【真题】15年北京市海淀区高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

【高三】精品解析：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试（数学理）试卷说明：北京市海淀区2021届高三上学期期中考试数学理题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.]2.下列函数中，值域为的函数是( )A. B. C. D.3.在中，若，则=( )A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为，在中，若，所以，，，故选B.考点：任意角的三角函数4.在平面直角坐标系中，已知点，若，则实数的值为( )A. B. C. D. 5.若，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知数列的通项公式，则数列的前项和的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】B7.已知，函数若，则实数的取值范围为（）A. B.C.D. 8.已知函数，在下列给出结论中：①是的一个周期；②的图象关于直线对称；③在上单调递减.其中，正确结论的个数为（）A. 0个B.1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】试题分析：因为，，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.___________.【答案】2【解析】试题分析：，故答案为2.考点：定积分的计算10.已知数列为等比数列，若，则公比____________.11.已知，则的大小关系为____________.12..函数的图象如图所示，则______________，__________.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，14.定义在上的函数满足：①当时，；②.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则 ________ ；若，则________________.【答案】14，【解析】试题分析：因为，定义在上的函数满足：①当时，；②.所以，的构成规律是：对于任意整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；当时，的零点从小到大依次为，……，所以，当时，的零点从小到大依次满足，所以，考点：分段函数，函数的零点，等比数列的求和.三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

2021-2022学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）在复平面内，复数z=i（2+i）对应的点的坐标为（）A.（1，2）B.（-1，2）C.（2，1）D.（2，-1）2.（单选题，4分）已知向量a⃗ =（x，2），b⃗⃗ =（-1，1），若a⃗ || b⃗⃗，则x=（）A.1B.-1C.2D.-23.（单选题，4分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1}，∁U（A∪B）={3}，则集合B可能是（）A.{4}B.{1，4}C.{2，4}D.{1，2，3}＞2，则￢p是（）4.（单选题，4分）已知命题p：∀a∈（0，+∞），a+ 1aA.∃a∈（0，+∞），a+ 1＞2aB.∃a∉（0，+∞），a+ 1＞2aC.∃a∈（0，+∞），a+ 1≤2a≤2D.∃a∉（0，+∞），a+ 1a5.（单选题，4分）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）A.y=sinxB.y=x|x|C.y=tanxD. y=x−1x6.（单选题，4分）“a＞b＞c”是“ab＞ac”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，4分）已知等比数列{a n}的公比为q．若{a n}为递增数列且a2＜0，则（）A.q＜-1B.-1＜q＜0C.0＜q＜1D.q＞18.（单选题，4分）将函数y=sin2x的图像向右平移π6个单位，得到函数f（x）的图像，则下列说法正确的是（）A. f(x)=sin(2x−π6)B. x=−π3是函数f（x）的图像的一条对称轴C.f（x）在[−π6，π3]上是减函数D.f（x）在[−π12，5π12]上是增函数9.（单选题，4分）下列不等关系中正确的是（）A. ln2+ln3＞2ln52B. 13＜ln3−ln2＜12C.ln2•ln3＞1D. ln3ln2＜3210.（单选题，4分）如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m时，下列描述正确的是（）（参考数据：7π≈21.991）A.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mB.点A在轮子的右下位置，距离地面约为0.15mC.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.26mD.点A在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m11.（填空题，5分）已知S n是数列{a n}的前n项和．若S n=2n，则a2=___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)={(x+1)e x，x＜1，x2−2x，x≥1，则函数f（x）的零点个数为 ___ ．13.（填空题，5分）已知△ABC 中，| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∠BAC=120°，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 14.（填空题，5分）已知命题p ：若△ABC 满足sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形．说明p 为假命题的一组角为A=___ ，B=___ ．15.（填空题，5分）某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合 Q (t )=10e te t +9 ．给出下列四个结论：① 该生物种群的数量不会超过10；② 该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；③ 该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；④ 该生物种群数量的增长速度最大的时间t 0∈（2，3）．根据上述关系，其中所有正确结论的序号是 ___ ．16.（问答题，14分）已知等差数列{a n }满足a n+1+a n =4n+2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n -a n }是公比为3的等比数列，且b 1=3，求数列{b n }的前n 项和S n ．17.（问答题，14分）已知函数 f (x )=2cos (x −π4)cos (x +π4) ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）设函数g （x ）=f （x ）-cosx ，求g （x ）的值域．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=lnx ，g （x ）= e x ．（Ⅰ）直接写出曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）的公共点坐标，并求曲线y=f （x ）在公共点处的切线方程；（Ⅱ）已知直线x=a 分别交曲线y=f （x ）和y=g （x ）于点A ，B ．当a （0，e ）时，设△OAB 的面积为S （a ），其中O 是坐标原点，求S （a ）的最大值．19.（问答题，14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB= √3 bcosA．（Ⅰ）求角A大小；（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积．第① 组条件：a= √19，c=5；，c=4 √2；第② 组条件：cosC= 13第③ 组条件：AB边上的高h= √3，a=3．20.（问答题，14分）设函数f（x）=x（x2-3x+a），a∈R．（Ⅰ）当a=-9时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数在区间（0，2）内存在两个极值点x1，x2，且满足|f（x1）-f（x2）|＞|f（x1）+f （x2）|，请直接写出a的取值范围．21.（问答题，15分）设正整数n≥3，集合A={a|a=（x1，x2，...，x n），x k∈R，k=1，2，...，n}，对应集合A中的任意元素a=（x1，x2，...x n）和b=（y1，y2，...y n），及实数λ，定义：当且仅当x k=y k（k=1，2，...，n）时a=b；a+b=（x1+y1，x2+y2，...x n+y n）；λa=（λx1，λx2，...λx n）．若A的子集B={a1，a2，a3}满足：当且仅当λ1=λ2=λ3=0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3=（0，0，...，0），则称B为A的完美子集．（Ⅰ）当n=3时，已知集合B1={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2={（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当n=3时，已知集合B={（2m，m，m-1），（m，2m，m-1），（m，m-1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；（Ⅲ）已知集合B={a1，a2，a3}⊆A，其中a i=（x i1，x i2，...x in）（i=1，2，3）．若2|x ii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|对任意i=1，2，3都成立，判断B是否一定为A的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．2021-2022学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）在复平面内，复数z=i（2+i）对应的点的坐标为（）A.（1，2）B.（-1，2）C.（2，1）D.（2，-1）【正确答案】：B【解析】：根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵z=i（2+i）=-1+2i，∴复数z对应的点的坐标为（-1，2）．故选：B．【点评】：本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.（单选题，4分）已知向量a⃗ =（x，2），b⃗⃗ =（-1，1），若a⃗ || b⃗⃗，则x=（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：D【解析】：根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．【解答】：解：∵向量a⃗ =（x，2），b⃗⃗ =（-1，1），且a⃗ || b⃗⃗，∴1×x-2×（-1）=0，解得x=-2．故选：D．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．3.（单选题，4分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1}，∁U（A∪B）={3}，则集合B可能是（）A.{4}B.{1，4}C.{2，4}D.{1，2，3}【正确答案】：C【解析】：由已知结合补集的性质可求A∪B，然后结合补集运算进行判断．【解答】：解：因为∁U（A∪B）={3}，所以A∪B={1，2，4}，因为A={1}，所以2∈B，4∈B，3∉B，故B={2，4}或B={1，2，4}．故选：C．【点评】：本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．4.（单选题，4分）已知命题p：∀a∈（0，+∞），a+ 1＞2，则￢p是（）a＞2A.∃a∈（0，+∞），a+ 1aB.∃a∉（0，+∞），a+ 1＞2aC.∃a∈（0，+∞），a+ 1≤2aD.∃a∉（0，+∞），a+ 1≤2a【正确答案】：C【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．≤2，【解答】：解：命题为全称命题，则命题的否定为∃a∈（0，+∞），a+ 1a故选：C．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.（单选题，4分）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）A.y=sinxB.y=x|x|D. y =x −1x【正确答案】：B【解析】：由常见函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】：解：A ，y=sinx 是奇函数，但在定义域上不单调，故A 不符合题意；；B ，y=x|x|= {x 2，x ≥0−x 2，x ＜0是奇函数，且在R 上单调递增，故B 符合题意； C ，y=tanx 是奇函数，但在定义域上不单调，故C 不符合题意；D ，y=x- 1x 为奇函数，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，故D 不符合题意．故选：B ．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查常见函数的性质，属于基础题．6.（单选题，4分）“a ＞b ＞c”是“ab ＞ac”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D【解析】：根据充分条件和必要条件的定义，分别进行判断，即可求解．【解答】：解：当a ＞b ＞c ，则b-c ＞0，当a ＜0，a （b-c ）＜0，即ab ＜ac ，故“a ＞b ＞c”是“ab ＞ac”的不充分条件，当ab ＞ac 时，则a （b-c ）＞0，当a ＜0时，b-c ＜0，即b ＜c ，故“a ＞b ＞c”是“ab ＞ac”的不必要条件，综上所述，“a ＞b ＞c”是“ab ＞ac”的即不充分也不必要条件．故选：D ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．7.（单选题，4分）已知等比数列{a n }的公比为q ．若{a n }为递增数列且a 2＜0，则（ ）B.-1＜q＜0C.0＜q＜1D.q＞1【正确答案】：C【解析】：根据题意，由等比数列的通项公式可得a3=a2q，进而可得a3-a2=a2q-q=a2（q-1）＞0，分析q的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，等比数列{a n}为递增数列且a2＜0，则q＞0，则有a3=a2q＜0，等比数列{a n}为递增数列，则a3-a2=a2q-q=a2（q-1）＞0，必有q＜1，综合可得：0＜q＜1，故选：C．【点评】：本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．8.（单选题，4分）将函数y=sin2x的图像向右平移π6个单位，得到函数f（x）的图像，则下列说法正确的是（）A. f(x)=sin(2x−π6)B. x=−π3是函数f（x）的图像的一条对称轴C.f（x）在[−π6，π3]上是减函数D.f（x）在[−π12，5π12]上是增函数【正确答案】：D【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得到f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．【解答】：解：将函数y=sin2x的图像向右平移π6个单位，得到函数f（x）=sin（2x- π3）的图像，故A错误；令x=- π3，求得f（x）=0，可得f（x）的图像关于点（- π3，0）对称，故B错误；在[−π6，π3]上，2x- π3∈[- 2π3，π3]，函数f（x）没有单调性，故C错误；在[−π12，5π12]上，2x- π3∈[- π2，π2]，函数f（x）单调递增，故D错误，故选：D ．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图像变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．9.（单选题，4分）下列不等关系中正确的是（ ）A. ln2+ln3＞2ln 52B. 13＜ln3−ln2＜12C.ln2•ln3＞1D. ln3ln2＜32 【正确答案】：B【解析】：通过对数运算，利用对数函数的单调性，可判断出正确答案．【解答】：解：对于A ，ln2+ln3=ln6，2ln 52 =ln 254 ，∵y=lnx 在（0，+∞）上为增函数，6 ＜254 ，所以ln 254 ＞ln6，故A 错误，对于B ，ln3-ln2=ln 32 ，∵e 13 ＜ 32 ＜e 12 ，∴ 13 ＜ln3-ln2＜ 12 ，故B 正确， 对于C ，∵ln2＞0，ln3＞0，∴ln2•ln3＜（ln2+ln32 ）2＜1，故C 错误， 对于D ， ln3ln2 =log 23＞log 2 √8 = 32 ，故D 错误，故选：B ．【点评】：本题考查了对数值大小的比较，熟练掌握对数运算及对数函数的单调性是关键，属于基础题．10.（单选题，4分）如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m ．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m 时，下列描述正确的是（ ）（参考数据：7π≈21.991）A.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mB.点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.15mC.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.26mD.点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m【正确答案】：A【解析】：由已知求出轮子滚动的水平距离为2.2m时点A转到的角的大小，即可求得答案．【解答】：解：已知轮子的半径r=0.3m，轮子滚动一周的水平距离为2πr=0.6πm，又7π≈21.991，∴0.7π≈2.2，∴0.7π-0.6π=0.1π，又0.1π0.6π=16周，∴ 16×2π=13π，故A在轮子左下位置，可得轮子距地面距离h=0.3-0.3cos60 °=0.3×12=0.15 m．∴点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m．故选：A．【点评】：本题考查三角函数模型的应用，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．11.（填空题，5分）已知S n是数列{a n}的前n项和．若S n=2n，则a2=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用数列通项与前n项和之间的关系即可即可．【解答】：解：∵S n=2n，∴a1=S1=2，a1+a2=S2=4，∴a2=2，故答案为：2．【点评】：本题考查数列通项与前n项和之间的关系，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数f(x)={(x+1)e x，x＜1，x2−2x，x≥1，则函数f（x）的零点个数为 ___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：分段求解对应的根，即可求解结论．【解答】：解：∵函数f(x)={(x+1)e x，x＜1，x2−2x，x≥1，∴当x＜1时，f（x）=（x+1）e x=0⇒x=-1成立，当x≥1时，f（x）=x2-2x=0⇒x=2成立，（0舍）；故函数f（x）的零点有-1和2两个，故答案为：2．【点评】：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，属于基础题．13.（填空题，5分）已知△ABC 中，| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∠BAC=120°，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]-1; [2]-5【解析】：由平面向量数量积的运算法则，可求得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），展开运算，即可得解．【解答】：解： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•| AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAC=2×1×cos120°=-1； AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=-1-4=-5． 故答案为：-1，-5．【点评】：本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的减法和数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知命题p ：若△ABC 满足sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形．说明p 为假命题的一组角为A=___ ，B=___ ． 【正确答案】：[1]120°; [2]30°【解析】：若A=120°，B=30°，满足条件sinA=cosB ，此时三角形不是直角三角形，即可得解．【解答】：解：若A=120°，B=30°，则sinA=cosB ，此时三角形不是直角三角形，说明p 为假命题． 故答案为：120°，30°．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用，属于基础题．15.（填空题，5分）某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合 Q (t )=10e te t +9．给出下列四个结论：① 该生物种群的数量不会超过10；② 该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③ 该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④ 该生物种群数量的增长速度最大的时间t 0∈（2，3）． 根据上述关系，其中所有正确结论的序号是 ___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：由分子常数化可得Q（t）的范围，可判断① ；求得Q（t）的导数，可得单调区间和极值、最值，可判断② ③ ④ ．【解答】：解：由Q(t)=10e te t+9 = 101+9e−t∈[1，10），可得该生物种群的数量不会超过10，故① 正确；Q(t)=10e te t+9的导数为Q′（t）= 90e t(e t+9)2= 90e t+81e−t+18，可得该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，故③ 错误；由f（t）=e t+81e-t，f′（t）=e t-81e-t，由f′（t）=0，解得t=ln9，可得0≤t≤ln9时，f′（t）≤0，f（t）递减；t＞ln9时，f′（t）＞0，f（t）递增，所以当t=ln9时，f（t）取得极小值，且为最小值，此时Q′（t）取得最大值．则该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小，故② 正确；该生物种群数量的增长速度最大的时间t0=ln9，由ln9=2ln3∈（2，3），故④ 正确．故答案为：① ② ④ ．【点评】：本题考查命题的真假判断，以及导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．16.（问答题，14分）已知等差数列{a n}满足a n+1+a n=4n+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n-a n}是公比为3的等比数列，且b1=3，求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和恒等式的性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；（Ⅱ）由等比数列的通项公式可得b n-a n，进而得到b n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a n+1+a n=4n+2，可得a1+nd+a1+（n-1）d=2nd+（2a1-d）=4n+2，即有2d=4，2a1-d=2，解得d=2，a1=2，则a n=2+2（n-1）=2n；（Ⅱ）若数列{b n-a n}是公比为3的等比数列，且b1=3，则b n-a n=3n-1，由（Ⅰ）可得b n=a n+3n-1=2n+3n-1，所以S n=（2+4+...+2n）+（1+3+9+...+3n-1）= 12 n（2+2n）+ 1−3n1−3=n+n2+ 3n2 - 12．【点评】：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.（问答题，14分）已知函数f(x)=2cos(x−π4)cos(x+π4)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-cosx，求g（x）的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意利用查三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论．（Ⅱ）化简g（x）的解析式，根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得g（x）的值域．【解答】：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=2cos(x−π4)cos(x+π4) =2（√22cosx+ √22sinx）•（√22cosx- √22sinx）=cos2x-sin2x=cos2x，故它的最小正周期为2π2=π．（Ⅱ）∵函数g（x）=f（x）-cosx=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1=2[ (cosx−14)2- 116]-1=2(cosx−14)2- 98，故当cosx= 14时，g（x）取得最小值为- 98，当cosx=-1时，g（x）取得最大值为2，故g（x）的值域为[- 98，2]．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的性质，二次函数的性质应用，属于中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）= ex．（Ⅰ）直接写出曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公共点坐标，并求曲线y=f（x）在公共点处的切线方程；（Ⅱ）已知直线x=a分别交曲线y=f（x）和y=g（x）于点A，B．当a（0，e）时，设△OAB 的面积为S（a），其中O是坐标原点，求S（a）的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求得f（x）和g（x）的交点，求导，根据导数的几何意义，求得曲线y=f （x）在公共点处的切线方程；（Ⅱ）根据三角形的面积公式，表示S（a）的表达式，求导根据导数与函数单调性的关系，即可求得S（a）的最大值．【解答】：解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx与g(x)=ex 公共点为（e，1），因为f′(x)=1x，所以f′(e)=1e，所以切线的方程为y−1=1e (x−e)，即y=xe．曲线y=f（x）在公共点处的切线方程y=xe；（Ⅱ）由题意可知，S(a)=12×a×|AB|=12×a×|ea−lna|，a∈（0，e），因为a∈（0，e）时，ea ＞1，lna＜1，所以ea＞lna，所以S(a)=e2−12alna，a∈（0，e），因此S′(a)=−12(1+lna)，令S′（a）=0，得a=1e，所以S′（a），S（a）的情况如下：因此，S（a）的极大值，也是最大值为S(1e )=e2+12e．所以，S（a）的最大值e2+12e．【点评】：本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性和最值，考查转化思想，属于中档题．19.（问答题，14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB= √3 bcosA．（Ⅰ）求角A大小；（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积．第① 组条件：a= √19，c=5；第② 组条件：cosC= 13，c=4 √2；第③ 组条件：AB边上的高h= √3，a=3．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理花间条件可得tanA，进而求得A；（Ⅱ）选① ：由余弦定理可得b=2或3，不符合题意；选② ：先求得sinC，结合两角和的正弦公式求得sinB，再由正弦定理求得a，进而可求得面积；选③ ：先求出b，由余弦定理求得c，进而求得面积．【解答】：解：（Ⅰ）因为asinB= √3 bcosA，由正弦定理可得sinAsinB= √3 sinBcosA，又因为B∈（0，π），所以sinB≠0，则sinA= √3 cosA，即tanA= √3，所以A= π3；（Ⅱ）选① ：由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即19=b²+25-5b，解得b=2或3，不符合题意；选② ：因为C∈（0，π），cosC= 13，所以sinC= 2√23，由正弦定理asinA =csinC可得a= csinAsinC= 4√2×√322√23=3 √3，则sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC= √32 × 13 + 12 × 2√23 = 2√2+√36， 此时△ABC 的面积S= 12 acsinB= 12 ×3 √3 ×4 √2 ×2√2+√36=4 √3 +3 √2 ； 选 ③ ：因为AB 边上的高h= √3 ，所以bsin π3 = √3 ，则b= √3√32=2，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA ，即9=4+c²-2c ，解得c=1+ √6 ，c=1- √6 （舍去）， 故△ABC 唯一，符合题意，此时△ABC 的面积S= 12 bcsinA= 12 ×2×（1+ √6 ）× √32 = √3+3√22．【点评】：本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式，属于中档题． 20.（问答题，14分）设函数f （x ）=x （x 2-3x+a ），a∈R ． （Ⅰ）当a=-9时，求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（1，2）上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数在区间（0，2）内存在两个极值点x 1，x 2，且满足|f （x 1）-f （x 2）|＞|f （x 1）+f （x 2）|，请直接写出a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=-9，求得f （x ）的解析式，利用导数与函数单调性的关系，即可求得f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）由题意可知，f′（x ）≤0在（1，2）上恒成立，方法一：利用二次函数的性质，即可求得a 的取值范围；方法二：根据题意，分离参数，利用二次函数的性质，即可求得a 的取值范围．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，利用韦达定理可得x 1+x 2和x 1x 2，分别求得f （x 1）+f （x 2）和f （x 1）-f （x 2），代入，即可求得a 取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为R ，当a=-9，则f （x ）=x 3-3x 2-9x ，求导，f′（x ）=3x 2-6x-9=3（x-3）（x+1）， 令f′（x ）=0，解得x=3或x=-1，当x 变化时，f （x ）和f′（x ）变化情况如下：（Ⅱ）方法一：函数f（x）=x3-3x2+ax，对函数f（x）求导，有f′（x）=3x2-6x+a，若函数f（x）在区间（1，2）为减函数，则等价于f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，所以f′（x）=3（x-1）2+a-3，所以f′（x）∈（a-3，a），所以a≤0，因此a的取值范围（-∞，0]；方法二：由题意可知，函数f（x）在区间（1，2）为减函数，则等价于f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，所以a≤-3x2+6x在（1，2）上恒成立，由函数y=-3x2+6x在（1，2）单调递减，所以a≤0，因此a的取值范围（-∞，0]；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数f（x）的导函数为：f′（x）=3x2-6x+a，由x1，x2为函数f（x）在区间（0，2）上的极值点，所以，利用根与系数的关系有{x1+x2=2x1x2=a3，且0＜x1＜2，0＜x2＜2，于是有，0＜x1x2＜4，0＜a3＜4，另外，Δ=62-4×3×a＞0，解得a＜3，即a的取值范围为（0，3）；对于f（x1）+f（x2），有f(x1)+f(x2)=x13−3x12+ax1+x23−3x22+ax2 = (x13+x23)−3(x12+x22)+a(x1+x2)= (x1+x2)(x12−x1x2+x22)−3(x12+x22)+a(x1+x2)= (x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−3[(x1+x2)2−2x1x2]+a(x1+x2)将x1+x2和x1x2的值代入，并整理，得f(x1)+f(x2)=2(22−3×a3)−3(22−2×a3)+2a= 2×(4−a)−3×(4−2a3)+2a =8-2a-12+2a+2a=2a-4，对于f(x1)−f(x2)=x13−3x12+ax1−x23+3x22−ax2= (x13−x23)−3(x12−x22)+a(x1−x2)= (x1−x2)[(x1+x2)2−x1x2−3(x1+x2)+a]，其中x1−x2=√(x1+x2)2−4x1x2 = √22−4×a3=2√33√3−a，将x1+x2和x1x2的值代入，并整理，f(x1)−f(x2)=2√33√3−a(2a3−2)=4√39(3−a)32，由|f（x1）-f（x2）|＞|f（x1）+f（x2）|，(3−a)32|，即3√3|a−2|＞2|(3−a)32|，所以|2a−4|＞|4√39两边平方，有27（a-2）2＞4（3-a）3，化简，整理得9a2-4a3＜0，即a2（9-4a）＜0，，由a2＞0，所以a＜94)．综上可知，a的取值范围为(0，94【点评】：本题考查导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性，二次函数的根的分布问题，立方和，立方差公式，韦达定理的应用，考查转化思想，属于难题．21.（问答题，15分）设正整数n≥3，集合A={a|a=（x1，x2，...，x n），x k∈R，k=1，2，...，n}，对应集合A中的任意元素a=（x1，x2，...x n）和b=（y1，y2，...y n），及实数λ，定义：当且仅当x k=y k（k=1，2，...，n）时a=b；a+b=（x1+y1，x2+y2，...x n+y n）；λa=（λx1，λx2，...λx n）．若A的子集B={a1，a2，a3}满足：当且仅当λ1=λ2=λ3=0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3=（0，0，...，0），则称B为A的完美子集．（Ⅰ）当n=3时，已知集合B1={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}，B2={（1，2，3），（2，3，4），（4，5，6）}，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当n=3时，已知集合B={（2m，m，m-1），（m，2m，m-1），（m，m-1，2m）}．若B不是A的完美子集，求m的值；（Ⅲ）已知集合B={a1，a2，a3}⊆A，其中a i=（x i1，x i2，...x in）（i=1，2，3）．若2|x ii|＞|x1i|+|x2i|+|x3i|对任意i=1，2，3都成立，判断B是否一定为A的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据完美子集的定义，设λ1a1+λ2a2+λ3a3=（0，0，0），列方程组求得λ1，λ2，λ3的值即可判断；（Ⅱ）由题意可得：存在（λ1，λ2，λ3）≠（0，0，0），使得λ1a1+λ2a2+λ3a3=（0，0，0），，列出方程组，解方程组求出m的值即可求解；（Ⅲ）假设存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3满足λ1a1+λ2a2+λ3a3=（0，0，0），不妨设|λ1|≥|λ2|≥|λ3|，则λ1≠0，由λ1x11+λ2x21+λ3x31=0结合已知条件得出矛盾即可求解．【解答】：解（Ⅰ）设λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3=（0，0，0），即λ1=λ2=λ3=0，所以B 1是完美子集，设λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3=（0，0，0），可得 {λ1+2λ2+4λ3=02λ1+3λ2+5λ3=03λ1+4λ2+6λ3=0 ，解得：λ1=2，λ2=-3，λ3=1所以B 2不是完美子集；（Ⅱ）因为集合B={（2m ，m ，m-1），（m ，2m ，m-1），（m ，m-1，2m ）}不是A 的完美子集，所以存在（λ1，λ2，λ3）≠（0，0，0），使得λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3=（0，0，0），即 {2mλ1+mλ2+mλ3=0mλ1+2mλ2+(m −1)λ3=0(m −1)λ1+(m −1)λ2+2mλ3=0，由集合的互异性可得：2m≠m 且m≠m -1且m-1≠2m ，所以m≠0且m≠-1， 所以2λ1+λ2+λ3=0，可得λ3=-2λ1-λ2，（λ1，λ2）≠（0，0）， 所以 {mλ1+2mλ2+(m −1)(−2λ1−λ2)=0(m −1)λ1+(m −1)λ2+2m (−2λ1−λ2)=0 ，即 {(−m +2)λ1+(m +1)λ2=0(−3m −1)λ1+(−m −1)λ2=0 ，所以（-4m+1）λ1=0， 所以m= 14 或λ1=0， 当m= 14 时， {2λ1+λ2+λ3=0λ1+2λ2−3λ3=03λ1+3λ2−2λ3=0，解得： {λ1=5λ2=−7λ3=−3 ，所以存在 {λ1=5λ2=−7λ3=−3 使得λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3=（0，0，0），当λ1=0时，因为m≠-1，所以λ2=0，λ3=0，不符合题意， 所以m= 14 ；（Ⅲ）B 一定是A 的完美子集，假设存在不全为0的实数λ1、λ2、λ3满足λ1a 1+λ2a 2+λ3a 3=（0，0，0）， 不妨设|λ1|≥|λ2|≥|λ3|，则λ1≠0，否则与假设矛盾， 由λ1x 11+λ2x 21+λ3x 31=0，可得x 11= −λ2λ1x 21 - λ3λ1x 31 ， 所以|x 11|≤ |λ2λ1||x 21| + |λ3λ1||x 31| ≤|x 21|+|x 31|与2|x 11|＞|x 11|+|x 21|+|x 31|即|x 11|＞|x 11|+|x 21|+|x 31|矛盾，所以假设不成立， 所以λ1=0，所以λ2=λ3=0，所以B一定是A的完美子集．【点评】：此题属于新概念题，主要是要理解所给的定义，属于难题．。

一、选择题 本题共 8小题，每个小题5分，共40分。

1．已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3..命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 4.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （ ）5.已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}|<-1>2x x x或,则(10)>0x f 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x6.函数||()1x f x e =-的图象大致是（）7. 已知不等式组202020x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为（ ）A ．-1 B.C.2D.128.已知函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[01]x ∈，时，()f x x =，若在区间(11]-，上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0)2，B ．1[)2+∞，C ．1[0)3，D ．1(0]2，二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为___________. 10. 在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c =11. 已知﹛﹜等差数列为其前n 项和.若=，，则= 12.函数y =+______________13.如图，已知点1(0,)4A ,点000(,)(0)P x y x >在曲线阴影部分面积与△OAP 面积相等时，则0x = ．14、定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数．给出如下命题： ①函数()2g x =-是函数ln , 0,()1, 0x x f x x >⎧=⎨⎩≤的一个承托函数； ②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；③若函数()g x ax =是函数()e xf x =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,e]； ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数；其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题，本大题共6小题共80分，解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。

2014-2015学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题只有一项符合题意，请将正确答案）1．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜12．（5分）已知实数1，m，9依次构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．D．或23．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β4．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．5．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定7．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．10．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（）A．B．p2C．2p2D．4p211．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=，则函数H（x）=|xe x|﹣f（x）在区间[﹣5，1]上的零点个数为（）A．4 B．8 C．6 D．10二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在横线上）13．（5分）已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．14．（5分）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是．15．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b ＞0）的最大值为1，则+的最小值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．（Ⅰ）求sin∠BAD的值；（Ⅱ）求AC边的长．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．19．（12分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．20．（12分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程；（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC 的面积最小时，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题只有一项符合题意，请将正确答案）1．（5分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）A．﹣1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞﹣1 D．﹣1＜x＜1【解答】解：∵集合A={x|x＞﹣1}，B={x|x≥1}，又∵“x∈A且x∉B”，∴﹣1＜x＜1；又由﹣1＜x＜1时，满足x∈A且x∉B．故选：D．2．（5分）已知实数1，m，9依次构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．D．或2【解答】解：∵实数1、m、9依次构成一个等比数列，∴m2=1×9，解之得m=±3①当m=3时，圆锥曲线的方程为，表示椭圆a2=3，b2=2，可得a=，c==∴椭圆的离心率e==②当m=﹣3时，圆锥曲线的方程为，表示双曲线a2=1，b2=3，可得a=1，c==2∴双曲线的离心率e==2故选：C．3．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊂α，n∥m⇒n∥α B．m⊂α，n⊥m⇒n⊥αC．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β【解答】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．故选：D．4．（5分）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选：C．5．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．6．（5分）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选：A．7．（5分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即h=13﹣，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．故选：A．8．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．9．（5分）函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．【解答】解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a故选：D．10．（5分）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（）A．B．p2C．2p2D．4p2【解答】解：法一：取倾斜角为：450，600，900，经计算可知，当倾斜角为900时，△ABQ的面积的最小，此时AB=2p，又焦点到准线的距离=p，此时三角形的面积最小为p2故选B．法二：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．，由于AB是通径时，AB最小，故选B．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．12．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=，则函数H（x）=|xe x|﹣f（x）在区间[﹣5，1]上的零点个数为（）A．4 B．8 C．6 D．10【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），∴函数是偶函数，关于x=1对称，∵函数f（x）=xe x的定义域为R，f′（x）=（xe x）′=x′e x+x（e x）′=e x+xe x令f′（x）=e x+xe x=e x（1+x）=0，解得：x=﹣1．列表：由表可知函数f（x）=xe x的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）．当x=﹣1时，函数f（x）=xe x的极小值为f（﹣1）=﹣．y=|xe x|，在x=﹣1时取得极大值：，x∈（0，+∞）是增函数，x＜0时有5个交点，x＞0时有1个交点．共有6个交点故选：C．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在横线上）13．（5分）已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【解答】解：∵，3s in2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．14．（5分）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是．【解答】解：由双曲线C1：x2﹣=1可得a1=1，b1=，c=2．设椭圆C2的方程为=1，（a＞b＞0）．则|F1A|﹣|F2A|=2a1=2，|F1A|+|F2A|=2a，∴2|F1A|=2a+2∵|F1F2|=|F1A|=2c=4，∴2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率==．故答案为：．15．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b ＞0）的最大值为1，则+的最小值为8．【解答】解：由约束条件作可行域如图．由图可知，使目标函数数z=ax+2by（a＞0，b＞0）取得最大值的点为B（1，1），∴a+2b=1，则+（当且仅当a=2b时取等号），由，解得：．∴+的最小值为．故答案为：8．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为[0，] ．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故答案为：[0，]．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．（Ⅰ）求sin∠BAD的值；（Ⅱ）求AC边的长．【解答】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=，所以cosB=…（2分）又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=…（4分）所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=×﹣（﹣）×=…（7分）（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，解得BD=…（10分）故BC=15，CD=从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+225﹣2×3××（﹣）=，所以AC=…（14分）18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图则Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）设，0＜λ＜1，则M（﹣2λ，，），平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），由，得=（，0，），∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°，∴cos60°=|cos＜＞|=||=，解得，∴=，∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．19．（12分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（6分）（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）20．（12分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程；（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC 的面积最小时，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…（4分）（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时|AB|=2．…（5分）（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程得，所以|OA|2=．…（7分）由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC 的方程为，由解得，=，，…（9分）S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，由于，所以，…（11分）当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x ≤1时，﹣2x +3≤2，即≤x ≤1．当1＜x ≤2时，1≤2，即 1＜x ≤2． 当x ＞2时，2x ﹣3≤2，即2＜x ≤．综上所述，原不等式的解集为{x |≤x≤}．（Ⅱ）当a ＞0时，f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣1|﹣|ax ﹣a |=|ax ﹣1|﹣|a ﹣ax |≤|ax ﹣1+a ﹣ax |=|a ﹣1|，所以，2a ﹣3≥|a ﹣1|，解得a ≥2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则yxo[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。