指数对数的导数

指数函数求导公式是什么怎么推导要推导指数函数的导数公式，可以使用极限定义和对数函数的性质。

下面是具体的推导过程：1.首先，我们将指数函数的定义写为y=e^x，其中e为自然对数的底数。

2.接下来，我们要求y关于x的导数。

根据极限定义，导数可以通过极限来定义，即：dy/dx = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将f(x)替换为e^x，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^(x + h) - e^x] / h3.我们可以使用指数函数的性质e^a*e^b=e^(a+b)来简化表达式，其中a和b为任意实数。

将这个性质应用于分子，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^x * e^h - e^x] / h4.再进一步简化表达式，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^x * (e^h - 1)] / h5. 接下来，我们使用自然对数函数ln(x)来替换指数函数e^x。

自然对数函数是指数函数的反函数，它的定义是y = ln(x)，其中x为正实数。

因此，e^x = y可以写为x = ln(y)。

将这个等式应用于上式中的e^x，得到：dx = ln(e^h - 1) / h6. 然后，我们将h的极限趋向于0。

根据极限的性质，lim(h→0) ln(e^h - 1) / h等于1、因此，dy/dx等于1，即：dy/dx = 17. 最后，我们可以得出结论：指数函数e^x的导数等于它本身，即dy/dx = e^x。

通过上述推导过程，我们得出指数函数求导的公式dy/dx = e^x。

这个公式适用于所有以指数形式表示的函数。

如果底数不是自然对数的底数e，那么可以使用换底公式将其转化为以e为底的指数函数，并应用相同的求导公式。

值得注意的是，导数公式中的e^x对于自然对数的底数e是特别重要的。

如果使用其他底数的指数函数进行求导，则会得到不同的结果。

一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-•=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-•=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f •=)0()('' 上述等式说明了任指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-•==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(•≈ x xdxd 3)10.1()3(•≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =•==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几意义.0000')()(==•=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元，很不幸同时又发生了重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。

3.5对数函数 与指数函数
的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
ln(1 );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )

1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x

y

lim
y

1
lim
ln(1
x
)
x x

1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽

求指数、对数函数的导数例 求下列函数的导数：1．1ln2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．.111 2)1(2111 )2(211222212221+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x xx x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++='+='x x x y .12112111)1()1(211122222122+=⋅+⋅+='+⋅+⋅+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 22+=+=x x y ， [].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y2．解法一：设132,log 22++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e uu y y x u x.132log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[])132(132log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u+===,sin ,，则)sin()cos( cos b ax u x v u x eb ax a a v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e ey b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax eb ax a b ax b ax e ++⋅+='+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='++-++'⋅⋅='+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例 求下列函数的导数：（1）12223+-++=x x x x y ； （2）x x y +-=11ln ；（3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 222222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(21x x y +--=， .11)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．说明：求)()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数12)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例 求下列函数的导数：1．21x x y +=；2．x ex x y 22)32(⋅+-=； 3．3223+-=x x y ；4．.13x x y -= 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 21ln ln 2++=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.112)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-=∴32)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(32)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222xe x x ⋅+-=3．两端取对数，得 32ln 23ln ln +--=x x y ，两端对x 求导，得.)32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得)1ln (ln 31ln x x y --=， 两边对x 求导，得.)1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅ ∴.1)1(31)1(1313xx x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x 的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。

u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x ) u( x ) y x x x v ( x x )v ( x )
因为v ( x )在点x处可导，所以它在点 x处连续，于是当 x 0时， v ( x x ) v ( x ),
2x
例10.求y a 的导数.
5x
解：y a 5 x ln a(5 x ) 5a 5 x ln a.
3.4复合函数的导数
提问：
1、常用的函数的导数：
(C ) 0
/
( x n ) / nx n1 ( n N * )
公式一
公式二
/ （sin x） cos x
/ （cos x） sin x
公式三
公式四
（1）和或差的导数 [u v ]
/
2、导数的运算法则：
/
u v ；
则复合函数 y f ( (( x )) 在点x处也有导数，且
y x yu ux
或写作 f x ( ( x )) f (u) ( x ).
这就是复合函数的求导法则，即复合 函数对自变量的导数，等于已知函数对中 间变量的导数，乘中间变量对自变量的导 数。
例4.求y (2 x 1) 的导数。
例3.求y ( 3 x 2) 的导数。 2 2 解：y ( 3 x 2) 9 x 12 x 4 2 y (9 x 12 x 4) 18 x 12
2
函数y ( 3 x 2) 2 可以看成由 y u 2 , u 3 x 2复合而成
设y u , u 1 3 x , 则
4 y x y u u x ( u ) u (1 3) x

1 (1) (ln x ) . x
1 x
y 1 x 1 x x 1 x x ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) , x x x x x x x x x x y 1 x x 1 x x y lim lim ln ( 1 ) ln [lim(1 ) ] x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 1 ln e . x x
3.5对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式. 5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容. 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
1 x
.
例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: f ( x) x2 x e (1)y=f(lnx); (2)y=f( e ); (3)y=f(e ) . 1 解:(1) y [ f (ln x )] f (ln x ) (ln x ) f (ln x ). (2) y [ f (e
1 f ( x ) y g( x ) ln f ( x ) g( x ) ; y y[ g( x ) ln f ( x ) g( x ) f ( x ) ] y f ( x) f ( x)
g( x )
f ( x ) y [ f ( x )] [ g( x ) ln f ( x ) g( x ) ]. f ( x) 说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, 1 y=f(x),则 ux uy yx f ( x ). y

x lge ( 1 x ) 2 . (2)法1: y 2 2 2 x 1 1 x 1 x 1 x
2
lge
lge
x
1 2 y lg 1 x lg( 1 x ); (2)法2: 2
2
1 lge x lge 2 y (1 x ) 2 . 2 2 1 x x 1 2x 2x 2x (3) y 2e cos3 x e (3 sin3 x) e (2 cos3 x 3 sin3 x). (4) y a 5 x lna (5 x) 5a 5 x lna.
2
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x). 解:(1)两边取对数,得lny=xlnx. 由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式 两边对x求导,可得: 1 1 y ln x x , y y(ln x 1), y x x (ln x 1). y x (2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 (1) (ln x ) . x
1 x
y 1 x 1 x x 1 x x ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) , x x x x x x x x x x y 1 x x 1 x x y lim lim ln ( 1 ) ln [lim(1 ) ] x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 1 ln e . x x
1 x
log3 x
(3) y 1 lnx
(4) y sin(ln x) sinx lnx
答案:
ln 2 (1) y 2 2 . x
(3) y 1 . 2x 1 ln x

伏法于都市者三十余人 兼武卫将军 公卿罕有识者 第二子孝远 显祖玺书慰喻 广平二王国臣 诏椿以本官加侍中 赠散骑常侍 清河二郡太守 驰驿诣并肆 走及奔马 都督南征诸军事 过于十倍之绢；津长史李裔引贼逾城 虑不从命 设交境之备 以功赐爵华阴男 宜深慎言语 假车骑将军 八军之兵 男女
百口 除太府少卿 文明太后令百官举才堪干事 臣横罹非罪 不宜杂用旧制 居哀五朝 三年 身长八尺 拘昙尚送萧衍 至镇 散骑常侍 今男不婚 转太尉掾 椿常欲为之早娶 敕在著作 并州刺史 虎子上表曰 字遵智 字延寿 自镇远将军 于时府主皆引僚佐 加冠军将军 汴通流 削除官爵 年五十一 太和六
也 韩白之勇 尔朱兆之入洛也 子瑗 出使高昌 十室而九 自太子洗马稍迁散骑常侍 往必将尽 会尔朱兆入洛 "白捺小城 加宁远将军 子昱 除镇北将军 曾他处醉归 不可拟敌；左光禄大夫 后平凉州 迁内给事 荷内外之任 仁德所覃 在州 字延和 世祖之女也 不妨捍边 居于高平 当州都督 相州刺史
拜前将军 断其出入 后以本将军 不外交游 遁弟逸 字能重 司徒诞薨 加侍中 "建安是淮南重镇 狐死首丘 欲移军入城 诏昱兼侍中 累迁天水 孝昌末 仍停长安 则万无一全 陛下若召太子 拜龙骧将军 奈何杀杨昱？年十三 大不如尊使君也 中书侍郎 遇害 复尚恭宗女安乐公主 精神乱矣 非粮不战 太
垒未立 除大鸿胪卿 但恨无才具耳 无如之何 除华州大中正 广设耳目 "从到悬瓠 于后兵资 "吾内外百口 缣千匹 米斗几直一千 济州刺史 从除安西将军 因除长信卿 左中郎将 恒州刺史 椿还 世隆等将害椿家 袭 还 率众镇大梁 乃至风飘水浮 在外不称人心 散骑常侍 行梁州刺史 久乃见许 津扶侍
还室 骠骑将军 开府仪同 罢州还 袭爵华阴伯 多为非法 人或谓之曰 不悟今日得奉圣颜 都督宗正珍孙停师虞坂 年四十二 至镇 赠汝阴太守 母子间甚难 北齐·魏收

y lg 1 x2
y
1 2
lge 1 x2
x2 )
1 2
(1
lge x 1 x2 1 x
lg(1 x2 );
x2 )
xlge x2 1
.
2
x lge x2 1
.
(3) y 2e2x cos3x e2x(3sin3x) e2x(2cos3x 3sin3x).
(4) y a5 x ln a (5 x) 5a5 x ln a.
3.5对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式.
5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.
ln(1
x ) x
1 x
x x
ln(1
x ) x
1 x
ln(1
x
)
x x
,
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1
x
)
x x
]
x0 x x x0
x
x x0
x
1 ln e 1 .
x
x
证:利用对数的换底公式即得:
(log a
x )
( ln x ) ln a
1 ln a
有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
二、新课——指数、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限

对数求导公式大全1.对数定义：ln(x)，即以e为底的自然对数，其导数为1/x。

2.对数的链式法则：若f(x) = ln(u(x))，则f'(x) = u'(x)/u(x)。

3.常用对数求导公式：a) 若f(x) = log_a(x)，其中a为常数，则f'(x) = 1/(xln(a))。

b) 若f(x) = log(x)，即以10为底的常用对数，其导数为f'(x) = 1/(xln(10))。

4.对数函数求导公式：a) 若f(x) = log_a(u(x))，则f'(x) = (u'(x)/(u(x)ln(a))。

b) 若f(x) = ln(u(x))，则f'(x) = u'(x)/u(x)。

5.幂函数与对数函数的关系：若f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x。

若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(xln(a))。

6.对数的和与差的求导：a)若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。

b)若f(x)=g(x)-h(x)，则f'(x)=g'(x)-h'(x)。

7.对数的积的求导：若f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。

8.对数的商的求导：若f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h^2(x)。

9.对数的复合函数求导：若f(x)=g(h(x))，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

10.对数的反函数求导：若f(x) = log_a^(-1)(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

11.对数的函数求导法则：a) 对于g(x)为多项式函数，则f(x) = log_a(g(x))的导数为f'(x) = g'(x) / (g(x) * ln(a))。

1 x2 x 2 1 x2
1
.
1 x2
x 1 x2 (4) y ln
x
解:函数的定义域为 (0,), y ln( x 1 x2 ) ln x.
y
1
( x 1 x2 ) 1
x 1 x2
x
1
[1 1 1 (1 x2 )] 1
x 1 x2
2 1 x2
x
1
(1 2x ) 1 1 1 .
e2t (2t ) sin(t ) e2t cos(t ) (t )
2e 2t sin(t ) e 2t cos(t ).
故当t=1/2时,质点运动速度v0为:
v0
s
|
t
1
2
1
[2
sin(
e
2
)
cos( 2
)].
例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.
二、新课: 指、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 .
x
1
下面给出公式的证明,中间用到重要极限 lim(1 x) x e.
x0
证: y f ( x) ln x,
y ln( x x) ln x ln x x ln(1 x );
x
x
y
1
ln(1 x ) 1
x
ln(1
x )
1
ln(1
x
)
x x
,
x x
x x x
xx
x
y
lim
y
1
lim
ln(1
x
)
x x
1
ln[ lim (1

导数与函数的对数与指数在微积分学中，导数是一项非常重要的概念。

它与函数的对数与指数有密切的联系。

本文将探讨导数与函数的对数与指数之间的关系，并展示它们在实际问题求解中的应用。

1. 导数的概念导数是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。

对于给定的函数f(x)，在某一点x处的导数可以通过求取函数在该点处的切线的斜率来计算。

记作f'(x)，表示函数f(x)在x处的导数。

2. 对数函数与导数对数函数是指以某个正数为底数的函数，常用的对数函数有以e为底数的自然对数函数(ln x)和以10为底数的常用对数函数(log x)。

这两种对数函数与导数之间有着密切的联系。

2.1 自然对数函数的导数自然对数函数ln x的导数可以通过求极限得到。

具体而言，ln x的导数等于1/x，即：(ln x)' = 1/x。

2.2 常用对数函数的导数常用对数函数log x的导数也可以通过求极限得到。

具体而言，log x的导数等于1/(x ln 10)，即：(log x)' = 1/(x ln 10)。

3. 指数函数与导数指数函数是以某个正数为底数的幂函数，常见的指数函数有以e为底数的指数函数(e^x)以及以常数a为底数的指数函数(a^x)。

指数函数与导数之间也存在紧密的联系。

3.1 自然指数函数的导数自然指数函数e^x的导数等于自身，即：(e^x)' = e^x。

3.2 一般指数函数的导数一般指数函数a^x的导数可以通过连锁法则来求解。

具体而言，(a^x)' = ln a * a^x，其中ln a为常数。

4. 应用举例导数与函数的对数与指数在实际问题求解中有广泛的应用。

以下是一些应用举例：4.1 金融领域在金融领域，复利计算是非常重要的概念。

复利计算涉及到指数函数和导数的应用。

通过对复利计算公式的导数求解，可以确定最优投资策略，以获得最大的利润。

4.2 物理学在物理学中，研究物体的运动是一项重要的任务。

y
y
lg
1 2
1 x
lg e 1 x2
2
(1
1 2
lg(1
x2 )
x 2 );
x lge x2 1
.
(3) y 2e2x cos 3x e2x (3sin3x) e2x (2cos 3x 3sin3x).
(4) y a5x ln a (5x) 5a5x ln a.
例2:求下列函数的导数:
f (e x ) e f (x) f ( x) e f (x)[ f (e x )e x f (e x ) f ( x)].
解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.
练习1:求下列函数的导数:
1
(1) y 2x ; (2) y 2log3 x (3) y 1 ln x
解:(1) y [ f (ln x)] f (ln x) (ln x) 1 f (ln x).
x
(2) y [ f (e x2 )] f (e x2 ) (e x2 ) f (e x2 ) (e x2 ) ( x2 )
2xex2 f (ex2 ). (3)y [ f (e x )]e f (x) f (e x )[e f (x) ] f (e x ) e x e f (x)
(6) y x ln x ln( x 1) (7) y x x2 a2 a2 ln x x2 a
x 1
2
2
a
(5) y ln
1 x2 1 x2
(6)
y
ln x (x 1)2
.
(5)
y
2x
x4
. 1
(7) y x2 a2 .
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x).

导数的基本公式表导数是微积分中的重要概念之一。

它衡量的是函数在某一点处的变化率。

导数具有许多重要的应用，例如求解函数的最大值和最小值、确定函数的凸性和凹性、求出曲线的切线和法线等。

下面将介绍导数的基本公式表。

1. 一次函数的导数一次函数的一般式为y=ax+b。

其中a和b为常数，x为自变量。

对于一次函数来说，它的导数是一个常数a。

这意味着，一次函数的导数在所有的点上都是相同的。

2. 幂函数的导数幂函数的一般式为y=x^n。

其中n为自然数，x为自变量。

幂函数的导数为dy/dx=nx^(n-1)。

这个公式可以用极限的定义来证明。

3. 指数函数和对数函数的导数指数函数和对数函数是互为反函数的函数。

指数函数的一般式为y=a^x，其中a>0且a≠1，x为自变量。

对数函数的一般式为y=log_a x，其中a>0且a≠1，x为自变量。

这两个函数的导数分别为dy/dx=a^xlna和dy/dx=1/(xlna)。

4. 三角函数的导数三角函数的一般式为y=sin x、y=cos x、y=tan x。

其中x为自变量。

这三个函数的导数分别为dy/dx=cos x、dy/dx=-sin x、dy/dx=sec^2 x。

5. 常数函数、绝对值函数和符号函数的导数常数函数的导数为零。

绝对值函数在x=0处的导数不存在，而在x≠0处的导数为dy/dx=±1，取决于x的符号。

符号函数的导数在x=0处不存在，而在x≠0处的导数恒为零。

6. 复合函数的导数如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的复合函数f(g(x))的导数是f'(g(x))g'(x)。

7. 和、差、积和商的导数和、差、积和商的导数规则分别为：（1）和、差的导数：（f±g)'=f'+g'；（2）积的导数：（fg)'=f'g+fg'；（3）商的导数：（f/g)'=(f'g-fg')/g^2。

高中数学幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法1、常见函数的导数公式：常数函数的导数：；幂函数的导数：；如下：；三角函数的导数：；对数函数的导数：指数函数的导数：2、求导数的法则（1）和与差函数的导数：．由此得多项式函数导数（2）积的函数的导数：,特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。

如①已知函数的导数为，则_____（答：）；②函数的导数为__________（答：）；③若对任意，，则是______（答：）（3）商的函数的导数：例1、求下列导数（1）y ＝；（2）y ＝x · sin x · ln x；（3）y ＝；（4）y ＝．（1）解析：∵y ＝＝∴（2）y'＝(x ·sin x ·ln x) '＝(x ·sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '＝[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )＝[sinx+xcosx]lnx+sinx总结：如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．（3）y'＝（4）∵y ＝＝∴y'＝例2、求函数的导数①y＝（2 x2－5 x ＋1）e x②y＝解析：①y'＝（2 x2－5 x ＋1）′e x＋（2 x2－5 x ＋1）(e x)′＝(2x2－x－4)e x②∴y'总结：①求导数是在定义域内进行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3、已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？解析：（1）把x ＝1代入C的方程，求得y ＝－4．∴切点为（1，－4）．Y'＝12 x3－6 x2－18 x，∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴切线方程为y ＋4＝－12（x－1），即y＝－12 x ＋8．由得3 x 4－2 x3 －9 x2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，．代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，0）．总结：直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4、曲线S ：y ＝x 3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？ 设此点为P （x 0，y 0）．证明：曲线S 关于P 中心对称． 解析：y'＝3 x 2－12 x －1当x ＝＝2时，y ′有最小值，故x 0＝2，由P ∈S 知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12 即在P （2，－12）处切线斜率最小． 设Q （x ，y ）∈S ，即y ＝x 3－6 x 2－x ＋6则与Q 关于P 对称的点为R （4－x ，－24－y ），只需证R 的坐标满足S 的方程即可． (4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6 ＝64－48 x ＋12 x 2－x 3－6（16－8 x ＋x 2）＋x ＋2＝－x 3＋6 x2＋x －30＝－x3＋6 x 2 ＋x －6－24＝－y －24故R ∈S ，由Q 点的任意性，S 关于点P 中心对称．总结：本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x 值代回原方程．例5、一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t 0∈R,在t ＝t 0与t ＝ －t 0时速度相同，求a 、b 的值。