习题课件

第一章 习题课 教学目的与要求 1、复习极限的基本概念及求极限的各种方法； 2、复习连续函数的概念及求函数间断点的方法； 3、熟悉闭区间上连续函数的性质的运用。 讲练重点 极限的概念及计算 知识提要 1、数列极限与函数极限（I）概念综述 类型 定义式 说明

趋于定值a

axfxx)(lim0

0 时当),(,000xxx |)(|axf 0,xa为有限值，

),(0xU为

),(00xx与

),(00xx之并

axfxx)(lim0 时当),(,000xxx

axfxx)(lim0 时当),(,00xUx

趋于无穷大 axnnlim 0 时当NnN,0 |)(|axf 将“”换作“+”或“-”时，则得到正无穷大，负无穷大的定义。

axfx)(lim 时当XxX,0

axfx)(lim 时当XxX,0

axfx)(lim 时当XxX||,0

（II）极限的主要性质 设vu,表示数列变量nx或函数变量，在同一个极限过程中,lim,limBvAu该极限过程可以是数列极限或函数极限中的任一种,A、B、a、是常数，则极限有以下性质。 运算性质 线性规则：vuavaulimlim)lim( 乘积规则：vuuvlimlimlim

商规则：)0(limlim/limlimvvuvu 比较性质 （1）若u≥v，则ulim≥vlim （2）若ulim≥vlim，则在某个范围X上有vu 有界性质 （1）若}{nx收敛，则}{nx有界

（2）若Axu)(lim，则)(xu在某个范围X上有界。 存在性质 （1）单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 （2）夹逼准则：若u≤≤v，且u、v趋于A，则亦趋于A（三个变量u、v、极限过程相同）。 注 X的形式与极限过程相关，当u、v是数列时，nnX|{≥}N，N是某个自然数；当u、v是函数变量，极限过程是0xx时，),(00xxX，极限过程是),(,00xUXxx时，其余类推。 （III）基本极限 ennnnn)11(lim,01lim，

)0(1limlim,0)1(limaannnnnnnn

nnnnnn)1(lim,21)(lim2

不存在

,)11(lim,)1(lim10exexxxxx

,11lim,1sinlim00xexxxxx

,01sinlim,1)1ln(lim00xxx

x

xx

xxe10lim不存在， xxx||lim0不存在。

（IV）极限之间的联系 （1）)(lim)(lim)(lim000xfAxfAxfxxxxxx

（2）.)(lim)(lim)(limAxfxfAxfxxx （3）Axfxx)(lim0对任意趋于0x的数列nx，有Axfnn)(lim 2．无穷小量与无穷大量 （I）概念 无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量 无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量

)(vou 表示u是较v高阶的无穷小量，即0/limvu

)(vOu 表示u与v是同阶的无穷小量，即aavu,/lim是非零常数。

vu~ 表示u与v是等价无穷小量，即1/limvu

无穷小的主部 设ra,为常数，,0,0ra若)0)(()(xxoaxxurr，则说)(xuaxr是 的主部，x称作基本无穷小，r称作u关于x的阶数。 （II）运算性质 设u、v是无穷小量，B为有界变量，为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，有（1）

1,,,vuuBvu均是无穷小量。

（2）)0(1,,uuBu均是无穷大量。 （III）等价无穷小替换原理 设vu~，则vuvulimlim,limlim。 （IV）常用等价替换公式 在寻求无穷小量u的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中u、v可以是函数变量如

)(),1(lnsinxexxx，也可以是数列，如nnxnnxnn1ln,1等等）；

积与商 若u~v，则vuvu/~/,~

和~,~,1,)(,~uuluuuouu若若 常用公式 设0u，则 ueuuuuuu~1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin

,21~cos12uu),(~1)1(是常数aauua361~sin),0(ln~1uuuaauau 3．函数的连续性 （I）概念

)(xf在一点0x连续 函数)(xf在0x的某个领域,),(00上有定义xx

)()(lim00xfxfxx且。

)(xf在一点0x左（右）连续 函数)(xf在0x的某个左（右）邻域)),)((,(0000xxxx 上有

定义，且)).()(lim)(()(lim0000xfxfxfxfxxxx )(xf在),(ba连续 函数),()(baxf在内的每个点连续。

)(xf在],[ba上连续 函数)(xf在),(ba连续，且在左端点a右连续，右端点b左连续。

间断点 当)()(lim00xfxfxx不成立时，称)(xf于0xx处间断，间断点0x可分为以下几种类型： 名称 特 征 第一类 可去间断点 )(0xf与)(0xf

均存在 )()()(000xfxfxf但与

不等

跳跃间断点 )()(00xfxf

第二类 )(0xf与)(0xf至少有一个不存在

（II）主要性质 （1）若)(),(xgxf均在点0x连续，则),()(xgxf),()(xgxf)0)((),(/)(0xgxgxf 也在点0x连续；

若))((tf有定义，0)(ttt在连续，)(xf在)(00tx连续，则))((tf在0tt连续。 （2）局部保号性 若)(xf在0x连续,00)(xaxf则在的某邻域axfxU)(),(0上 （3）若)(xfy的反函数为)(1yfx，且)(xf在0x连续，则)()(001xfyyf在 连续。 （4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 （III）闭区间上连续函数的性质 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则有 （1）)(xf在],[ba上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。

（2）若,0)()(bfaf则存在0)(),(fba使（零点存在定理）。

（3）若实数A在)(),(bfaf之间，则存在Afba)(),(使（介值定值）。 （4）],[)(baxf在上一致连续，即任给||],[,,0,0yxbayx满足当存在 时便有|)()(|yfxf。 典型方法与例题

例1 设1(),()1fxffxx求（）

分析 由题意可知，时，，，因此当（）2111XXf

xxxxxxxfxfxff21111)(1)()(）（ 例2 若2(1)33()fxxxfx，求 分析 令t=x+1，则x=t-1。代入原式，则有13)1()(22ttttf 因此1)(2xxxf 例3 设的定义域求yxIny,)1( 分析 本函数由外到里可分解为y =1,,xvInvuu，先考 最外层函数，应有u≥0，因此需u=Inv≥0，从而知v≥1，进而知v=x-1≥1，可得所求定义域为x≥2 例4 选择题。当时，0x下列变量（ ）与x为等价无穷小量

A．xSinx B.xSinx C.xx11 D.xxSin1

分析 对于A.xxSinxxxSinxxx1lim/lim00 对于B.不是无穷小时，当xSinxxxSinxx0,1lim0 对于C.11111lim11lim0）（）（xxxxxxxxx 对于D.xxxSinx1lim0不存在,故选C. 例5 求xxaxax)(lim

分析 原式=aaaaxxxxaaxaxa22]211[lim)21(lim

=aaxaaaxxeaaxaax222]211[lim])211(lim[ 本例也可以利用以下列方法运算： 原式：axxxxxxexaxaxaxa2)1(lim)1(lim]11[lim

例6 当时1x，求：)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn

。

解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则

)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn

xxxxxxnn1

)1()1)(1)(1)(1(lim242



=

xxxxxnn1)1()1)(1)(1(lim2422 xxxnnn1)1)(1(lim22

xxnn11

lim

12

=

x11 (0lim,112nxxn时当)。

例7 求：)1ln()cos1(1cossin3lim20xxxxxx 解 )1ln()cos1(1cossin3lim20xxxxxxxxxxx21cossin3lim2023)1cossin3(lim210xxxxx。 例8 已知：211sin)(1lim30xxexxf，求：)(lim0xfx。 解 了 0)1sin)(1(lim0xxfx，0sin)(lim0xxfx