椭圆定义及标准方程

（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b

例： ( 1 ) 已知 F ， F 是两定点， F F 6 ，动点 M 满足 1 2 1 2
线段 MF MF 6 ，则动点的轨迹为 ___ 1 2
(2 ) 已知 A （ -1 ,0 ）， B ( 1 ,0 ), M 是一个动点 M 到 AB 两点的距离之和为 6 ，
椭圆 则 M 的轨迹为 ______
3 2 2
+
2 5 +2 2
+
3 2 2
+
2 5 -2 =2 2
10.即
������2 ������2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 10 6
反思根据已知条件,判定焦点的位置,设出椭圆的方程是解决此
题的关键.
“神五”飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地 球半径为R公里，飞船的近地点距地球地面200公里，远 地点距地球地面350公里，则飞船的椭圆轨道的标准方程 为——
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
·
· F
1
·
F2
一、椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于定长 (2a)（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16
【典型例题 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的 距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - ,

5、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 3 5 则其离心率e=__________
点 6、 P是椭圆
x2 a2 y2
(±a,0) b2 1上的动点，当P的坐标为时，
(0, ±b) a P到原点O的最大距离为；当P的坐标为时，
b P到原点O的最小距离为-------------；设F1 （c,0),则当P的 坐标为 (-a,0) 时， 的最大值为 a+c ；则当P的 PF
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
练习2 给定B、C两点，且 BC 8，△ABC 的周长为18。建立合适的坐标系，求动点A 的轨迹方程？
y A
AB AC 10
x
B (-4, 0)
O
C (4, 0)
x y 1 y 0 25 9
2
2
题型三
椭圆定义的应用
2 2
例3
x y 已知椭圆 2 2 （a>b>0）, 1 a b F1 ,F2是它的焦点，AB是过F1的 直线与椭圆交于A、B两点，求 ABF2的周长。
a 2 b2 c 2
B1F1 B1F2 B2 F1 B2 F2 a
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
c 椭圆的焦距与长轴长的比e a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 0<e<1

椭圆及其标准方程椭圆是一种特殊的曲线，与圆形相似，但略有变形。

它在数学、几何学和物理学等领域中具有重要的应用。

本文将介绍椭圆及其标准方程，包括椭圆的定义、性质、参数方程和标准方程。

椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，它们确定了椭圆的形状和大小。

椭圆的形状由椭圆的离心率确定，离心率是焦点距离的比例离心率小于1，等于1时是一个圆形，大于1时是一个双曲线。

椭圆的性质：1.对于给定的两个焦点和恒定的距离之和，椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和始终相等。

2.椭圆的中心是两个焦点的中点。

3.椭圆的长轴是两焦点之间的距离，短轴是椭圆的纵坐标轴上的最大距离。

4.椭圆的离心率定义为焦距除以长轴。

离心率小于1，等于1时是一个圆，大于1时是一个双曲线。

5.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。

椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点。

假设椭圆的中心是原点，长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。

则椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的取值范围是[0,2π]，每个t对应椭圆上的一个点。

椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是一种用代数表达式来描述椭圆的方程。

标准方程基于椭圆的中心和长轴短轴的定义。

假设椭圆的中心是(h,k)，长轴和短轴的长度分别是2a和2b。

则椭圆的标准方程为：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1标准方程的推导：为了推导椭圆的标准方程，我们可以先考虑椭圆的定义。

由于椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数，我们可以设椭圆上一个点的坐标为(x,y)。

根据焦点的位置，我们可以得到以下两个方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a其中c为焦点到原点的距离。

由于离心率的定义为e=c/a，我们可以得到c=ea。