九个点

RQPO'GOMHLFEDNBCA九点圆与欧拉线

【九点圆（欧拉圆或费尔巴赫圆）】三角形中，三边中点、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。

九点圆具有许多有趣的性质,例如:

1、三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

2、九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

3、三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．

【欧拉线】

定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

欧拉线的性质：

1、在任意三角形中，以上四点共线。锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和

2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

3、欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．

部门管理9个关键点 管理者你知道吗？

--明阳天下拓展培训

作为部门领导者，你一定要知道这几个关键点。

一、以身作则：

1、衣着打扮，不能邋邋遢遢，随随便便地穿上人字拖到单位上班，即使单位对这块没有强制规定，但是也不能给下属留下一个如此印象，因为此时的衣着打扮也会影响到下属对你其他事情的职业技能有所怀疑;

2、行为举止，办公室礼仪行为都要遵守，不能让下属觉得你是一个很随便的，甚至不遵守办公室规章制度，这样影响下属对你的认可;

3、处事立人，做为领导要树立起自己的威信，这样更能让你的下属尽心的为你做事。

二、不要向下属表露太多的感情：

适当的与下属保持距离，一方面是对自己的隐私的保护，一种也是给下属树立一个威信，不然有些领导跟下属熟悉了，下属喧宾夺主，或是在有其他同事的场合中也是一样没大没小的;

三、遇到一些难办的事情与下属开会讨论，获得认可与支持：

当遇到一些比较复杂的事情，可以与下属一起讨论，一个人思考问题会暴露出很多不足，与多人讨论可以相互弥补不足之处，同时获得下属的认可与理解，下属明白事情的原委，才能明白执行的细节与更好的处理;

四、尊重下属及其成果：

有很多领导当上领导之后就变了官腔，对下属使唤来使唤去的，根本不把下属的当成人看，下属的自尊或是成果被践踏，心中肯定心怀不满，这样难以说明下属去做事了，更别谈做好事情了。

五、不要用质问的语气跟下属说话：

质问，给人一种责备的感觉，肯定会让人不开心，跟下属谈事可以以一种询问的方式进行。

六、明确岗位职责，清晰分配工作任务：

1、明确列出下属工作任务;

2、依据下属的性格、优缺点进行分配任务，比较善于交接的人员，比较适合招聘还有培训，比较细心内敛的下属比较适合于薪资管理工作;

七、多与下属沟通，倾听下属：

身为管理者，不能一个礼拜除了开会，几乎都没与下属沟通，作为管理者必须多与下属交谈，了解其工作状况、工作难点，只有更了解下属才能制定策略，更好去管理他们，同时多倾听下属的意见，将他们好的思路弥补自己的不足;

Java计算⼿机九宫格锁屏图案连接9个点的⽅案总数

（⼀）问题

九宫格图案解锁连接9个点共有多少种⽅案？

（⼆）初步思考

可以把问题抽象为求满⾜⼀定条件的1-9的排列数（类似于“⼋皇后问题”），例如123456789和987654321都是合法的（按照从上到下、从左

到右、从1到9编号），解决此类问题⼀般都⽤递归⽅法，因为问题规模较⼤，且没有明确的计算⽅法

（三）深度思考

不难想出下⾯的简单思路：

1.先穷举，再排除不合法结果（过滤穷举的结果）

⼤略估计⼀下复杂度，A99=362880（计算机应该可以接受），⽅案总数不超过A99，也就是说穷举的结果是A99，再滤去不合法的结果即

可，理论上此⽅法可⾏

2.按条件穷举（在穷举的过程中排除不合法结果）

1>正常思维

---a.选择起点位置（i,j）

---b.在起点周围寻找合法终点，规则如下：(共有12个⽅向)

------1.上(i - 1, j)--5.左上斜(i - 1, j - 1)---9.左上长斜(i - 2, j - 1)

------2.下(i + 1, j) -6.左下斜(i + 1, j - 1) -10.左下长斜(i + 2, j - 1)

------3.左(i, j - 1)--7.右上斜(i - 1, j + 1)--11.右上长斜(i - 2, j + 1)

------4.右(i, j + 1) -8.右下斜(i + 1, j + 1)-12.右下长斜(i + 2, j + 1)

---c.记录路径（起点 + 终点）

---d.判满，若路径长度⼩于9执⾏e步骤，否则执⾏f步骤

---e.终点变起点，返回a步骤

---f.输出结果（路径）

2>逆向思维

---a.排除（1.排除已选择的点2.排除从起点不能到达的点）得到临时剩余点集

---b.在临时剩余点集中选择下⼀个点

---c.判满，路径长度⼩于9，执⾏d步骤，否则执⾏e步骤

---d.执⾏a步骤

---e.输出结果（路径）

九点圆定理证明

I.内容:

\triangle ABC的三边中点D、E、F，三个高足I、J、K，垂心和顶点的连线的中点X、Y、Z,九个点共圆

该定理有以下四个推论

九点圆的圆心V是外心和垂心所连线段的中点,九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半;

证明:在\triangle ABC中，垂心是H,外心是O,连接线段AH, 又作BC的中点M,连接OM,故OM \perp BC,(垂径定理) 连接AO\cap OH于G,下面证明G是重心 (思路:让OM成为中位线并把AH转移) 作BD \perp

BC于B,连接CD,AD. 只需证AHBH是平行四边形，导角(因为\triangle

AIC \backsim \triangle BJC)可以证明AH\parallel DB且AH=DB 所以OM平行且等于\frac{1}{2}BC 所以\frac{MG}{GA}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2} 根据重心的相关判定和性质，可以得知G为\triangle ABC的重心 一个三角形的重心、垂心、内心共线，这就是欧拉线定理。

然后我们证明原定理

作AH的中点X,连接XM,交OH于V,易证\triangle VHX \cong

\triangle VOM 显然V是OH的中点(当然，也可以用V是OH的中点推出\triangle VHX \cong \triangle VOM) 所以VM=VX,又因为\triangle

MIX是直角三角形, 所以VM=VI=VH,所以V是\triangle MIX的外接圆，也是\triangle ABC的九点园。 原命题得证

垂心组A、B、C、H的四个三角形\triangle ABC、\triangle ABH、\triangle BCH、\triangle CAH有共同的九点圆,因此\triangle ABC的九点园实际上是垂心组A、B、C、H的九点圆.所以上面四个三角形半径相等;。