上海市复旦大学附属中学2019-2020学年下学期期末考试高一数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，将答案填在答题纸上）1.计算23lim 31n n n →+∞-=+__________．【答案】23【解析】 【分析】采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.【详解】211223211233lim lim lim []313133(31)3n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+--==-=+++. 【点睛】本题考查分离常数法求极限，难度较易.2.实数2和8的等比中项是__________． 【答案】4± 【解析】所求的等比中项为：4=± .3.函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为__________． 【答案】tan ,(0,)4y x x π=∈【解析】 【分析】将函数变形为()x f y =的形式，然后得到反函数，注意定义域.【详解】因为arctan y x =，所以tan x y =，则反函数为：tan y x =且(0,)4x π∈.【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域. 4.等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．【答案】8 【解析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.5.用列举法表示集合1cos(),[0,]32x x x ππ⎧⎫-=∈=⎨⎬⎩⎭__________． 【答案】2{0,}3π 【解析】 【分析】先将x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出x 的可取值. 【详解】因为1cos()32x π-=，所以2,33x k k Z πππ-=±+∈，又因为[0,]x π∈，所以0k =，此时0x =或23π，则可得集合：2{0,}3π. 【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若面积2222a b S c +-=，则角C =__________．【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据面积公式计算出tan C 的值，然后利用反三角函数求解出C 的值.【详解】因为2221sin 22a b c S ab C +-==，所以222sin 2cos ab C a b c ab C =+-=，则tan 2C =，则有：arctan 2C =.【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.7.已有无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为__________． 【答案】()12,00,4⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据无穷等比数列的各项和表达式，将2a 用公比q 表示，根据q 的范围求解2a 的范围. 【详解】因为111a S q ==-且||1q <，又22111(1)()24a a q q q q ==-=--+，且(1,0)(0,1)q ∈-⋃，则21(2,0)(0,]4a ∈-⋃.【点睛】本题考查无穷等比数列各项和的应用，难度一般.关键是将待求量与公比之间的关系找到，然后根据的取值范围解决问题.8.已知函数()2sin()46x f x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x R ∈）成立，则12x x -的最小值为__________． 【答案】4π 【解析】 【分析】根据1()f x 和2()f x 的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定12x x -最小值. 【详解】因为12()()()f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 成立，所以1()f x 取最小值，2()f x 取最大值；12x x -取最小值时，1x 与2x 必为同一周期内的最小值和最大值的对应的x ，则12min 2Tx x -=，且28||T πω==，故12min 4x x -=. 【点睛】任何一个函数()f x ，若有12()()()f x f x f x ≤≤对任何x ∈定义域成立，此时必有：1()min f x =，2()max f x =.9.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9 【解析】 试题分析：由可知同号，且有，假设，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为，可列等式，又排序后可组成等比数列，可知其排序必为，可列等式，联解上述两个等式，可得，则．考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．10.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为_________. 【答案】π 【解析】 【详解】由在区间上具有单调性， 且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为π.考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.11.由正整数组成的数列{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =__________． 【答案】262 【解析】 【分析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比q 、k 、d 的范围后再综合判断. 【详解】设等比数列公比为q，等差数列公差为d ，因为1100k c -=，11000k c +=，所以21(2)100(*)11000k kk d q kd q -⎧+-+=⎨++=⎩；又因为{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，所以2q ≥且1d ≥；又2k =时11100+=显然不成立，所以3k ≥，则31000q <，即9q ≤； 因2q ≥，221002k k q -->>，所以8k ≤；因为(2)k d d -≥，所以 100d ≤；由(*)可知：22900kk q qd --+=，则22900()200k k d q q -=--<，22(1)700k q q -->；又21221111550(1)022222k k k k k k k c c q q c kd qq q ----+=++=+--=-->， 所以22(1)1100k qq --<，则有()22221700(1)1100k k q q q q --⎧->⎪⎨-<⎪⎩根据3829k q ≤≤⎧⎨≤≤⎩可解得符合条件的解有：46k q =⎧⎨=⎩ 或39k q =⎧⎨=⎩；当46k q =⎧⎨=⎩时，41461000d ++=，解得0d <不符，当39k q =⎧⎨=⎩时，解得90d =，符合条件；则32215509(91)2622k c -=-⋅-=.【点睛】本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足.12.已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________．【答案】{}41,q q k k Z =+∈ 【解析】 【分析】根据条件先得到：n a 的表示，然后再根据{}n a 是等比数列讨论公比q 的情况. 【详解】因为sin 1n a =，所以2,2n a k k Z ππ=+∈，即(41),2n k a k Z π+=∈；取{}n a 连续的有限项构成数列{}n b ，不妨令1(41),2k b k Z π+=∈，则2(41),2q k b k Z π+=∈，且2{}n b a ∈，则此时q 必为整数； 当4,q k k Z =∈时，224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉，不符合；当41,q k k Z =+∈时，222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈，符合，此时公比41,q k k Z =+∈ ；当42,q k k Z =+∈时， 224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉，不符合；当43,q k k Z =+∈时，22(43)(41)4(44)3{}22n k k k k b a π++++==∉，不符合；故：公比41,q k k Z =+∈.【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.二、选择题：本大题共有4题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13.对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列选项中正确的是( )A. f(x)在（4π，2π）上是递增的 B. f(x)的图象关于原点对称 C. f(x)的最小正周期为2π D. f(x)的最大值为2【答案】B 【解析】 【详解】解:,是周期为的奇函数,对于A,在上是递减的,错误;对于B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确; 对于C,是周期为,错误;对于D,的最大值为1,错误;所以B 选项是正确的.14.若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（） A. 大于0 B. 等于0C. 小于0D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到不等式，化简后可判断16a 的情况.【详解】据题意：1021S S >，则1104521210a d a d +>+，所以1111650a d +<，即111(15)0a d +<，则：160a <， 故选：C.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的应用，难度较易.等差数列前n 项和之间的关系可以转化为1a 与d 的关系.15.已知数列{}n a 的通项公式()2019112n n n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥，前n 项和为n S ，则关于数列{}n a 、{}n S 的极限，下面判断正确的是（）A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑{}n a 与{}n S 的极限，然后作比较. 【详解】因为20091lim lim()02n n x x a -→∞→∞==，又2019201912201911(1())122lim lim(...)lim[()]01212n n n x x x S a a a --→∞→∞→∞-=++++=-=-，所以数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等， 故选：D.【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解{}n S 的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到.16.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：①若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n N ∈，0n S > ②若对一切*n N ∈，0n S >，则数列{}n a 为递增数列 ③若存在*m N ∈，使得0m S =，则存在*k N ∈，使得0k a =④若存在*k N ∈，使得0k a =，则存在*m N ∈，使得0m S = 其中正确命题的个数为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析.【详解】①取5n a n =-，()f x x =，则11()(4)40S f a f ==-=-<，故①错； ②对一切*n N ∈，0n S >，则1()0f a >，又因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以10a >，若{}n a 递减，设10,0k k a a +>≤，且2112121()()...()()...()k k k k S f a f a f a f a f a +++=++++++，且121221...20k k k a a a a a +++=+==≤，所以121222,,...,k k k k a a a a a a ++≤-≤-≤-，则121222()(),()(),...,()()k k k k f a f a f a f a f a f a ++≤-≤-≤-，则2112121()()...()()...()0k k k k S f a f a f a f a f a +++=++++++≤，与题设矛盾，所以{}n a 递增，故②正确；③取23n a n =- ，则11a =-，21a =，令()f x x =，所以12()()0f a f a +=，但是230n a n =-≠，故③错误；④因为0k a =，所以121222...20k k k a a a a a --+=+===， 所以12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，则12122211()(),()(),...,()()k k k k f a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，则2112121()()...()()...()0k k k k S f a f a f a f a f a -+-=++++++=，则存在*m N ∈，使得0m S =，故④正确. 故选：C.【点睛】本题函数性质与数列的综合，难度较难.分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，这也是一种常规思路.三、解答题：（本大题共有5题，满分76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a ，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12(2)n n a -=-；（2）存在，13n =【解析】 【分析】（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出n S ，然后考虑2020n S >的n 的最小值.【详解】（1）因为1222416a q q =⎧⎨=+⎩，所以4q =或2-，又20200S <，则2q =-，所以12(2)n n a -=⋅-；（2）因为2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--，则(2)3029n -<-，当n 为偶数时有(2)0n ->不符合；所以n 为奇数，且11(2)2048-=-，13(2)4096-=-，所以13n ≥且n 为奇数，故min 13n =.【点睛】本题考查等比数列通项及其前n 项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前n 项和所满足的不等式时，注意分类讨论，因此n 的奇偶会影响n S 的正负.18.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+- （1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，若角2C B =，求(A)f 的值域.【答案】（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）(1,2]- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式化简()f x ，然后利用单调区间公式求解单调区间；（2）根据条件求解出A 的范围，然后再求解(A)f 的值域.【详解】（1）2()2cos cos 1cos 21212sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+-=+，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以单调减区间为：2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈； （2）由锐角三角形可知：22C B A B C ππ⎧=<⎪⎨⎪++=⎩，所以42A ππ<<，则27(2)(,)636A πππ+∈ ，又()2sin(2)6f A A π=+，所以min 7()2sin()16f A π>=-，max ()2sin 22f A π==，则()(1,2]f A ∈-. 【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件A B C π++=的使用.19.已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈ 【答案】（1）证明见解析，(1)n a n n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）定义法证明：11n na a d n n+-=+；（2）采用数学归纳法直接证明（注意步骤）. 【详解】由1(1)(1)n n na n a n n +=+++可知：1(1)(1)(1)(1)(1)n n na n a n n n n n n n n +++=++++，则有111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+，所以{}n a n为等差数列，且首相为121a=，公差1d =，所以1n a n n =+，故(1)n a n n =+； （2）22(1)n b n n =+ ，当1n =时，111124b =<-成立； 假设当n k =时，不等式成立则：12211(1)k b b b k +++<-+；当1n k =+时，12122121(1)(1)(2)k k b b b b k k k +++++<-++++，因为22222212112111(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭222222(1)2(1)(2)10(1)(2)(1)(2)k k k k k k k +++-+-==<++++ ，所以22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，则121211(2)k k b b b b k +++++<-+，故1n k =+时不等式成立，综上可知：12211(1)n b b b n +++<-+.【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）1n =命题成立；（2）假设n k =命题成立；（3）证明1n k =+命题成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.20.设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，(0,)2πϕ∈.（1）设2ω=，若函数()f x 的图象的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图象向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的ω和ϕ的值； （3）设4ω=，6π=ϕ，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<<<<<，*n N ∈，求123212222n n n x x x x x x --+++++的值.【答案】（1）310π；（2）643n ω+=，13ϕπ=；（3）3913π 【解析】 【分析】（1）根据对称轴对应三角函数最值以及(0,)2πϕ∈计算ϕ的值；（2）根据条件列出等式求解ω和ϕ的值；（3）根据图象利用对称性分析待求式子的特点，然后求值. 【详解】（1）()5sin(2)f x x ϕ=+，因为35x π=是一条对称轴，36()2sin()55f ππϕ=+对应()f x 最值；又因为(0,)2πϕ∈，所以6617()(,)5510πππϕ+∈，所以63()52πϕπ+=，则310πϕ=；（2）由条件知：5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩ ，可得1122,2,k k Zk k Zπωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩，则1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，又因为(0,)2πϕ∈，所以3πϕ=，则1122,23,3k k Z k k Zππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩，故有：112262,313,3k k Z k k Z ωω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪=∈⎪⎩，当2k 为奇数时，令221()k m m Z =-∈，所以 13(21)46,33m mm Z ω---==∈，当2k 为偶数时，令22()k m m Z =∈，所以13(2)16,33m m m Z ω--==∈，当11k m +=-时，1116(1)26446(,)333k k m m k Z +-+-==∈，又因0>ω，所以64()3n n N ω+=∈；（3）分别作出()f x （部分图像）与35y =图象如下：因为242T ππ==，故[0,6]π共有12个T ；记()f x 对称轴为(1,2,3...,23)i x a i ==，据图有：1212x x a +=，2322x x a +=，3432x x a +=，......，232423x x a +=，则12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++，令4,62x k k Z πππ+=+∈，则,412k x k Z ππ=+∈，又因为[0,6]x π∈，所以[0,23]k ∈，由于()f x 与35y =仅在前半个周期内有交点，所以max 22k =，则1232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅=.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.21.已知无穷数列{}n a ，{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n N ∈），其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即[]1x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a ，{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5； （2）若11,33n n n n a b +-==，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈. 【答案】（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据定义，选择{}n a ，{}n b 的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑{}n a ，{}n b 的前3n 项的规律，然后根据计算[]x 的运算规律计算3n S ；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可. 【详解】（1）由{}n c 的前4项为：2，3，4，5，选{}n a 、{}n b 的前4项为正整数：{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）将{}n a 的前3n 项列举出：(0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -；将{}n b 的前3n 项列举出：(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；则23(11)(1)(11)(1)323322n n n n n S n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； （3）充分性：取1,33n n n na b +==-，此时120d d +=，将{}n a 的前3项列举出：0,1,1，将{}n b 前3项列出：1,1,1---，此时{}n c 的前3项为：1,0,0-，显然{}n c 不是等差数列，充分性不满足；必要性：设11(1)n a a n d =+-，12(1)n b b n d =+-，当{}n c 为等差数列时，因为[][]n n n c a b =+，所以n c Z ∈ ，又因为1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，所以有：1101112[][](1)[(1)][(1)]a b n d a n d b n d ++-=+-++-，且[]1x x x -<≤，所以110110110(1)2[][](1)(1)a b n d a b n d a b n d ++--<++-≤++-；111211121112(1)(1)2[(1)][(1)](1)(1)a n d b n d a n d b n d a n d b n d +-++--<+-++-≤+-++-，110110110111211121112(1)2[][](1)(1)(1)()2[(1)][(1)](1)()a b n d a b n d a b n d a b n d d a n d b n d a b n d d ++--<++-≤++-⎧⎨++-+-<+-++-≤++-+⎩， 不妨令1101112[][](1)[(1)][(1)]a b n d a n d b n d S ++-=+-++-=，则有如下不等式：11011011121112(1)2(1)(*)(1)()2(1)()a b n d S a b n d a b n d d S a b n d d ++--<≤++-⎧⎨++-+-<≤++-+⎩； 当120d d d +>时，令120(0)d d d m m +=+>，则当21n m->时， 1112110(1)()2(1)a b n d d a b n d ++-+->++-，此时(*)无解；当120d d d +<时，令120(0)d d d m m +=->，则当21n m-<时， 1112110(1)()(1)2a b n d d a b n d ++-+<++--，此时(*)无解；所以必有：120d d d Z +=∈，故：必要性满足；综上：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d Z +∈【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.。
