方程 F(x, y) 0中,当x取某区 间内的任意值 , 相时应地总有满足这的方程 唯一y的值存,在 那么就说方F程 (x, y) 0在 该区间内确定了一函个数y隐 f (x).

例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
解: ln y sin x ln( x 2 1),
d d (ln y ) [sin x ln( x 2 1)], dx dx
1 2x 2 y cos x ln( x 1) sin x 2 , y x 1
dy t dy . d t dx ( t 1 )( 1 cos y ) dx dt
2 t x cos y 0 d y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
2.1.12 参数方程确定函数的导数
分段函数的求导法 内容小结 课堂思考与练习
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
v( x)
的情形.
dy 设 y u( x ) , 求 . dx 解: 首先, 两边取对数 ln y v( x ) ln u( x ),
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.11 对数求导法 2.1.12 参数方程所确定的函数的导数
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
2.1 导数及微分
对数求导法
2.1.11 对数求导法
对数求导法习例1-5 参数方程确定函 数的导数 参数方程确定函数 的导数习例6-9
导 数 及 微 分
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.

t x cos y 0 d 2 y 例7.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x 2
2
, 求y .
1 1 , 2 ln y ln( x 5 ) ln( x 2 ) 解: 5 5
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy a. y f ( x ) f ( x) x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设 确定了 y为 x的函数, y (t )
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )