指数对数的导数

指数函数求导公式是什么怎么推导要推导指数函数的导数公式，可以使用极限定义和对数函数的性质。

下面是具体的推导过程：1.首先，我们将指数函数的定义写为y=e^x，其中e为自然对数的底数。

2.接下来，我们要求y关于x的导数。

根据极限定义，导数可以通过极限来定义，即：dy/dx = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将f(x)替换为e^x，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^(x + h) - e^x] / h3.我们可以使用指数函数的性质e^a*e^b=e^(a+b)来简化表达式，其中a和b为任意实数。

将这个性质应用于分子，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^x * e^h - e^x] / h4.再进一步简化表达式，得到：dy/dx = lim(h→0) [e^x * (e^h - 1)] / h5. 接下来，我们使用自然对数函数ln(x)来替换指数函数e^x。

自然对数函数是指数函数的反函数，它的定义是y = ln(x)，其中x为正实数。

因此，e^x = y可以写为x = ln(y)。

将这个等式应用于上式中的e^x，得到：dx = ln(e^h - 1) / h6. 然后，我们将h的极限趋向于0。

根据极限的性质，lim(h→0) ln(e^h - 1) / h等于1、因此，dy/dx等于1，即：dy/dx = 17. 最后，我们可以得出结论：指数函数e^x的导数等于它本身，即dy/dx = e^x。

通过上述推导过程，我们得出指数函数求导的公式dy/dx = e^x。

这个公式适用于所有以指数形式表示的函数。

如果底数不是自然对数的底数e，那么可以使用换底公式将其转化为以e为底的指数函数，并应用相同的求导公式。

值得注意的是，导数公式中的e^x对于自然对数的底数e是特别重要的。

如果使用其他底数的指数函数进行求导，则会得到不同的结果。

一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-•=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-•=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f •=)0()('' 上述等式说明了任指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-•==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(•≈ x xdxd 3)10.1()3(•≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =•==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几意义.0000')()(==•=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元，很不幸同时又发生了重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。

求指数、对数函数的导数例 求下列函数的导数：1．1ln2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．.111 2)1(2111 )2(211222212221+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x xx x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++='+='x x x y .12112111)1()1(211122222122+=⋅+⋅+='+⋅+⋅+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(211ln 22+=+=x x y ， [].1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y2．解法一：设132,log 22++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e uu y y x u x.132log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[])132(132log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u+===,sin ,，则)sin()cos( cos b ax u x v u x eb ax a a v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e ey b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax eb ax a b ax b ax e ++⋅+='+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='++-++'⋅⋅='+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例 求下列函数的导数：（1）12223+-++=x x x x y ； （2）x x y +-=11ln ；（3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：（1）.12122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 222222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(21x x y +--=， .11)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．说明：求)()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数12)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．函数求导法则的综合运用例 求下列函数的导数：1．21x x y +=；2．x ex x y 22)32(⋅+-=； 3．3223+-=x x y ；4．.13x x y -= 分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y 的绝对值，得12+⋅=x x y ，两边取寻数，得.1ln 21ln ln 2++=x x y 根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x 求导，得 )1(12)1(2211222++=++='⋅x x x x x x y y ， ∴.112)1(121)1(122222222++=++⋅+=++⋅='x x x x x x x x x x y y 2．注意到0>y ，两端取对数，得.2)32ln(ln )32ln(ln 222x x x e x x y x ++-=++-=∴32)2(223222232)32(122222+-+-=++--=++-'+-='⋅x x x x x x x x x x x y y ∴x e x x x x x x y x x x x y 222222)32(32)2(232)2(2⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-=' .)2(222xe x x ⋅+-=3．两端取对数，得 32ln 23ln ln +--=x x y ，两端对x 求导，得.)32)(23(13 32223332)32(23)23(1+-=+--=+'+--'-='⋅x x x x x x x x y y 4．两端取对数，得)1ln (ln 31ln x x y --=， 两边对x 求导，得.)1(131)111(311x x x x y y -=---='⋅ ∴.1)1(31)1(1313xx x x y x x y --=⋅-⋅=' 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意y ln 是关于x 的复合函数．指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．。

对数求导公式大全1.对数定义：ln(x)，即以e为底的自然对数，其导数为1/x。

2.对数的链式法则：若f(x) = ln(u(x))，则f'(x) = u'(x)/u(x)。

3.常用对数求导公式：a) 若f(x) = log_a(x)，其中a为常数，则f'(x) = 1/(xln(a))。

b) 若f(x) = log(x)，即以10为底的常用对数，其导数为f'(x) = 1/(xln(10))。

4.对数函数求导公式：a) 若f(x) = log_a(u(x))，则f'(x) = (u'(x)/(u(x)ln(a))。

b) 若f(x) = ln(u(x))，则f'(x) = u'(x)/u(x)。

5.幂函数与对数函数的关系：若f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x。

若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(xln(a))。

6.对数的和与差的求导：a)若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。

b)若f(x)=g(x)-h(x)，则f'(x)=g'(x)-h'(x)。

7.对数的积的求导：若f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。

8.对数的商的求导：若f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h^2(x)。

9.对数的复合函数求导：若f(x)=g(h(x))，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。

10.对数的反函数求导：若f(x) = log_a^(-1)(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

11.对数的函数求导法则：a) 对于g(x)为多项式函数，则f(x) = log_a(g(x))的导数为f'(x) = g'(x) / (g(x) * ln(a))。