状态空间模型在海洋波能转换系统中的应用__单个矩形振荡浮子装置运动受力分析的解析
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0 - 1/ M t ] , 1 0] ,
T
其中 , M t = - ( M + m ∋ ) , m ∋ 为与频率无关的附加质量 ; W 0 = gS ; a i 和 b i ( i = 1, 2, &, n ) 为 系统矩阵参数. 式 ( 2) 和 ( 3) 的通解为 y( t) = ( t) = Ce
2 2
( 12 ) ( 13 ) ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) 比较前面给出的辐射势和绕射势数学模型可以看出, 除了物面上的边界条件不同之外, 两
个模型的控制方程和其他边界条件完全相同 , 因此可采用相同的方法来求解辐射势和绕射势 . 这里采用特征函数展开法来求这两个定解问题的解析解 . 首先将流体计算域划分成 + , 和 ,三个子域, 如图 1 所示 . 这三个子域的辐射势分别记为 %r1 , %r2 和 %r3 ; 绕射势分别记为 ∀ d1 , ∀ d2 和 ∀ d3 . 为了得到未知的辐射速度势和绕射速度势的表达式, 对每一子域采用分离变量 法, 得到的表达式为正交函数的无穷级数 , 它们满足除子域交接处 x = ) a 外的所有边界条 件, 然后通过在 x = ) a 处给出的压力和速度连续性条件来确定级数中的系数 . 3 1 辐射速度势的表达式 采用分离变量法 , 可以得到每一个子区域用正交级数表示的空间速度势 . 在 + , 辐射速度势的表达式分别为
图1 装置几何特征
状态空间模型 根据牛顿第二定律, 图 1 所示的振荡浮子在波浪作 ( 1) 为水的密度 , S 为浮体的底
用下的垂向运动方程为 M% ( t ) = f e( t ) + f r ( t ) + f s( t ) ,
式中, M 和 % ( t ) 分别为浮体的质量和运动加速度 ; f e( t ) 为波浪产生的激励力 ; f r ( t ) 为波浪辐 射作用力; f s( t ) 为作用在浮体上的恢复力, f s ( t ) = - gS ( t ) , 面面积, g 为重力加速度 , t 为时间. 由式 ( 1) 可建立如下的状态空间模型[ 16] : X ( t ) = AX ( t ) + Bu ( t ) , y ( t ) = ( t ) = CX ( t ) , ( 2) ( 3)
2
( 9)
∀ i , ∀ d 和 ∀ r 均满足式( 8) . 考虑单位振幅的线性入射波作用, 对于本文问题 , 入射势可表示为
( 10 )
式中 , i= - 1; ∃ 为波浪圆频率; k 为波数, 由色散关系 k t anh( kh 1 ) = ∃ / g 确定 ; h 1 为水深 . 2 2 1 辐射势数学模型 假定图 1 所示的振荡浮子在垂向运动的振幅为 A r , 浮子运动产生的辐射速度势 ∀ r 为[ 5] ∀ r = Re [ - i ∃A r %r ( x , z ) ] , ( 11 )
式中 , X ( t ) = [ x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , &, x n - 1 ( t ) , x n ( t ) , ( t ) , ( t ) ] T , 为状态变量 , ( t ) 为浮子运 动位移, ( t ) 为浮子运动速度; u ( t ) = f e ( t ) , 为输入量 ; y ( t ) 为输出变量 ; A, B 和 C 为总系统 矩阵 , 它们的形式分别为
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海洋学报
10]
26 卷
为两大类 , 一类是解析方法[ 1~
, 另一类是数值方法[ 11~
15]
.
本文将分析单个矩形振荡浮子波能装置在常水深无限域中受波浪作用产生的运动, 对于 该问题, 数值方法与解析方法相比 , 不仅精度要差一些 , 而且效率要低得多 , 因此本文将研究求 解这种问题的解析方法. 就笔者所知 , 关于波浪激励力计算的解析方法至少有两种 , 一种是利 用入射势和辐射势的解析表达式来求解波浪力, 另一种是利用入射势和绕射势的解析表达式 来求解波浪力 . 对于第一种方法首先求出装置运动产生的辐射势的解析表达式, 然后利用 Haskind 关系由辐射势和入射势来计算波浪激励力 . 这种方法虽然看起来简单 , 然而由 于需要计算辐射势与波浪入射势的法向梯度的乘积在整个浮体淹没表面上的积分, 因此其计 算比第二种方法要复杂得多. 由于过去采用解析方法求解波浪激励力多用此法 , 因此本文称 其为经典方法. 对于第二种解析方法首先得到绕射势的解析表达式, 然后根据入射势和绕射势 来求解波浪激励力 , 这种解析方法到目前为止应用相对较少, 而在数值方法中很多研究者 根据入射势和绕射势来求解波浪激励力 . 本文方法与过去方法的最大不同在于波浪激励力的计算. 首先运用特征函数展开法得到 绕射势的解析解 ( 该解析解与过去一些研究者 得到的解析解不同) , 然后由得到的绕射势 以及已知的波浪入射势来求解波浪激励力. 为完整起见 , 本文还给出了根据辐射势和入射势 求解波浪激励力的积分表达式 , 并将两种方法进行了对比, 结果表明, 本文方法更为优越.
1期
郑永红等 : 状态空间模型在海洋波能转换系统 中的应用
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0 1 0 A= 0 0 0 B= 0 0 0 C = [0
0 0 0 0 0 0
& & & & & &
0 0 0 1 0 1
- a1 - a2 - a n- 1 - an 0 1/ M t
T
0 0 0 0 0 W 0/ M t
b1 b2 b n- 1 bn 1 0 ( 5) ( 6) , ( 4)
A ( t- t )
0
X ( t 0) +
(Ce
t t0
A ( t- !)
Bu ( !) d !.
( 7)
显然, 如果已知初始条件 X ( t 0 ) 、 系统矩阵 A, B 和 C 以及系统输入 u ( t ) = f e ( t ) , 则可得到 ( t ) 在任一时刻 t 的解 . 对初始条件 X ( t 0 ) 一般说来可预先给定, 确定系统矩阵 A, B 和 C 的 有效方法在文献 [ 17] 中已进行了详细介绍, 因此本文的重点是研究浮子所受的波浪激励力和 辐射力的解析方法. 2 2 辐射势和绕射势数学模型 由于本文考虑的线性波时间因子可以分离 , 因此下面的问题都是在频域内考虑的. 假定 流体不可压、 流动无旋, 则存在速度势 ∀ 满足拉普拉斯方程 . 对于本文问题 , 二维拉普拉斯控 制方程为 #2 ∀ # 2 ∀ 2 + 2 = 0. #x #z ( 8)
荣1
( 1. 中国科学院 广州能源研究所 , 广 东 广州 510070; 2. 大连理工大学 海岸和近海工程国家重点
摘要: 对线性入射波作用下的矩形振荡浮子运动受力分析给出了一种新的解析方 法. 对该方法首先采用特征函数展开法得到绕射速度势的一种新解析式, 然后直接 由绕射势和入射势来计算波浪激励力. 与经典方法相比可以看出 , 对于立面二维问 题, 由于绕射势和辐射势的计算量相当, 因此该方法比过去常用的解析法更为简单 . 为了验证方法的正确性, 采用该方法对过去文献介绍的经典算例进行了计算, 得到了 与过去方法完全一致的结果, 从而证明该方法是正确的 . 关键词: 状态空间模型 ; 振荡浮子装置 ; 垂荡运动 ; 波浪力 ; 解析方法
−
和 ,区
%r1 =
n= 1
- & ( x - a) A 1 n cos[ & , n ( z + h 1) ] e n
( 24 )
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郑永红等 : 状态空间模型在海洋波能转换系统 中的应用
−
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%r2 = %p r + A 21 x + B 21 +
n= 2 −
[ A 2 n e∋n ( x + a) + B 2 n e- ∋n ( xa)
第 26 卷
第1期
海
洋
学
报
Vol. 26, N o. 1 Januar y 2004
2004 年 1 月
ACT A OCEANOL OGICA SINICA
状态空间模型在海洋波能转换系统中的应用
单个矩形振荡浮子装置运动受力分析的解析方法
郑永红1 , 游亚戈1 , 沈永明2 , 吴必军1 , 刘
实验室 , 辽宁 大连 116023)
[ 4, 7] [ 4, 7] [ 2, 3, 5]
2
数学模型
为简单起见 , 这里考虑单个矩形浮子( 视作刚体) 在线性入射波作用下产生的垂荡运动, 其 几何特征和坐标布置如图 1 所示. 坐标原点定义在静水 面上 , z 轴垂直向上为正 , x 轴向右为正( 这里假定浮子 在 y 方向为无限长, 因此考虑的问题是二维的 ) . 浮子 占据的空间为 - a # x # a , z ∃- d 1 , d 1 为浮子吃水深 度. 2 1
收稿日期 : 2002- 08- 25; 修订日期 : 2003- 06- 02. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 59976047, 59979025) ; 国家 十五! 863! 计划项目资助 ( 2001AA 516010) ; 国家杰 出青年基金资助项目 ( 50125924) . 作者简介 : 郑永红 ( 1970 ∀ ) , 男 , 安徽省潜山 县人 , 研究员 , 博士 , 从事 近海 海洋 环境水 力学 和海 洋能 方面的 研究 . Email: zhengyh@ ms. giec. ac. cn
对于速度势 ∀ 又可分解为波浪入射势 ∀ i , 物体存在且不动时引起的绕射势 ∀ d 和物体运动时 产生的辐射势 ∀ r ( 这里仅考虑浮子运动的垂向模式产生的辐射速度势 , 其求解方法适用于其 他模式的辐射势 ) , 即 ∀ = ∀ i + ∀ d + ∀ r, ( 频域上) ∀i = ig cosh [ k( z + h 1) ] exp( ikx ) , ∃ cosh ( kh 1 )
