2.2 等差数列第1课时等差数列学习目标1.理解等差数列的概念.(数学抽象)2.理解等差中项的概念.(数学抽象)3.掌握等差数列的通项公式及应用.(数学抽象、数学运算)4.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.等差数列的定义是什么?2.等差中项的含义是什么?3.等差数列的通项公式是什么?1.等差数列(1)定义.条件一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示(2)作用:①证明一个数列是否是等差数列;②推出等差数列的通项公式和性质.(1)为什么强调“从第2项起”?提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与它的前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式:A= .3.等差数列的表示前提等差数列{a n},首项是a1,公差为d通项公式a n=a1+(n-1)d(n∈N*)递推公式a n+1-a n=d(n∈N*)等差数列a n=pn+q(n∈N*)的图象与一次型函数y=px+q的图象有什么关系?提示:等差数列a n=pn+q的图象是一次型函数y=px+q图象中横坐标为正整数点的集合.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. ((2)常数列也是等差数列. ((3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. ((4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. ( 提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2)√.因为从第2项起每一项与它的前一项的差是同一个常数0.(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.2.下列数列是等差数列的是(A.,,,B.1,,,C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0〖解析〗选D.因为-≠-,故排除A;因为-1≠-,故排除B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.3.(教材二次开发:例题改编)等差数列1,-3,-7,…的通项公式为,a20= . 〖解析〗因为d=-3-1=-4,a1=1,所以a n=1-4(n-1)=-4n+5.所以a20=-80+5=-75.答案:a n=-4n+5 -75关键能力·合作学习类型一等差数列的定义及应用(数学抽象)〖典例〗1.已知数列{a n}满足a n+1-a n=2,n∈N*,且a3=3,则a1= .2.数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2,b n=a n+1-a n.证明:{b n}是等差数列.〖思路导引〗1.由a n和a n+1的关系判断数列{a n}是等差数列及其公差,由第三项求第一项; 2.依据等差数列的定义,由题目条件推导b n+1-b n为常数.〖解析〗1.因为a n+1-a n=2,n∈N*,所以数列{a n}是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.答案:-12.由a n+2=2a n+1-a n+2,得a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.所以b n+1-b n=2,又b1=a2-a1=1,所以{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.将本例2的条件“a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2,b n=a n+1-a n.”改为“a1=,a n a n-1=a n-1-a n(n≥2),b n=”如何解答?〖解析〗因为a n a n-1=a n-1-a n(n≥2),所以-=1(n≥2),又因为b n=,所以b n+1-b n=1(n∈N*)且b1==2.所以数列{b n}是等差数列,其首项为2,公差为1.定义法判定数列{a n}是等差数列的步骤(1)作差a n+1-a n;(2)对差式进行变形;(3)当a n+1-a n是一个与n无关的常数时,数列{a n}是等差数列;当a n+1-a n不是常数,是与n有关的代数式时,数列{a n}不是等差数列.1.若数列{a n}满足3a n+1=3a n+1,则数列{a n}是(A.公差为1的等差数列B.公差为的等差数列C.公差为-的等差数列D.不是等差数列〖解析〗选B.由3a n+1=3a n+1得3a n+1-3a n=1,即a n+1-a n=.所以数列{a n}是公差为的等差数列.2.若数列{a n}的通项公式为a n=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{a n}为等差数列.〖证明〗因为a n=10+lg2n=10+nlg2,所以a n+1=10+(n+1)lg2.所以a n+1-a n=〖10+(n+1)lg2〗-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以数列{a n}为等差数列.〖补偿训练〗1.以下选项中构不成等差数列的是(A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3D.a-1,a+1,a+3〖解析〗选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.2.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),b n=(n∈N*).求证:数列{b n}是等差数列,并求出首项和公差.〖证明〗方法一:因为=,所以=+3,所以-=3,又因为b n=(n∈N*),所以b n+1-b n=3(n∈N*),且b1==.所以数列{b n}是等差数列,首项为,公差为3.方法二:因为b n=,且a n+1=所以b n+1===+3=b n+3,所以b n+1-b n=3(n∈N*),b1==.所以数列{b n}是等差数列,首项为,公差为3.类型二等差中项及应用(数学运算、逻辑推理)角度1 计算问题〖典例〗在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.〖思路导引〗等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.〖解析〗因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1与7的等差中项,所以b==3.又a是-1与3的等差中项,所以a==1.又c是3与7的等差中项,所以c==5.所以该数列为-1,1,3,5,7.将本例条件改为“在1与10之间顺次插入两个数x,y,使这四个数成等差数列”,求此数列. 〖解析〗由已知,x是1和y的等差中项即2x=1+y①,y是x和10的等差中项,即2y=x+10②,由①②可解得x=4,y=7.所以此数列为1,4,7,10.角度2 证明等差数列〖典例〗已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.〖思路导引〗由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.〖证明〗因为,,成等差数列,所以=+,化简得2ac=b(a+c),又+======2·,所以,,成等差数列.1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2a n=a n-1+a n+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2a n=a n-m+a n+m(m,n∈N*,m<n).2.等差中项法判定等差数列若数列{a n}满足2a n=a n-1+a n+1(n≥2),则可判定数列{a n}是等差数列.1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为(A. B. C. D.〖解析〗选A.a,b的等差中项为×=×(-++)=.2.已知,,成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.〖证明〗由已知,,成等差数列,可得=+,所以=,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.〖补偿训练〗1.各项均不为零的等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于(A. B. C. D.〖解析〗选C.所以a=,b=x.所以=.2.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.〖解析〗由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.所以m和n 的等差中项为=3.类型三等差数列的通项公式及应用(逻辑推理、数学运算)〖典例〗在等差数列{a n}中,a1+a5=8,a4=7.(1)求数列的第10项;(2)问112是数列{a n}的第几项?(3)在80到110之间有多少项?四步内容理解题意条件:①数列{a n}是等差数列;②a1+a5=8,a4=7.结论:求数列的第10项;112是数列{a n}的第几项?在80到110之间有多少项?思路探求列关于a1和d的方程组求a1,d.根据a10=a1+9d求a10,由a n=112求n,由80<a n<110求n.书写表达设{a n}的公差为d,则①解得(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)a n=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39.②所以112是数列{a n}的第39项.(3)由80<3n-5<110③,解得28<n<38,所以n的取值为29,30,…,38共10项.注意书写的规范性:①列出关于首项a1和公差d的方程组;②解方程求n,即可确定项数;③解不等式确定n的取值,即可确定有多少项题后反思等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示,解答等差数列的计算问题,求这两个基本量是解题的关键等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知a n,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列{a n}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n}是等差数列.1.如果数列是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a2 020= (A. B.- C. D.-〖解析〗选B.设等差数列的公差为d,且a1=1,a3=-,所以=1,=3,所以3=1+2d,解得d=1.所以=1+n-1=n,所以a n=-1.那么a2 020=-1=-.2.已知{a n}为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:(1)a3=5,a7=13;(2)前三项为a,2a-1,3-a.〖解析〗(1)设首项为a1,公差为d,则解得所以a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由等差中项公式得2×(2a-1)=a+(3-a),解得a=,所以等差数列首项为,公差为2a-1-a=a-1=-1=,所以a n=+(n-1)×=+1.〖补偿训练〗等差数列{a n}中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式a n;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?〖解析〗(1)在等差数列{a n}中,由a3=10,a12=31,得解得所以a n=+(n-1)=n+3.(2)由a n=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由a n=n+3=85,得n=∉N*,故85不是数列中的项.课堂检测·素养达标1.数列{a n}的通项公式a n=2n+5,则此数列(A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列〖解析〗选A.因为a n=2n+5,所以a n-1=2n+3(n≥2),所以a n-a n-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),所以数列{a n}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.2.方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为(A.1B.6C.5D.-3〖解析〗选D.由x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项是=-3.3.已知等差数列2,5,8,11,…,则23是这个数列的(A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项〖解析〗选D.等差数列2,5,8,11,…的首项为2,公差为3,所以通项公式a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=23,所以n=8.4.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n+1=0(n∈N*),则此数列的通项公式a n= .〖解析〗因为a n+1-a n+1=0(n∈N*),即a n+1-a n=-1,所以数列{a n}是等差数列,公差为-1,又因为a1=2,所以a n=2-(n-1)=3-n.答案:3-n5.(教材二次开发:习题改编)在等差数列{a n}中,(1)已知a5=15,a17=39,求a n;(2)若a2=11,a8=5,求a10.〖解析〗(1)因为解得所以a n=7+2(n-1)=2n+5.(2)设{a n}的公差为d,则解得所以a n=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a10=13-10=3.。
