部编版数学四年级上册第3讲.超常体系

第 7 级下 超常体系 教师版 3
例题思路
模块一：三角形计数（例 1~例 3） 模块二：长方形计数（例 4，例 5） 模块三：正方形计数（例 6~例 8）
例1
数一数，下图中各有多少个三角形？
图1
图2
图3
图4 图5
【分析】 (1) 图中共有 4 3 2 1 10 个三角形. (2) 图中共有 (4 3 2 1) 2 20 个三角形. (3) 图中共有 (4 3 2 1)3 30 个三角形. (4) 图中共有 30 4 34 个三角形.（就在上题基础之上增加了四个以斜线和底边组合而成 的三角形） (5) 图中共有 34 10 4 1 49 个三角形（. 在图 4 基础上增加了下面的 10 个三角形和上下 合起来看的 4 个，还有斜线与下面图形结合的 1 个）
3. 长方形个数为: 长边上的线段数×短边上的线段数.
家庭作业
1. 下图中共有
个三角形．
【分析】20 个. 2. 下图中共有
个三角形.
【分析】一共有 10 个三角形．五角星的每个角上分别有 1 个小三角形，总共有 5 个；另外还有 5 个 较大的三角形，所以共有5 5 10 （个）三角形．
3. 下图中共有
第 3讲
3 根火柴棒可以摆成一个小三角形，如图，用很多根火柴棒摆成一个中空的大三角形，已 知大三角形最外面每条边都是 15 根火柴棒，摆成这个图形一共需要多少根火柴棒？
……
……
空
……
【分析】所有的火柴棒共有 3 种方向：“╱”、“╲”和“— ”． 大三角形最外面每条边都是 15 根火柴棒，最里面每条边都是 12 根 火柴棒，中间的火柴棒就从 3 种方向分别计算个数：“╱”的有 27 根， “╲”的有 27 根，“— ”的有 27 根，所以这个图形共需要
个正方形．
10 第 7 级下 超常体系 教师版
第 3讲
【分析】设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有 6 个，边长为 2 的正方形有 5 个，边长 为 4 的正方形有 2 个，边长为 6 的正方形有 1 个，边长为 8 的正方形有1个，所以总共有 6+5+2+1+1=15（个）．
第 7 级下 超常体系 教师版 7
例7
下图中共有___ _个正方形．
(学案对应：超常班学案 4) 【分析】每个 4 4 正方形中有：边长为 1 的正方形有 42 个；边长为 2 的正方形有 32 个； 边长为 3
的正方形有 22 个；边长为 4 的正方形有12 个；总共有 42 32 22 12 30 (个)正方形．现 有 5 个 4 4 的正方形，它们重叠部分是 4 个 2 2 的正方形．因此，图中正方形的个数是 305 54 130 ．
因此共有： 28 21 15 10 6 3 121 10 3 118 个三角形.
第 7 级下 超常体系 教师版 5
例4
数一数，下面各图中有多少个长方形？
图1
图2
图3
【分析】 图（1）中共有 (5 4 3 2 1) (2 1) 45 个长方形.
图（2）中共有 (5 4 3 2 1) (3 2 1) 90 个长方形.
本讲我们重点练习各种类型的“数格子”、“数组合图形”，初步学习归纳递推在计数中的应用．本 讲也是杯赛热点和难点，学生在学习本讲时容易轻敌，错误率很高，因此应该注重通法的学习，强 化模型意识.
1. 在数组合图形时，可以先将其分成若干基本图形，先数基本图形；但注意在把基本图形组 合起来的时候，并不是基本图形的简单相加，因为可能会有重复或有新的图形出现．
例8
一块木板上有 13 枚钉子（如左下图）．用一根橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方 形，梯形，等等（如右下图）．请回答：可以构成多少个正方形？
(学案对应：超常 123 班学案 4) 【分析】 如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有 5 个、1 个、4 个、1 个，共 11 个．
8 第 7 级下 超常体系 教师版
图（3）中共有 (7 6 5 4 3 2 1) (3 2 1) (3 2 1) (3 2 1) 58 个长方形.
自然界中的几何 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱 锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为 109 度 28 分，所有的锐角为 70 度 32 分，这样既坚固又省料.蜂房的巢壁厚 0.073 毫米，误差极小. 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是 110 度.更精确的 计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为 54 度 44 分 8 秒，而 金刚石结晶体的角度正好也是 54 度 44 分 8 秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？ 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也 很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案. 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学.因为球形使 身体的表面积最小，从而散发的热量也最少. 真正的数学“天才 ”是珊瑚虫.珊瑚虫在自己的身上记下“日历”.它 们每年在自己的体壁上“刻画”出 365 条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪 的是，古生物学家发现 3 亿 5 千万年前的珊瑚虫每年“画”出 400 幅“水彩 画”. 天文学家告诉我们，当时地球一天仅 21.9 小时，一年不是 365 天，而 是 400 天.
第 3讲
第三讲 几何计数初步
知识站牌
四年级寒假 包含与排除 四年级秋季 几何计数初步 四年级秋季
四年级暑假 体育比赛中的数学 加乘原理初步
四年级春季 统筹与最优化
结合加乘原理数图形
数学的发明是从计数开始的，那么是谁最早发明计数的呢？ 结绳计数的发明，相传是老祖先伏羲受到渔网启发而想到的.那时没有人知道什么叫数，也没有 人能够计数.伏羲联想到结渔网时绳子上的结头可以分出很多，于是就取来一条软绳，在渔网的绳子 上打结以计数.这样的方法很快就被流传开，粗粗细细打满结的绳子就成了一个记录本，不单可以用 来记录打鱼的收成 ，也可以把其它收获的东西一一记录下来 . 后来人们觉得结绳计数做起来太麻烦，就想到了新办法，在树枝上刻下痕迹.慢慢刻痕计数的方 法逐步推广，就形成了今天的图形和文字. 今天就让我们一起来学习数图形.
例5
由 20 个边长为 1 的小正方形拼成的一个 4 5 的大长方形中有一格有“☆”，则图中含有“☆”的所有
长方形（含正方形）共有
个.
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第 3讲
(学案对应：超常班学案 3、超常 123 班学案 4)
【分析】 根据鼠标法，☆左上角共有 6 个点，右下角有 8 个点，所以含有“☆”的长方形共有 68 48 （个）.
例6
在下面边长为 8 的大正方形中， (1) 一共有多少个正方形？ (2) 有多少个田字形？
(3) 有多少个 形？
(4) 有多少个
形？
(5) 有多少个面积为 1.5 的直角三角形？ (6) 有多少个面积为 3 的直角三角形？
【分析】 (1) 8×8+7×7+6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=204（个）； (2) 7×7=49（个）； (3) 每个田字格里有 4 个 L 形，49×4=196（个）； (4) 6×8×2=96（个）； (5) 96×4=384（个）； (6) 对应 2×3 的长方形或是 1×6 的长方形，2×3 的长方形共有 6×7×2=84（个），1×6 的长 方形共有 3×8×2=48（个），而每个长方形中有 4 个面积为 3 的直角三角形， （84+48）×4=528（个）.
2. 下图中三角形共有
个．
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【分析】不可分割的三角形有 7 个． 由 2 个不可分割的三角形构成的三角形有6 个． 由 3 个不可分割的三角形构成的三角形有 4 个． 由 5 个不可分割的三角形构成的三角形有2 个． 由 7 个不可分割的三角形构成的三角形有1个． 一共有三角形 7 6 4 2 1 20 个．
2. 注意分类、排除法、容斥关系和递归思想在计数中的运用． 3. 基本图形数法总结： 数线段的方法
一条线段上如果有 n 条基本线段，则线段总数为n (n 1) (n 2) …+1 条. 数正方形个数分类讨论，一般分成11, 2 2,33, 4 4,55
m n 型（ m 大于 n），正方形个数是： n m (n 1) (m 1) (n 2) (m 2) 1(m n 1) ； n n 方阵型，正方形个数是： n n (n 1) (n 1) (n 2)(n 2) 22 11 . 长方形个数为 ：长边上的线段数×短边上的线段数.
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例2
数一数，下图中三角形共多少个？
第 3讲
(学案对应：超常班学案 1、超常 123 班学案 1) 【分析】 （按形状分类）类似于△ABH 的三角形共有 6 个；类似于△AGH 的三角形共有 6 个；类
似于△ABJ 的三角形共有 12 个；类似于△ABC 的三角形共有 6 个；类似于△AEC 的三角 形共有 2 个．于是，图中共有三角形 6+6+12+6+2=32(个)．
【分析】 三角形的个数与 AB 边上的线段数一样多，也与 C 点处角的个数一样多，所以可按数线段 或数角的方法来数，共有4 3 2 1 10 （个）．
A
B
4. 图中共有
C
个不同的三角形．
【分析】只由 1 个小三角形组成的有 6 个；由 2 个小三角形组成的有 3 个；由 3 个小三角形组成的 有 6 个；还包括 1 个最大的三角形，共有 6+3+6+1=16 个．
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第 3讲
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