三角函数与解三角形
高考第一轮复习 第一节 三角函数的概念、同角三角函
数的基本关系及诱导公式
1高考引航
2必备知识
3关键能力
高考引航
知识清单必备知识
答案
一条射线
图形正角负角零角
答案
x
y
sin 2α+cos 2α=1sin cos =tan α
cos αcos α
sin α-sin α
答案
答案基础训练解析C
C
答案
解析
1.2
题型归纳
题型一 任意角的三角函数
解析
关键能力
答案
答案解析A
D
题型二 扇形的弧长、面积公式的应用
解析
点拨：理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形的面积公式和周长公式.
解析
题型三 同角三角函数基本关系式的应用
解析
答案解析
D B
题型四 三角函数的诱导公式的应用
解析
解析
方法突破
方法一 数形结合思想在三角函数中的应用
解析
方法二 分类讨论思想在三角函数化简中的应用
角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式时,需将角
写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.
解析
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专题五三角函数与解三角形【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4.理解同角三角函数的基本关系式.5.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α、π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.1.本专题考查的核心素养以数学运算、逻辑推理为主,同时兼顾考查直观想象.2.从近5年高考情况来看,本专题内容为高考必考内容,以中档题为主.几种题型均有可能出现.1.在备考复习中,注意基础知识的积累,基础概念、定义要弄清楚.2.切实掌握三角函数的图象、性质以及基本变换思想.3.三角函数与解三角形的综合问题,要灵活运用正弦定理或余弦定理.注意方程思想与函数思想的应用.二、三角恒等变换1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换.三、三角函数的图象、性质及应用1.理解正弦、余弦、正切函数的性质及图象.2.能画y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变换的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.四、解三角形及综合应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的解三角形问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题.【真题探秘】§5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式基础篇固本夯基【基础集训】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为( )A.10πB.9πC.910π D.109π答案D2.cos 330°=()A.12B.-12C.√32D.-√32答案C3.若sin θ·cos θ<0,tanθsinθ>0,则角θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D4.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x上,则角α的取值集合是( )A.{α|α=2kπ-π3,k∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C.{α|α=kπ-2π3,k∈Z} D.{α|α=kπ-π3,k∈Z}答案D5.已知扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径R的值为( )A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm答案B6.已知sin(π2+θ)+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sin θcosθ+cos2θ=()A.15B.2 5C.35D.√55答案 C综合篇知能转换【综合集训】考法一 利用三角函数定义解题1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边经过点P(3,4),则sin (α-2 017π2)=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B2.(2018广东深圳四校期中联考,5)已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点(1,4),则cos 2θ-sin 2θ的值为( )A.35B.-35C.717D.-717答案 D3.(2020届四川绵阳南山中学月考,4)已知角α的终边过点(-8m,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为( ) A.±12B.-12C.12D.√32答案 C考法二 同角三角函数的基本关系式的应用技巧4.(2018福建福州八校联考,8)已知sinα+3cosα2cosα-sinα=2,则cos 2α+sin αcos α=( )A.65B.35C.25D.-35答案 A5.(2019河北邯郸重点中学3月联考,5)已知3sin (33π14+α)=-5cos (5π14+α),则tan (5π14+α)=( )A.-53B.-35C.35D.53答案 A6.(2018湖北武汉调研,13)若tan α=cos α,则1sinα+cos 4α= .答案 2考法三 利用诱导公式化简求值的思路和要求7.(2020届广东珠海摸底测试,3)若角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=( ) A.45 B.-45 C.35 D.-35答案 B8.(2018河北衡水中学2月调研,3)若cos (π2-α)=√23,则cos(π-2α)=( )A.29 B.59 C.-29 D.-59答案 D9.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sin α= ,cos α= .答案35;45考法四同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用10.(2019江西赣州五校协作体期中,15)已知角α终边上有一点P(1,2),则sin(2π-α)-sin(π2-α)cos(3π2+α)+cos(π-α)= . 答案-3【五年高考】考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos2α+2sin2α=()A.6425B.4825C.1D.1625答案A2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-123.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=.答案-794.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,-4 5 ).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.解析(1)由角α的终边过点P(-35,-45)得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.(2)由角α的终边过点P(-35,-45)得cos α=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cos β=-5665或cos β=1665.思路分析(1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cos β的值.教师专用题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C2.(2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=()A.-45B.-35C.35D.45答案B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届吉林白城通榆一中月考,3)已知角α的终边过点(12,-5),则sin α+12cos α等于( )A.-113B.113C.112D.-112答案B2.(2020届四川邻水实验学校月考,4)已知tan(π-θ)=3,则sin(π2+θ)-cos(π-θ)sin(π2-θ)-sin(π-θ)=( )A.-1B.-12C.1 D.12答案D3.(2020届吉林白城通榆一中月考,2)已知扇形OAB的圆心角为2 rad,其面积是8 cm2,则该扇形的周长是( )A.8 cmB.4 cmC.8√2 cmD.4√2 cm答案C4.(2020届宁夏银川一中月考,2)已知tan α=-3,α是第二象限角,则sin(π2+α)=( )A.-√1010B.-3√1010C.√105D.2√55答案A5.(2020届湖南长沙一中月考,8)如图,点A为单位圆上一点,∠xOA=π3,点A沿单位圆按逆时针方向旋转角α到点B(-√22,√22),则sinα=()A.-√2+√64B.√2-√64C.√2+√64D.-√2+√64答案C6.(2019湖南衡阳一中月考,5)已知α是第三象限角,且|cos α3|=-cos α3,则α3是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案C7.(2018湖北襄阳四校3月联考,8)△ABC 为锐角三角形,若角θ的终边过点P(sin A-cos B,cos A-sin C),则sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值为( )A.1B.-1C.3D.-3 答案 B8.(2019广东珠海四校联考,3)设a=sin 5π7,b=cos 2π7,c=tan 2π7,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 答案 D9.(2019北京师范大学附中期中,6)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角α的终边经过点M (-cos π8,sin π8),且0<α<2π,则α=( ) A.π8 B.3π8 C.5π8 D.7π8答案 D10.(2018江西南昌一模,3)已知角α的终边经过点P(sin 47°,cos 47°),则sin(α-13°)=( ) A.12B.√32C.-12D.-√32答案 A二、多项选择题(每题5分,共10分)11.(改编题)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15,则有( ) A.sin α=45,cos α=-35B.sin α=-35,cos α=-45 C.tan α=-43D.tan α=43答案 AC12.(改编题)已知α为锐角且有2tan(π-α)-3cos (π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则有( ) A.tan α=3 B.sin β=13C.sin α=3√1010D.tan β=√24答案 ABC三、填空题(每题5分,共15分)13.(2019豫北六校精英对抗赛,13)若f(x)=cos (π2x +α)+1,且f(8)=2,则f(2 018)= . 答案 014.(2018广东佛山教学质量检测(二),14)若sin (α-π4)=7√210,α∈(0,π),则tan α= .答案 -43或-3415.(2019江西金太阳联考卷(六),15)已知sin α和cos α是方程4x 2+2√6x+m=0的两个实数根,则sin 3α-cos 3α= .答案 ±5√28四、解答题(共15分)16.(2019山东夏津一中月考,19)已知tan (π4+α)=2. (1)求tan α的值; (2)求2sin 2α+sin2α1+tanα的值.解析 (1)∵tan (π4+α)=tan π4+tanα1-tan π4·tanα=1+tanα1-tanα=2,∴tan α=13.(2)2sin 2α+sin2α1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sin 2α+2sinαcosα(1+tanα)(sin 2α+cos 2α)=2tan 2α+2tanα(1+tanα)(tan 2α+1),由(1)知tan α=13,∴原式=2×(13)2+2×13(1+13)×[(13)2+1]=35.。
§4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式命题探究解答过程(1)由题设得acsin B=,即acsin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式①了解任意角的概念和弧度制的概念;②能进行弧度与角度的互化;③理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;④理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x;⑤能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式理解2017北京,12;2016课标全国Ⅲ,5;2015广东,16;2014四川,13;2014大纲全国,3选择题填空题★★★分析解读 1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.五年高考考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=()A. B. C.1 D.答案 A2.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案 C3.(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=.答案-4.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sin x-cos x=sin=.又因为x∈,所以x-∈.所以x-=,解得x=.教师用书专用(5)5.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)答案60三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2018吉林长春一模,6)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x 上,则角α的取值集合是( )A. B.C. D.答案 D2.(2018江西阶段性检测,4)已知P在角β的终边上,且sin β=,则a的值为( )A.1B.3C.D.答案 A3.(2017河北石家庄二中模拟,3)已知点M在角θ终边的延长线上,且|OM|=2,则点M的坐标为( )A.(2cos θ,2sin θ)B.(-2cos θ,2sin θ)C.(-2cos θ,-2sin θ)D.(2cos θ,-2sin θ)答案 C4.(2017福建四地六校联考,6)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )A. B. C. D.答案 C5.(2017湖北襄阳四校联考,4)若角α的终边在第一象限,则+的取值集合为( )A.{-2,2}B.{0,2}C.{2}D.{0,-2,2}答案 A6.(2016河南天一大联考阶段测试(二),7)已知角α的终边经过P(sin 15°,-cos 15°),则sin2α的值为( )A.0B.C.-D.+答案 D7.(人教A必4,一,1-3A,3,变式)等于( )A.sin 2-cos 2B.cos 2-sin 2C.±(sin 2-cos 2)D.sin 2+cos 2答案 A8.(2018浙江名校协作体考试,13)已知sin·cos=,且0<α<,则sin α=,cos α= .答案;B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018河南天一大联考,2)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4),则sin=( )A.-B.-C.D.答案 B2.(2018四川南充一诊,5)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2 017)=-1,那么f(2 018)=( )A.1B.2C.0D.-1答案 A3.(2017河南八市联考,6)已知函数y=log a(x-1)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则sin2α-sin 2α的值为( )A. B.- C. D.-答案 D4.(2017浙江温州模拟,4)若+=,则sin αcos α=()A.-B.C.-或1D.或-1答案 A5.(2017河北邯郸联考,8)已知α为锐角,若sin 2α+cos 2α=-,则tan α=()A.3B.2C.D.答案 A6.(2016福建四地六校第一次联考,2)设a=sin 145°,b=cos 52°,c=tan 47°,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b答案 A二、填空题(共5分)7.(2018广东惠阳高级中学月考,15)已知α∈,4sin α+3cos α=0,则sin 2α+3cos2α的值为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 利用三角函数定义解题的方法1.(2017广东省际名校模拟,8)已知角α终边上一点的坐标为P,则角α是( )A. B. C.- D.-答案 D2.(2016河南中原名校第三次联考,4)已知角α的终边经过点A(-,a),若点A在抛物线y=-x2的准线上,则sin α=()A.-B.C.-D.答案 D方法2 同角三角函数基本关系式的应用技巧3.(2017湖北四地七校联考,3)已知α为第四象限角,sin α+cos α=,则tan的值为( )A.-B.C.-D.答案 C4.(2016浙江杭州五校联盟高三一诊,6)已知倾斜角为θ的直线与直线x-3y+1=0垂直,则=( )A. B.-C. D.-答案 C方法3 利用诱导公式化简求值的思路和要求5.(2018山东临沂临沭第一中学学情调研,3)已知cos=-,则cos+sin=( )A.-B.-1C.0D.答案 C6.(2017江西上饶一模,3)已知sin=,则cos的值等于( )A. B. C.- D.-答案 A。
