变分原理与有限元素法

1 v H E (G)
u v u v 其中 (u, v) x x y y dxdy auvds 2 G 1 HE (G) {u ( x, y ) | u ( x, y ) H 1 (G), u ( x, y) 1 0}
（3）虚功原理
d du Lu p qu f x (a, b) 对两点边值问题： dx dx u (a) 0, u(b) 0 1 设 v HE ，以v乘方程两端，沿[a,b]积分， 并利用 v(a) 0, v(b) 0 ，得变分方程 1 (u, v) ( f , v) 0 v H E b du dv 其中 (u, v) [ p quv]dx a dx dx 虚功原理 2 u C 设 * ，则 u*是边值问题解的充要条件是： 1 u* H E ，且满足变分方程： 1 v H 对任意 (u* , v) ( f , v) 0 E 在力学里， (u, v) ( f , v)表示虚功
③ 变分原理（变分问题与边值问题的等价性） 设 f C 0 (I ) ， u* C 2 是边值问题
d du Lu p qu f dx dx u (a) 0, u(b) 0 x ( a, b)
的解，则 u* 使 J(u) 达到极小值； 1 反之，若 u C 2 H E 使 J(u) 达到极小值， 则 u* 是边值问题的解。 1 其中 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2 u (a) 0是强制边界条件，u(b) 0 是自然边 界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求 解边值问题时很重要。
（2）两点边值问题的变分原理 考察二阶常微分方程边值问题： d du Lu p qu f x (a, b) dx dx u (a) 0 u(b) 0 ① 构造泛函 1 J (u ) ( Lu, u ) ( f , u ) 2 b b 1 b d du 2 p udx qu dx fudx a a 2 a dx dx 1 b ( pu2 qu 2 2 fu)dx 2 a b du dv 引入泛函算子 (u, v) [ p quv]dx a dx dx 1 则 J (u ) (u, u ) ( f , u ) 2

一类参考
第五章 偏微分方程的有限元法
计 有限元法--加权余数法
算
物
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余
理 数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程，
学 因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理
场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存 在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等 式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。
理
有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互
学 连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推
导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不
是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适
应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结 构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用 于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 5.1.1 泛函的定义
算
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的
物 “函数”。
理 学
得
1
y2

1 sin 2
t
y

1
c1 y2
c1 sin2 t
而
dx

dy y

2c1 sin t cos tdt cos t

的系数矩阵 K是对称正定的三对角矩阵，因此可采用追赶法 求出 u在节点上的近似值 u1,u2,,un.
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1 基于Ritz法的有限元方程 7.2 基于Galerkin法的有限元方程
这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：
K(i)u(i) F(i)
第二步：总体合成.总体合成就是将单元上的有限元特征 式进行累加，合成为总体有限元方程. 这一过程实际上是将 单元有限元特征式中的系数矩阵（称为单元刚度矩阵）逐个 累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右 端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关 于的线性代数方程组．为此，记
于是有 u(i) (ui1,ui)TB (i)u
从而式(7.16)右端第一个和式为
1 nu iT K iu i 1 nu T [ ( B i) T K iB i] u 1 u T K u ，
2 i 1
2 i 1
2
其中
（未标明的元素均为0）这就是总刚度矩阵． 对式(7.16)右端第二个和式，有
其中，p x C 1 a , b , p 0 , q C a , b , q 0 , f C a , b
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3
1. 写出Ritz形式的变分问题
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：
求
u*
H
1，使
E
其中，
Ju*m uH in1 EJu J u 1 a u ,u f,u
u j
便得到确定 u1,u2,
,un的线性代数方程组

2-2 几何方程
位移与应变之间的几何方程为
x
u x
， y
v y
， z
w z
xy
yx
u y
v， yz
zy
w v y z
对于平面问题，几何方程只有三个：
x
u x
， y
v y
， xy
yx
u y
v x
2-3 广义虎克定律
x 2
x
y 2
y
z
用变分法求解微分方程，首先要找到相 应的泛函。
对于有些问题相应的泛函尚未找到，或 者根本不存在相应的泛函。在这种情况 下，就无法用变分法求解。
加权余量法（也称加权余值法）是求微 分方程近似解的一种有效方法。
设有微分方程 G(x,y,y')0
假设有一个满足边界条件和具有一定连续程度
的试探函数 （~y其中含有若干待定系数）使
因为只需要满足本质性边界条件，而不 必考虑自然边界条件（第二、第三类边 界条件自动满足），试探函数的选取是 比较容易的。
试探函数阶次提高，解的精度也提高。
当网格特别细密时，相邻节点之间的变 化就很小，因此单元内分布假设的实际 细节变得不再重要。离散化方程的解将 趋近于相应微分方程的精确解。
单元形状
理复杂区域、复杂边界条件。 而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性
问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比 有限元法好。 有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使 变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。
FEM的特点
有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续 体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数 来描述它的物理特性。
a
实现极值的必要条件是函数y(x)满足一维 欧拉方程