(北师大版)第二册下直线与平面垂直的判定

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第2课时平面与平面垂直的判定学习任务核心素养1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点) 2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点)1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？问题2：如何判断两个平面垂直？知识点平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊂α，l⊥β⇒α⊥β1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()[提示](1)正确．(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√类型1平面与平面垂直的判定【例1】(教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[跟进训练]1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.[证明]∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.类型2空间垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△P AD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？[提示]转化关系如下：2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？[提示](1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．3.(1)直线与直线垂直→直线与平面垂直→直线与直线垂直(2)利用（1）的条件AD⊥平面PGB→找到过点F的平面和平面PGB平行→确定F的位置[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[跟进训练]2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .1．直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．可能重合 C ．相交且垂直D ．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂β C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC [A 与D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选C.]3．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B.]4．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．平行[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.]回顾本节内容，自我完成以下问题：面面垂直的判定定理应用的思路是什么？[提示]平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．。

又∵AF 平面ABE，∴AF⊥CG. 由例题知DF∥CG. ∴AF⊥DF. 而EA=AB， F为BE中点. ∴AF⊥BE. 又BE∩DF=F， ∴AF⊥平面BDE ，∴AF⊥BD.
由线面垂直证明线线垂直 空间中证明线线垂直的方法 (1)共面直线垂直的证明方法： ①利用等腰三角形“三线合一”的性质证明.即等腰三角形 底边上的中线(或顶角平分线)是底边上的高. ②利用矩形的四个角是直角证明. ③利用菱形的对角线互相垂直平分证明. ④利用直径所对的圆周角是直角证明. ⑤利用勾股定理的逆定理证明.
【规范解答】(1)连接AC与BD交于点G，则G为AC的中点，
连
接EG、GH，由于H为BC的中点，故GH
又∵EF
1 2
AB，∴GH
EF，
∴四边形EFHG为平行四边形.
1 AB.
2
∴EG∥FH，而EG 平面EDB，FH 平面EDB.
∴FH∥平面EDB.
(2)由四边形ABCD为正方形知AB⊥BC， 又∵EF∥AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，且BC∩FB=B， ∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. ∵BF=FC，H为BC的中点， ∴FH⊥BC，且BC∩AB=B， ∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC. 又∵FH∥EG，∴AC⊥EG. 又∵AC⊥BD，且EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB.
【证明】(1)由已知得，O1′A′∥O2′B′，O2′B′∥O2B. 得O1′A′∥O2B，所以O1′A′与O2B确定一个平面α，且O1′， A′，O2，B都在平面α内，即O1′，A′，O2，B四点共面.
(2)如图，延长AO1到I使AO1=O1I，连接IH′及IO1′，由已知 可得H′B′⊥平面A′AIH′，从而H′B′⊥IO1′，又在矩形 A′AIH ′中O1′、G分别为边A′H′与AA′的中点，所以 IO1′⊥H′G，所以IO1′⊥平面H′B′G. 连接IB，则IBO2′O1′ 为矩形，所以BO2′∥ IO1′，所以BO2′⊥平 面H′B′G.

“直线与平面垂直的判定”教学设计江西省芦溪中学龚莉一、教学内容解析本堂课研究的内容是北师大版高一数学必修2第一章第六节第一课时：直线与平面垂直的判定以及简单应用．垂直是立体几何的核心概念之一．直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位．二、教学目标解析1、结合实际背景，让学生了解、感受直线和平面垂直的概念；2、以几何模型、动画演示，让学生体会、探究判定直线和平面垂直的方法；3、通过实例使学生掌握直线与平面垂直的判定定理并能进行简单应用；三、教学重点及难点解析重点：直线与平面垂直的判定定理的探究及应用难点：由直线与平面垂直的概念得到判定定理时“任何”过渡到“两条”的理解。

四、教学问题诊断解析1、对于直线与平面垂直这一位置关系，由于学生平时生活中经常看到，所以在直观感知后容易举出一些实例，但直线与平面垂直的真正意义并不一定理解，所以有必要通过实物操作来帮助理解；2、在直观感知了直线与平面垂直、理解直线与平面垂直的意义之后，如何判定直线与平面垂直呢？可能有同学会提到利用直线与平面垂直的定义，但这需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，在实际运用时会有困难（由于平面内的直线有无数条），考虑到学生已经学习了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，可以借助于处理这两个问题时的思想方法---“降维”思想，把证明线面垂直的问题转化为线线垂直来解决．3、判定直线与平面垂直，或许会有学生根据已知直线与平面内两条直线垂直接来完成，而忽视了判定定理中平面内两条“相交直线”这一条件，为此可引导学生通过操作模型直观地分析、认识其中的原因，帮助学生理解并掌握判定定理．五、教学手段解析考虑到学生的空间想象能力，为了让学生更直观地感知线面关系、线线关系，从而更好地掌握直线与平面的判定定理以及线线垂直与线面垂直这一转化关系，利用多媒体辅助教学与几张三角形纸板作为教学支持条件．六、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景一．以背景图片直接引入课题问题：观察图片你能发现几何中的什么关系？设计意图：让学生通过观察、感知去发现新问题．师生活动：教师给出图片，让学生欣赏美景的同时，抽象出直线与平面垂直这一位置关系，然后再让学生例举一些生活中看见的直线与平面垂直的例子，从而引出本课课题．二．利用实物演示，让学生体验、操作，归纳线面垂直的意义．问题：直线与平面垂直的意义是什么？结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB 与它在地面上的影子BC 所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC 的位置也会移动,而旗杆AB 与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB 与地面上任意一条不过点B 的直线B 1C 1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB 所在直线始终与地面上任意一条过点B 的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB 所在直线始终与地面上任意一条不过点B 的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直． 故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个 点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC， 且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为 二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝ ，AD＝ ，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面 角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接 触)，折痕AD与桌面垂直吗？ 提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．