北师大版高中数学必修五《等差数列》第一课时教案-新版

2.1 等差数列-北师大版必修5教案一、教学目标1.了解等差数列的定义和概念；2.掌握等差数列的通项公式和求和公式；3.学会应用等差数列解决实际问题。

二、教学重点1.理解等差数列的概念及其特点；2.掌握等差数列的通项公式和求和公式；3.能够运用等差数列的公式解决实际问题。

三、教学难点1.理解等差数列的特点；2.理解通项公式和求和公式的原理。

四、教学方法1.教师讲授与学生演练相结合的方法；2.课堂练习与小组合作学习相结合的方法；3.让学生通过实例分析来理解概念和方法。

五、教学过程1. 引入（10分钟）教师通过贴近学生生活的例子，引入等差数列的概念和原理。

比如：两个人去旅行，第一个人每次走10米，第二个人每次走20米，问他们能不能相遇？如何计算相遇点的距离？2. 概念讲解（20分钟）教师讲解等差数列的定义和特点，包括公差、通项公式、前n项和公式等。

3. 公示演练（25分钟）教师让学生通过公式来计算等差数列的第n项和前n项和，并让学生互相检查答案。

4. 解决实际问题（20分钟）教师让学生通过实际例子来解决问题。

比如：如何计算摩托车行驶的路程？如果已知起点坐标、速度和时间，如何计算终点坐标？如果已知起点坐标和终点坐标，如何计算旅行时间？5. 小组合作学习（20分钟）将学生分成小组，让他们合作完成几道等差数列的题目，并将答案汇总到黑板上进行讲解。

6. 总结（5分钟）教师帮助学生总结本节课所学的知识。

六、教学资源1.课本；2.计算器；3.练习题。

七、教学评估1.课堂练习；2.作业练习；3.课后测试。

八、教学延伸让学生通过编写程序来计算等差数列的通项公式和前n项和，来巩固和拓展所学知识。

§等差数列一编写：马振华 时间：2021 5 13学习目标1 掌握等差数列的定义，通项公式；2 会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列；3 探索通项公式推导过程中体现出的数学思想。

重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用。

难点：通项公式推导与应用。

学习过程使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成各种问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。

奖励规则：（1）认真预习案的组均加2分，特别突出的加3分；（2）合作探究部分基础分2分，板书认真，展示精彩到位或特别突出可以根据情况加分，其他部分根据难易和回答的精彩与否加分。

第Ⅰ部分预习案（自主学习）（阅读课本10--12页或者查阅课外资料解答下列问题） 问题1 ★一个定义★（1） 看课本归纳并得出等差数列的定义 （2）用符号语言描述等差数列的定义 问题2 ★一个公式★根据定义填空 d a a ___12=-，d a a __13=-，d a a __14=-，… d a a n __1=-。

等差数列通项公式：+=1a a n问题3 判断下列说法是否正确，对的在括号后面画 √ 错的画 × 。

（1）（2）（3）（4）（5） （6）合作合作在等合作在数解： 解：合作探究四 ★一个猜想★已知在等差数列}{n a 中，12+=n a n ，求：（1）,,,,,,987321a a a a a a ； （2）求91a a +,82a a +73a a +的值；（3）通过第（2）问的结论你能发现什么规律？并猜想如果mn=，n ，，q 为正整数）那么nm a a +与q p a a +有什么关系？第Ⅲ部分 检测案（课堂练习）1、求等差数列9,5,1，…的第10项。

2、已知在等差数列中，,35,20205-=-=a a 求这个数列的通项公式。

3、在等差数列中已知,16,675==a a 求1a 与公差d 。

北师大版高中数学必修5第一章数列等差数列习题教案 【导入】 【知识点拨】一、 数列定义及通项公式1、 定义：按照一定顺序排成的一列数（注意：顺序不等同于规律，有顺序不一定有规律）2、 通项公式：用来表示数列的项与项数之间的关系的式子，通常可看作是关于n 的函数：)(n f a n =一些基本数列的通项公式：①1,2,3,4...n a n =②1,3,5,7...12-=n a n ③2,4,6,8...n a n 2=④1,4,9,16...2n a n = ⑤2,4,8,16.32...n n a 2=⑥-1,1,-1,1...n n a )1(-= ⑦9,99,999,9999...110-=n n a ⑧a,b,a,b,a (2))1(2ab a b a n n --++=【例题】观察下列数列的前几项，写出它们一个通项公式： ⑴ (26)25,1716,109,54⑵ 2,22,222,2222，… ⑶,...1126,917,710,1,32--⑷, (6)54,543,432,321 3、 前n 项和：n n n a a a a a S +++++=-1321...，通常可看作是关于n 的函数：)(n f S n =前n 项和n n a S 与之间的关系：1S )1(=n n a =-n n S S )1(≥n【例题】⑴已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 322-=，求它的通项公式n a ⑵已知数列}{n a 的前n 项和35-=n n S ，求它的通项公式n a二、等差数列1、 相关性质：等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等1）项数为奇数21n -的等差数列有：1s n s n =-奇偶n s s a a -==奇偶中，21(21)n n s n a -=- 2）项数为偶数2n 的等差数列有：1n n s as a +=奇偶，s s nd -=偶奇21()n n n s n a a +=+ 3）若等差数列n a 与n b 的前n 项和分别为n S ，n T 则：1212--=n n n n T S b a 3.等差数列的判定：{a n }为等差数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==-⇔+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a nn n n n n n 22112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；4.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ； 四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11--n a a n ，d=m n a a mn --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.2）点)S (n,n 在没有常数项的二次函数2n S pn qn =+上。

北师大版高中数学《2.1 等差数列》教学设计【教材分析】本节课位于北师大版高中数学必修5第一章《数列》第2节《等差数列》的第1课时。

数学是一类新的函数，它为高中数学的重要内容之一，既与函数思想密不行分，又为学习等比数列做好了预备。

起着承前启后的作用，本节课通过对通项公式和递推公示的学习，为今后学习等比数列提供了类比推理的思想方法。

【学情分析】所带学生基础比较差，有肯定的分析和概括能力，能够理解由具体到抽象的过程，但思维的严密性比较差一点。

【教法学法】1.教法本节课主要接受自主探究式教学方法.在教师的启发指导下，强调学生的主动参加，让学生自己去分析、探究，在探究过程中讨论和领悟得出的结论，从而到达使学生既获得学问又进展智能的目的.2.学法引导学生依据数组特征抽象出等差数列的概念，推导出等差数列的通项公式.在提问引导分析时，留出肯定的时间让学生去联想、探究，鼓舞学生大胆质疑，把思路方法和要解决的问题弄清.【教学目标】1.学问与技能〔1〕理解等差数列的定义，会应用定义推断一个数列是否是等差数列；〔2〕把握等差数列的通项公式及其推导过程；〔3〕会应用等差数列通项公式解决简洁问题。

2.过程与方法通过概念的引入与通项公式的推导，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，培育学生分析探究能力，增添运用公式解决实际问题的能力。

3.情感、看法与价值观通过自主学习、沟通和探究活动，培育学生主动探究的求知精神，激发学生的学习兴趣。

在讨论等差数列的过程中，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

【重点难点】重点：等差数列的定义和等差数列的通项公式。

难点：等差数列通项公式的敏捷运用.【教学过程】一、实例引入前面我们学习了数列的定义及几种表示数列的方法。

这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子：1.小明觉得自己英语成果很差，目前他的单词量只yes，no，you，me，he 5个他确定从今日起每天背记10个单词，那么从今日开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，多少天后他的单词量到达3000?2.全国统一鞋号中，成年人的鞋号由大到小排列为：44，43，42，41，40，39，38，37，36，35，34.以厘米为单位表示鞋底的长度则还可以表示为：27，26，26，，25，，24，，23，，22.从上面两例中，我们得到3个数列〔1〕5，15，25，35，〔2〕44，43，42，41，40，39，38，37，36，35，34 〔3〕27，26，26，，25，，24，，23，，22.请同学们认真观看这些数列的改变规律，问题1:观看这3个数列，能不能和讨论实数一样，讨论它们项与项之间和的关系、运算和的性质?问题2:这3个数列的项与项之间存在怎样的共同特征了吗?能否用语言来描述它?问题3:能否用数学符号一刻画这一特征?共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数〔即等差〕；〔误：每相邻两项的差相等应强调作差的顺序是后项减前项〕，我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列。

北师大版高中必修5《等差数列》教学设计《北师大版高中必修5《等差数列》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】1、经历大量的实例观察与举例分析，发现数列的项与项之间的“等差”关系，理解等差数列的概念;2、经历累加、归纳猜想出等差数列的通项公式，并且会用公式解决一些简单的问题;3、通过等差中项，让学生充分理解等差数列;4、通过等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

【教学重难点】重点：理解等差数列的概念，探索等差数列通项公式，并能解决相应的问题。

难点：等差数列通项公式的推导过程。

【教学设计】【教学过程】环节一：情境引入引用实例，让学生认真观察：(1)从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为：0，5，10，15，20，25，…….(2)在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)，组成数列48，53，58，63.(3)水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位m)组成的数列为：18，15.5，13，10.5，8，5.5.(4)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成的数列为：10072，10144，10216，10288，10360.【教师活动】：若把上述例子中的数列放在一起，请同学们考虑：这四个数列有何共同特点?【学生活动】：学生思考后依次回答上述四个数列都是递增或递减的，而且递增或递减的都是同一个常数。

§2.1等差数列（一）教学目1．知与技能 : 通例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通公式；能在具体的情境中，数列的等差关系并能用有关知解决相的；2.程与方法 : 学生日常生活中分析，引学生通察，推，抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知解决一些的。

3．情与价 : 培养学生察、的能力，培养学生的用意。

教学重点：理解等差数列的概念及其性，探索并掌握等差数列的通公式；会用公式解决一些的。

教学点：概括通公式推程中体出的数学思想方法。

教学程：情境入新上我学了数列。

在日常生活中，人口增、鞋号、教育款、存款利息等等些大家以后会接触得比多的算，都需要用到有关数列的知来解决。

今天我就先学一特殊的数列。

先看下面的：了使孩子上大学有足的用，一夫从小孩上初一的候开始存，第一次存了 5000 元，并划每年比前一年多存 2000 元。

若小孩正常考上大学，家后 5 年每年存多少？引学生行先写出个数列的前几： 7000， 9000， 11000，13000， 15000 察个数列的化律，提出生活中很多，要解决似的，我有必要研究具有牲的数列——等差数列生互新探究像的数列你能出几个例子？0， 5， 10，15，20，⋯⋯①18 ，15.5 ，13， 10.5 ，8，5.5 ③48，53，58， 63 ② 3 ，3，3，3，3，⋯⋯④看些数列有什么共同特点呢？（由学生、分析）引学生察相两的关系，得到：于数列①，从第 2 起，每一与前一的差都等于 5 ；于数列②，从第 2 起，每一与前一的差都等于 5 ；于数列③，从第 2 起，每一与前一的差都等于-2.5 ；于数列④，从第 2 起，每一与前一的差都等于0 ；由学生和概括出，以上四个数列从第 2 起，每一与前一的差都等于同一个常数（即：每个都具有相两差同一个常数的特点）。

形成概念于以上几数列我称它等差数列。

同学根据我才分析等差数列的特征，着等差数列下个定：等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 起，每一与它的前一的差等于同一个常数，那么个数列就叫做等差数列。

《等差数列》教学设计第1课时等差数列●三维目标1．知识与技能掌握等差数列通项公式及推导，掌握判断等差数列的方法．2．过程与方法通过对等差数列图像的应用进一步渗透数形结合思想，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想．3．情感、态度与价值观通过对等差数列的研究，使学生明白等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辨证唯物主义观点．●重点难点重点：等差数列的判定．难点：求等差数列的通项公式及其应用．●教学建议问题：数列：1，3，()，7，9，…2，5，8，()，14，…－2，3，8，()，18，…师：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点？生：后一项减前一项都等于常数．与a n)?师：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(a n＋1生：a n－a n＝d(d为常数)．＋1师：这样的数列就是我们这节课要讲的等差数列．(板书课题)●教学流程创设情境，提出了2个问题⇒引导学生根据问题引入等差数列⇒通过例1及互动探究，使学生掌握等差数列的判定⇒通过例2及变式训练，使学生掌握如何求通项公式⇒通过例3及变式训练，使学生掌握等差数列通项公式的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第7页)对于数列2，4，6，8，…该数列相邻两项的差(后项减去前项)有什么特点？怎样表示相邻两项间的关系？【提示】等于同一常数．a n＋1－a n＝2或a n－a n－1＝2(n≥2)．你能观察出数列2，4，6，8，…的通项公式吗？能否给予证明？【提示】a n＝2n，证明如下：－a n＝2，由a n＋1＝2，可知a2－a1＝2，a3－a2＝2，…，a n－a n－1将它们相加，得a n－a1＝2(n－1)，∴a n＝2n.若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d．(对应学生用书第8页)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg 532n ＋1(n ∈N ＋)，判断该数列是否为等差数列？若是等差数列，公差是多少？【思路探究】 用等差数列的定义来判断，即判断a n ＋1－a n (n ∈N ＋)是否为同一个常数．【自主解答】 ∵a n ＋1－a n ＝lg 532（n ＋1）＋1－lg 532n ＋1＝lg(532n ＋1×32×32n ＋15)＝lg 13(常数)．∴数列{a n }是等差数列，公差是lg 13.1．本题在证明a n ＋1－a n ＝d (常数)时，注意应用对数运算的性质变形化简．注意切记不可通过计算a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等几个有限的式子的值后，发现它们都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．2．等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用a n ＋1－a n ＝d (常数)或a n －a n －1＝d (d 为常数且n ≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．本例中，若a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)，问{a n }是否为等差数列？ 【解】 ∵a n ＝pn ＋q ， ∴a n ＋1＝p (n ＋1)＋q ，∴a n ＋1－a n ＝p (常数)．∴{a n }是公差为p ，首项为p ＋q 的等差数列．n 58n 【思路探究】 欲求a n ，只需求首项a 1和公差d ，故可利用a 5和a 8建立a 1和d 的方程组求解．【自主解答】 设数列{a n }的公差为d ， 由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎨⎧a 1＋（5－1）d ＝11，a 1＋（8－1）d ＝5，解得a 1＝19，d ＝－2，所以，数列{a n }的通项公式a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝21－2n .1．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；2．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解，学会运用方程的思想和方法来解决问题，注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．在等差数列{a n }中，已知a 3＝7，a 5＝11，求a n . 【解】 设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝11，解得⎩⎨⎧a 1＝3d ＝2. ∴a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.n 156075(2)已知数列{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，求a 2＋a 8. 【思路探究】 (1)由a 15，a 60建立a 1，d 的方程，求出a 1，d 再求a 75. (2)由a 2＋a 8得到a 1和d 的关系式，整体代入求解．【自主解答】(1)∵⎩⎨⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415，∴a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450， ∴5a 1＋20d ＝450，a 1＋4d ＝90， ∴a 2＋a 8＝2a 1＋8d ＝2×90＝180.1．利用等差数列的通项公式求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，注意方程的思想．2．利用通项公式求出首项a 1和公差d 的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．在等差数列{a n }中，a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． 【解】 ∵⎩⎨⎧a 1＋4d ＝15，a 1＋16d ＝39，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝2，∴a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，∴n ＝43.∵n 为正整数，∴91是此数列中的项．(对应学生用书第9页)忽视n 的范围致误已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列，说明理由． (2)求{a n }的通项公式．【错解】 (1)∵a n ＝a n －1＋2，∴a n －a n －1＝2， ∴{a n }是等差数列．(2)由(1)知a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.【错因分析】 判断{a n }是否为等差数列时，未考虑等式a n －a n －1＝2成立的条件是n ≥3，即不包括a 2－a 1，不符合等差数列的定义，进而得{a n }的通项公式，显然不正确．【防范措施】 注意a n －a n －1＝d 中n 的范围是n ≥2. 【正解】 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2， 即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列． (2)当n ≥2时，令a 2＝b 1＝1，a 3＝b 2＝3，a 4＝b 3＝5，…，则{b n }是等差数列， a n ＝b n －1＝1＋2[(n －1)－1]＝2n －3(n ≥2)． 又a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1（n ＝1），2n －3（n ≥2）.1．等差数列的通项公式：(1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；(2)在等差数列中，已知a 1，n ，d ，a n 这四个量中的三个，可以求得另一个量．2．等差数列的判定方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇒{a n }是等差数列．(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k 、b 为常数)⇒{a n }是等差数列．(对应学生用书第10页)1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列【解析】 a n ＝2n ＋5＝2(n －1)＋7，∴公差d ＝2，故选A. 【答案】 A2．等差数列32，－12，－52，…的第10项为( ) A ．－372 B ．－332 C.372 D.332【解析】 由a 1＝32，d ＝－12－32＝－2，得 a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72. 当n ＝10时，a 10＝－2×10＋72＝－332. 【答案】 B3．等差数列{a n }，a 1＝7，a 7＝1，则a 5＝________． 【解析】 a 1＝7，a 7＝1，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得1＝7＋6d ， ∴d ＝－1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3. 【答案】 34．如果数列{a n }是等差数列，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋2.求证：{b n }是等差数列．【证明】 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)， 由b n ＝3a n ＋2，得b n ＋1＝3a n ＋1＋2,∴b n ＋1－b n ＝3(a n ＋1－a n )＝3d (n ∈N ＋)是常数. ∴数列{b n }是等差数列．(对应学生用书第83页)一、选择题1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( ) A ．4n －7 B ．－4n －7 C ．4n ＋1 D ．－4n ＋1【解析】 ∵a 1＝－3，d ＝(－7)－(－3)＝－4， ∴a n ＝－3－4(n －1)＝－4n ＋1. 【答案】 D2．已知等差数列{a n }，a 1＝4，公差d ＝2，若a n ＝4 012，则n 等于( ) A ．2 004 B ．2 006 C ．2 005 D ．2 003【解析】 由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，得4 012＝4＋2(n －1)，∴n ＝2 005. 【答案】 C3．已知等差数列{a n }的前三项分别是a －1，a ＋1，2a ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由定义知，a ＋1－(a －1)＝2a －(a ＋1)，得a ＝3. 【答案】 C4．已知数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 11＝24，a 4＝3，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6【解析】 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∴⎩⎨⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋10d ）＝24a 1＋3d ＝3⇒d ＝3.【答案】B5．(2013·黄冈高二检测)已知点(n，a n)(n∈N＋)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{a n}中有()A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0C．a7＋a9＝0 D．a7·a9＝0【解析】∵(n，a n)在直线3x－y－24＝0，∴a n＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，∴a7＋a9＝0.【答案】C二、填空题6．已知等差数列14，16，18，…，那么数列的第1 001项为________．【解析】由题意知a1＝14，d＝2，∴a n＝14＋2(n－1)＝2n＋12，∵a1 001＝2×1 001＋12＝2 014.【答案】 2 0147．在等差数列{a n}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________．【解析】a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋3d＋4d＋5d＝3a1＋12d＝6＋36＝42.【答案】428．(2013·台州高二检测)在数列{a n}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，)在直线x－y－3＝0上，则数列{a n}的通项公式为a n＝________．点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，∴a n－a n－1－3＝【解析】∵点(a n，a n－10，即a n－a n－1＝3(n≥2)．则数列{a n}是以3为首项，3为公差的等差数列，∴a n＝3＋3(n－1)＝3n，∴数列{a n}的通项公式为a n＝3n2.【答案】3n2三、解答题9．已知数列{a n}的通项公式是a n＝7n＋2，求证：数列{lg a n}是等差数列．【证明】设b n＝lg a n，则b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n＝(n ＋3)lg 7－(n ＋2)lg 7＝lg 7(常数)．所以数列{b n }是等差数列，即数列{lg a n }是等差数列．10．已知数列{}log 2（a n －1）(n ∈N ＋)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9，求数列{a n }的通项公式．【解】 设等差数列{}log 2（a n －1）的公差为d ，则 log 2(a 3－1)－log 2(a 1－1)＝2d .代入a 1＝3，a 3＝9得， log 28－log 22＝2d ，∴d ＝1.∴log 2(a n －1)＝log 2(a 1－1)＋(n －1)×1＝n .∴a n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.11．在等差数列{a n }中，已知a 4＝70，a 21＝－100.(1)求首项a 1与公差d ，并写出通项公式；(2){a n }中有多少项属于区间[－18，18]?【解】 (1)由题意，得a n ＝a 1＋(n －1)d .∴⎩⎨⎧70＝a 1＋（4－1）d ，－100＝a 1＋（21－1）d ，得a 1＝100，d ＝－10. ∴通项公式a n ＝100－10(n －1)＝－10n ＋110.(2)由题意得－18≤－10n ＋110≤18，解得9.2≤n ≤12.8，∵n ∈N ＋，∴n ＝10，11，12.∴属于区间[－18，18]的项有3项，它们是a 10，a 11，a 12.(教师用书独具)已知f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }满足x n ＝f (x n －1)(n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100.【思路探究】 寻找x n 与x n －1的关系→求1x n－1x n －1的值→ 判定结论成立→求1x n →求1x 100→求x 100 【自主解答】 (1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴1x n＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13. ∴数列{1x n}为等差数列，公差为13. (2)1x n ＝1x 1＋(n －1)·13， ∵x 1＝12，∴1x 100＝2＋(100－1)·13＝35. ∴x 100＝135.1．本例中{x n }本身不是等差数列，要证它各项的倒数成等差数列，应通过变形得到1x n ＋1－1x n＝d (常数)． 2．本题属于“生成数列问题”，关键是把1x n 看成一个整体．另外，在遇到一题多问的题目时，解答后面的问题要注意应用前面的结论．数列{a n }各项的倒数组成一个等差数列，若a 3＝2－1，a 5＝2＋1，求a 11.【解】 设b n ＝1a n，则{b n }为等差数列，设公差为d . 由已知得b 3＝1a 3＝12－1＝2＋1， b 5＝1a 5＝12＋1＝2－1， ∴⎩⎨⎧b 1＋2d ＝2＋1，b 1＋4d ＝2－1， 解得⎩⎨⎧b 1＝3＋2，d ＝－1.∴b 11＝b 1＋10d ＝2－7. ∴a 11＝1b 11＝12－7＝－7－247.。

§2.1 等差数列（一）一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时。

等差数列在生活中有着广泛的应用，是在学生学习了函数、数列的有关概念和数列通项公式的基础上，是学生进一步理解、掌握函数思想，学生探究特殊数列的开始，为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

二、学生学习情况分析我所教的是我校高二理科班的学生，经过了一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时针对个体差异，注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：有利于学生对等差数列的概念进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；在学生参与到知识的形成过程中，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性，诱导学生进行理性分析与推导，从而得出通项公式。

⑵分组讨论法：如何判断一个数列是否为等差数列，学生分组交流探究出判别方法。

⑶讲练结合法：对等差数列的通项公式及时巩固，抓住重点，突破难点。

2．学法引导学生首先从三个现实问题给出的数组特点并抽象概括出等差数列的概念；接着就等差数列定义的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标1、知识与技能目标（1）理解和掌握等差数列的概念；能用定义法在3分钟内判断某一数列是否为等差数列，准确率为95% 。

（2）能在3分钟内写出已知首项和公差的任意一个等差数列的通项公式，准确率为95%。

§2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=a n+1-a n(n∈N+)或者d=a n-a n-1 (n∈N+且n≥2). （2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,a n+1-a n是同一个常数(或a n-a n-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：a n+1-a n=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明a n+1-a n或a n-a n-1(n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：∵{a n}是等差数列，∴a n-a n-1=d,a n-1-a n-2=d,a n-2-a n-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：a n-a1=(n-1)d,∴a n=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：∵{a n}是等差数列，∴a n=a n-1+d=a n-2+d+d=a n-2+2d=a n-3+3d=…=a1+(n-1)d.即a n=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：∵{a n}是等差数列，则有a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用. （2）通项公式的变形公式在等差数列{a n}中，若m，n∈N+，则a n=a m+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有a m =a 1+(m -1)d ①a n =a 1+(n -1)d ②由②-①得a n -a m =(n -m )d ,∴a n =a m +(n -m )d .注意：将等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 变形整理可得a n =dn +a 1-d ，从函数角度来看，a n =dn +(a 1-d )是关于n 的一次函数(d ≠0时)或常数函数(d =0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d 是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d =m n a a m n -- (n ≠m ).（3）通项公式的应用①利用通项公式可以求出首项与公差;②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n =f (n )=a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d )，可知其图像是直线y =dx +(a 1-d )上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d 是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d . 当d>0时，{a n }为递增数列，如图（甲）所示.当d <0时，{a n }为递减数列，如图(乙)所示.当d =0时，{a n }为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项如果在数a 与b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做数a 与b 的等差中项.注意:(1)等差中项A =2b a +⇔a ,A ,b 成等差数列； (2)若a,b,c 成等差数列，那么b =2c a +，2b=a+c ,b-a=c-b,a-b=b-c 都是等价的； (3)用递推关系a n+1=21 (a n +a n+2)给出的数列是等差数列，a n+1是它的前一项a n 与后一项a n+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 .3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， .。

第二节等差数列（一）等差数列【教学目标】1.知识与技能（1）理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；（2）能运用等差数列的通项公式解决相关问题．2.过程与方法通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。

3.情感、态度与价值观通过对等差数列概念和通项公式的探究，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。

【教学重难点】重点：等差数列概念和通项公式的探究及等差数列通项公式的运用。

难点：等差数列通项公式的探究及其运用。

【教学过程】一、课前预习指导：仔细阅读课本，完成以下预习检测1．观察下面几组数列：(1)3,4,5,6,7，…；(2)6,3,0，－3，－6，…；(3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…；(4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 回答这几组数列的共同特点是________________________________．2.判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由．(1)4,7,10,13,16，…；(2)31,25,19,13,7，…；(3)0,0,0,0,0，…；(4)a，a－b，a－2b，…；(5)1,2,5,8,11，….二、新课学习问题探究一等差数列的概念例1判断下列数列是否为等差数列.（1）an＝2n－1（2）an＝（－1）问题探究二等差数列的通项公式例2 已知等差数列｛an｝，a=1，d=2，求通项an.思考：如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？例3（1）求等差数列9,5,1，…的第10项；（2）已知等差数列{an}，an= 4n-3,求首项a1和公差d.例4已知在等差数列{an}中，a5＝-20，a20＝-35，求它的通项公式。

学后检测1若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.学后检测2已知{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求它的通项公式．问题探究三等差数列与一次函数的联系根据上述对比可知公差d的几何意义是等差数列的图像上任意两点(n，an)、(m，am)连线的斜率，即d＝.所以当d＞0时,{an}是数列；当d＜0时,{an}为数列；当d＝0时，{an}为数列．例5已知（1，1），（3,5）是等差数列{an}图像上的两点.（1）求这个数列的通项公式；（2）画出这个数列的图像；（3）判断这个数列的单调性.学后检测3四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．问题探究四等差中项1 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫作x和y的等差中项，试用x，y表示A.2 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且B是A、C的等差中项，求角B的大小．学后检测4 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．【课堂小结】1.理解等差数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等差数列，并确定等差数列的公差；2. 能运用等差数列的通项公式解决相关问题．（二）等差数列的前n项和【教学目标】1.知识与技能(1)理解等差数列前n项和公式的推导过程．(2)熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．(3)掌握等差数列前n项和公式及性质的应用.2.过程与方法通过对等差数列概念和通项公式的探究，培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等发现规律的一般方法。

《等差数列》第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式进行有关计算。

本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力。

结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察—分析概括—师生互动，形成概念—启发引导，演绎结论—拓展开放，巩固提高。

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究。

第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图像认识等差数列的性质。

让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图像与通项公式的关系解决某些问题。

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究。

在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。

在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。

使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。

学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。

【知识与能力目标】通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型。

同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程。

【过程与方法目标】探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式。

通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。

【情感态度价值观目标】通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣。