2006年湖南高考数学文科卷及答案
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2006年湖南高考试卷
科目：数学（文史类）
（试题卷）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。考生在答题卡上按如下要求答题：
（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。
（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。
（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷共5页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
姓 名
准考证号
绝密★启用前
数 学（文史类）
本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.
参考公式:
如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB
如果事件A、B相互独立，那么)()()(BPAPABP
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是()(1)kknknnPkCPP
球的体积公式 343VR,球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数xy2log的定义域是
A．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)
2．已知向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b；2tt时，ba，则
A．1,421tt B. 1,421tt
C. 1,421tt D. 1,421tt
3. 若5)1(ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是
A．-2 B. 22 C. 34 D. 2
4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是
A．π B. 2π C. 3π D. 32
5．“a=1”是“函数axxf)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A．6 B. 12 C. 18 D. 24
7．圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是
A．36 B. 18 C. 26 D. 25
8．设点P是函数xxfsin)(的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值4，则)(xf的最小正周期是
A．2π B. π C. 2 D. 4
9．过双曲线M：1222hyx的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且BCAB，则双曲线M的离心率是
A．25 B. 310 C. 5 D. 10
10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是
A．)43,41( B. )32,32(
C. )43,41( D. )57,51(
二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题号的横上.
11. 若数列na满足：1.2,111naaann，2，3„.则naaa21 .
12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.
13. 已知022011yxyxx则22yx的最小值是 .
14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有
条.
15. 若)4sin(3)4sin()(xxaxf是偶函数，则a= .
A B
O M
图1 三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分１２分）
已知),,0(,1cos)cos()22sin(sin3求θ的值.
17.（本小题满分１２分）
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
18.（本小题满分１4分）
如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与
Q-ABCD的高都是2，AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
Q B C P
A D
图2 19.（本小题满分14分）
已知函数axaxxf313)(23.
（Ｉ）讨论函数)(xf的单调性；
（Ⅱ）若曲线)(xfy上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.
20.（本小题满分14分）
在m（m≥2）个不同数的排列P1P2„Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(nnn的逆序数为an，如排列21的逆序数11a，排列321的逆序数63a.
（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；
（Ⅱ）令nnnnnaaaab11，证明32221nbbbnn，n=1,2,„.
21.（本小题满分14分）
已知椭圆C1：13422yx，抛物线C2：)0(2)(2ppxmy，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当xAB轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）若34p且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
参考答案：
1－10：DCDAABCBCDC
11.12n, 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .
1．函数xy2log的定义域是2logx≥0，解得x≥1，选D.
2．向量),2,1(),,2(bta若1tt时，a∥b，∴ 14t；2tt时，ba，21t，选C.
3．5)1ax（的展开式中3x的系数332335()(1)10Caxax=80x3， 则实数a的值是2，选D
4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是21R=1，该截面的面积是π，选A.
5．若“1a”，则函数||)(axxf=|1|x在区间),1[上为增函数；而若||)(axxf在区间),1[上为增函数，则0≤a≤1，所以“1a”是“函数||)(axxf在区间),1[上为增函数”的充分不必要条件，选A.
6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有336A种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A种方法，共有12种方法，选B.
7．圆0104422yxyx的圆心为(2，2)，半径为32，圆心到到直线014yx的距离为|2214|252>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62，选C.
8．设点P是函数xxfsin)(的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值4，∴ 最小正周期为π，选B.
9．过双曲线1:222byxM的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1, 若l与双曲线M的两条渐近线2220yxb分别相交于点1122(,),(,)BxyCxy, 联立方程组代入消元得22(1)210bxx，∴ 1221222111xxbxxb，x1+x2=2x1x2，又||||BCAB,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得121412xx，∴ b2=9，双曲线M的离心率e=10ca，选D.
10．如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OByOAxOP，
由图知，x<0，当x=－41时，即OC=－41OA，P点在线段DE上，CD=41OB，CE=45OB，而41<43<45，∴ 选C.
二．填空题：
11.12n； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .
11．数列na满足：111,2, 1nnaaan，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴
naaa21212121nn.
12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是409050818590分.
13．已知022011yxyxx，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22yx的最小值是5.
14．过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条。
15．2222()sin()3sin()(sincos)3(sincos)442222fxaxxaxxxx是偶函数，取a=－3，可得()32cosfxx为偶函数。
16. 解 由已知条件得1coscos2cossin3.
