初中数学 幂的乘方教案

9.8幂的乘方
教学目标：
1、理解幂的乘方的意义
2、掌握幂的乘方的法则，能够熟练地进行幂的乘方运算。

教学的重点及难点：
重点：幂的乘方法则的理解和应用
难点：幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质的区别
教学过程设计：
一、复习导入
讲：请同学们完成下列计算：
（1）53×52；（2）2m×2n；（3）a m×a n.
讲：上述几道题目就是我们上节课讲的同底数幂的乘法，请同学们叙述一下同底数幂的乘法法则：
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（2）用字母表示就是：a m×a n=a m+n,其中m、n都是正整数。

二、学习新课
（一）探索新知
讲：今天我们要研究并学习形如(62)4这样的式子，这个式子它有一个底数两个指数。

这是我们以前没有碰到过的，所以在这之前，我们要分析一下这样的式子到底是什么，它的本质是什么？首先，我们来看62就是6的二次幂，把62看做是一个整体，对它进行四次方运算，
得到（62）4
，也就是6的二次幂的四次方。

简而言之，就是对幂进行乘方运算，像这样形式的算式，我们称之为幂的乘方。

讲：接下来，我们试着来计算一下（62）4。

（1）(62)422226666⋅⋅⋅=（先根据乘方的意义把幂的乘方写成几个幂相乘）
22226+++=（再根据同底数幂的乘法把几个幂依次相乘）
=62×4
86=
即得到：(62)4=62×4=68
再来让我们试着计算另一个幂的乘方：
（2）(23)2=23?23=23+3=26
即得到：(23)2=23×2=26
思考：根据上述的计算结果，同学们能不能猜想一下幂的乘方的法则。

猜想：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用符号语言表示就是：())都是正整数,(n m a a mn n
m = 验证：证明(a m )n =a mn
推导过程：(a m )n m m m m a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
即：(a m )n =a mn ，所以猜想的证。

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用符号语言表示就是：())都是正整数,(n m a a mn n m =
既然现在我们已经学习了同底数幂的乘法和幂的乘方的法则，那么不妨让我们对这两个做一下比较：
（二）例题讲解
例题一：计算下列各式,结果用幂的形式来表示：
（1）(73)2；（2）(a 2)3；（3）[（−2）3]4；（4）−(b 3)3. 解：（1） (73)2=73×2=76；
（2）(a 2)3=a 2×3=a 6；
（3）方法一：[（−2）3]4=（−2）3×4=（−2）12=212
分析：观察算式可以发现它是一个乘方的形式且底数是幂
的形式，考虑它是幂的乘方。

底数是-2，保持底数
-2保持不变，把两个指数3和4相乘。

于是得到
（−2）12
，由于负数的偶数次幂是正的，所以最
终答案是212。

方法二：[（−2）3]4=[−23]4=[23]4=212
分析：先计算括号里的乘方：第一步，判断符号，由于负数的奇数次
幂是负的，所以括号里的数是负的。

第二步，计算
绝对值，然后得到[−23]4。

再对[−23]4进行计算，
先判断符号，由于是偶数次幂，所以是正的。

再计
算数值，由于是乘方的形式底数是幂的形式，所以
选择使用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘。

（4）−(b3)3=−b3×3=（−b）9.
分析：符号是加在(b3)3这个幂的乘方的整体上，而不是作用在底数
上的，所以负号先保留。

计算(b3)3由于是乘方的
形式且底数是幂的形式，所以考虑用幂的乘方法则。

例题二：计算下列各式,结果用幂的形式来表示：
(1)−y2?(−y)3?[(−y)2]3；(2)(x+y)3?[(x+y)2]2；
（3）[(a+b)2]3；（4）(x2)3?(x3)4.
解：（1）−y2?(−y)3?[(−y)2]3=−y2?(−y)3?(−y)6=−y2?(−y)9=−y2?(−y9)=y11
分析：先乘方后乘除最后加减，有括号先算括号里面的。

首先计算
[(−y)2]3，由于是乘方的形式且底数是幂的形式，考
虑使用幂的乘方法则，得到(−y)6。

接着观察
(−y)3?(−y)6，发现是乘法的形式，底数都为-y，所
以考虑使用同底数幂乘法法则得到(−y)9。

然后，观
察−y2?(−y)9，发现是乘法的形式，但是底数不同，
一个是y，另一个是-y，所以在使用同底数幂乘法法
则之前，要把底数化为相同。

得到−y2?(−y9)，使用
同底数幂乘法法则求出最终值。

（2）(x+y)3?[(x+y)2]2=(x+y)3?(x+y)4=(x+y)7
（3）[(a+b)2]3=(a+b)6
分析：把（x+y）看成是一个整体，进行计算。

（4）(x2)3?(x3)4=x6?x12=x18
讲：注意混合运算的顺序：先乘方后乘除最后加减，有括号先算括号里面的。

例题三：计算下列各式,结果用幂的形式来表示：
(1)a3?a4?a2+(a3)3；(2)(−x)2?(−x)4+(x2)3.
解：(1)a3?a4?a2+(a3)3=a9+a9=2a9
分析：加号两边的运算可以同时进行，左边是同底数幂的乘方，运用法则得到a9。

右边是幂的乘方，运用法则得到a9。

于点
就有a9+a9，有加号考虑合并同类项，最后得到2a9。

(2)(−x)2?(−x)4+(x2)3=(−x)6+x6=x6+x6=2x6
分析：加号两边的运算可以同时进行，左边是同底数幂的乘方且底数是-x，运用法则得到(−x)6。

右边是幂的乘方，运用法
则得到x6。

于点就有(−x)6+x6，考虑化为同底数幂，
得到x6+x6。

有加号考虑合并同类项，最后得到2a9。

总结：碰到加减法考虑合并同类项，碰到乘方考虑同底数幂乘法，碰到乘方考虑幂的乘方。

（三）课堂练习
1、计算下列各题：
2）3]4；（2）[（－6）3]4；（3）－（a2）7；（4）－（a s）（1）[（
3
3
（5）（x3）4·x2；（6）2（x2）n－（x n）2；（7）[（x2）3]7 (四)课堂小结
（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（2）混合运算顺序：先乘方后乘除最后加减。