【数学】四川省资阳市2018届高三4月模拟考试(三诊)数学(文)试题含解析

四川省资阳市2018届高三数学第二次诊断性考试试题 文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20}A x x x =--<，2{|1}B x x =≤，则AB =A. {}21x x -<<B. {}21x x -<≤C. {}11x x -<≤D. {}11x x -<<2．复数z 满足(12i)32i z -=+，则z =A. 18i 55-+B. 18i 55--C. 78i 55+D. 78i 55-3．已知命题p ：0(03)x ∃∈，，002lg x x -<，则p ⌝为 A. (03)x ∀∈，，2lg x x -< B. (03)x ∀∈，，2lg x x -≥ C. 0(03)x ∃∉，，002lg x x -<D. 0(03)x ∃∈，，002lg x x -≥ 4．已知直线1:(2)20l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为 A.－1或2B. 0或2C. 2D.－15．若1sin(π)3α-=，且π2απ≤≤，则sin 2α的值为A. -B. -6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.2πB. πC.23πD. 2π 7．为考察A 、B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A. 药物A 、B 对该疾病均没有预防效果B. 药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果C. 药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果D. 药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果8．某程序框图如图所示，若输入的a b ，分别为12，30，则输出的=aA. 4B. 6C. 8D. 109．若点P 为抛物线C ：22y x =上的动点，F 为C 的焦点，则||PF 的最小值为A. 1B.12C.14D. 1810．一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为A. π45+B. 2π45+C. π54+D. 2π54+11．已知函数()ln f x x =，它在0x x =处的切线方程为y kx b =+，则k ＋b 的取值范围是A. (,1]-∞-B. (,0]-∞C. [1)+∞，D. [0)+∞，12．边长为8的等边△ABC 所在平面内一点O ，满足23OA OB OC -=-0，若19||OP =则||PA 的最大值为A.B.C.D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

资阳市2018—2018学年度高中三年级第三次高考模拟考试数学（理工农医类）参考答案与评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1-5. BCDBA ；6-10. DCBDA ；11-12. DC.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13；14．；15．38；16．34. 三、解答题：本大题共6个小题，共74分． 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）在终边l 上取一点(1,2)P --，则2tan 21α-==-， ··································2分 ∴ 2224tan 2123α⨯==--． ·········································································4分（Ⅱ）22cos 2sin()127)4ααππα----cos 2sin )4ααπα+=+cos 2sin cos sin αααα+=- ························8分 12tan 12251tan 12αα++⨯===---． ·····································································12分 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）设“每位工人通过上岗测试”为事件A ，则1114()1(1)(1)(1)5225P A =----=．····························································3分【或1111114()(1)(1)(1)5525225P A =+-⨯+--⨯= ···············································3分】∴4位工人中恰有2人通过测试的概率为22244196()()55625P C =⋅=． ···················6分 （Ⅱ）ξ的取值为1、2、3．1(1)5P ξ==，112(2)(1)525P ξ==-⨯=，112(3)(1)(1)525P ξ==-⨯-=． ·············9分 故工人甲在上岗测试中参加测试次数ξ的分布列为分122111235555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． ································································12分 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）连接DO ，BO ∥CD 且BO=CD ，则四边形BODC 是平行四边形，故BC ∥OD ，又BC ⊥AB ，则BO ⊥OD ，因为PO ⊥平面ABCD ，可知OD 、OB 、OP 两两垂直，分别以OD 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ··············································2分设AO =1，则(0,2,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)D ，(0,1,1)E -，(0,0,2)P ，则(0,1,1)PE =--，(0,2,2)PB =-，(2,0,0)BC =． 则0PE PB ⋅=，0PE BC ⋅=，故PE ⊥PB ，PE ⊥BC ，又PB ∩BC =B ，∴PE ⊥平面PBC ． ······································ 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PBC 的一个法向量1(0,1,1)n PE ==--，设面PBD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，(0,2,2)PB =-，(2,2,0)BD =-，由220,0,n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,220,y z x y -=⎧⎨-=⎩取2(1,1,1)n =，则121212cos ,||||2n n n n n n ⋅<>===⋅ 故二面角C －PB －D 的大小为 ···················································8分 （Ⅲ）存在满足条件的点M ． ···································································9分由（Ⅰ）可知，向量PE 是平面PBC 的一个法向量，若在线段PE 上存在一点M ，使DM ∥平面PBC ，设PM PE λ=，则(2,0,2)(0,1,1)(2,,2)DM DP PM λλλ=+=-+--=---，由0DM PE ⋅=， 得(2)0λλ--=，∴1λ=，即M 点与线段PE 的端点E 重合． ·······················12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）点A 、B 、P 、F 的坐标分别为2(,0)a A c ，(0,)B b -，2(,)b P c a，(,0)F c ，直线AB 的方程为21x y a bc+=-，令x c =，则32b y a =，知32(,)bD c a ，∵2OD OF OP =+，∴3222(,)(,0)(,)b bc c c a a=+，则3222b b a a=，∴2a b =，∴c e a==． ·····························································4分 【另解：点A 、B 、P 、F 的坐标分别为2(,0)a A c ，(0,)B b -，2(,)b P c a ，(,0)F c ，∵2OD OF OP =+，∴点D 的坐标为2(,)2b c a ，2(,)a AB b c =--，22(,)2a b AD c c a=-，由AB 与AD 共线，得222()()()2a a b c b cc a-⋅-=-⋅，即有2a b =，∴c e a ===． ·························································4分】（Ⅱ）∵2a =，∴1b =，双曲线的方程是2214x y -=，知直线l 的斜率存在，设直线l方程为2y kx =-，联立方程组221,42,x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得22(14)16200k x kx -+-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由222140,(16)80(14)0,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得254k <且214k ≠． ···························6分 ∴1221641k x x k +=-，1222041x x k =-．2121212121212(2)(2)(1)2()4OM ON x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+--=+-++， ·······8分 222222220(1)32416174141414141k k k k k k k ++=-+==+----， ···········································10分 ∵2504k ≤<且214k ≠，∴21717(,17](,)414k ∈-∞-+∞-，则OM ON ⋅的范围是21(,16](,)4-∞-+∞． ··················································12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）22()()ln g x x af x x a x =-=-，()2ag x x x'=-，(1)20g a '=-=，∴2a =． ········2分而()h x x =-()1h x'=-()10h x '=->得1x >；令()10h x '=<得01x <<．∴函数()h x 单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(0,1)． ····················4分（Ⅱ）∵21x e <<，∴0ln 2x <<，∴2ln 0x ->，欲证2()2()f x x f x +<-，只需要证明[2()]2()x f x f x -<+，即证明2(1)()1x f x x ->+， ····6分记2(1)2(1)()()ln 11x x k x f x x x x --=-=-++，∴22(1)()(1)x k x x x -'=+， 当1x >时，()0k x '>，∴()k x 在(1,)+∞上是增函数，∴()(1)0k x k >=，∴()0k x >，即2(1)ln 01x x x -->+，∴2(1)ln 1x x x ->+，故结论成立． ·································································8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知2()2l n g x x x=-，()h x x =-，∴C 2对应的表达式为1()6h x x =-，问题转化为求函数2()2ln g x x x =-与1()6h x x =-图象交点个数．故只需求方程22ln 6x x x -=-，即22ln 6x x x =-++根的个数． ·····10分设2()2ln h x x =，23()6h x x x =-++，22()h x x'===(0,4)x ∈时，2()0h x '<，2()h x 为减函数；当(4,)x ∈+∞时，2()0h x '>，2()h x 为增函数．而223125()6()24h x x x x =-++=--+，图象是开口向下的抛物线．作出函数2()h x 与3()h x 的图象，3125()24h =，而22111()2ln 2ln 2()222h h ==<可知交点个数为2个，即曲线C 2与C 3的交点个数为2个． ··················································12分 22．（本小题满分14分）（Ⅰ）令2log 1y x =-，则12y x +=，故反函数为11()2x f x -+=，∴122n n S n +++=，则122n n S n +=--，11b =， ············································2分 2n ≥时，121n n S n -=--，∴121n n n S S --=-，即21n n b =-（2n ≥），11b =满足该式，故21n n b =-． ·······················································································4分（Ⅱ）∵121111()(2,*)n n n a b n n b b b -=+++≥∈N ， ∴121111n n n a b b b b -=+++，111211111n n n na b b b b b ++-=++++， ∴111n n n n n a a b b b ++-=，从而1111n n n n n n na a ab b b b +++=+=， ∴111(2,*)n nn n a b n n a b +++=≥∈N ． ···································································8分 （Ⅲ）11b =，23b =，11a =，23a =，当1n =时，左边1110123a =+=<=右边． ·····················································9分当2n ≥时，由（Ⅱ）知1231111(1)(1)(1)(1)n a a a a +++⋅⋅+3121231111n n a a a a a a a a ++++=⋅⋅⋅⋅3121123411111n n n a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅⋅⋅ 32134123n n n b b b a b b b ++=⋅⋅⋅⋅⋅12111223n n n n a ba b b ++++=⋅⋅=⋅ 12111112()n nb b b b -=++++． ·····································································11分 而1211111111321n n n b b b b -++++=+++-． 法一、当2k ≥时，1111121221(21)(21)(21)(21)k k k k k k k ++++-=<-----1112()2121k k +=--- ∴111321n +++-2334111111112[()()()]212121212121n n +<+-+-++-------111512()3213n +=+-<-，∴123111110(1)(1)(1)(1)3n a a a a +++⋅⋅+<． ···················································14分法二：原不等式只需证：1211111102()3n n b b b b -++++<，即2311122121213n +++<--- ∵2n ≥时，2321122112222222n n n n n -----=++++++≥+232n -=⋅，∴22231111111[1()()]2121213222n n -+++<++++---11213312<⋅=-． 即原不等式成立． ··················································································14分。

数学（理工农医类）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．设全集U=R ，集合{|1}A x x =≥-，集合{|13}B x x =-<<，则下列关系中正确的是（A ）B A ∈（B ）A B ⊂≠（C ）B A ⊂≠（D ）U ()A B =R ð2．设i 为虚数单位，复数21(1)1i i ++=-（A ）-i （B ）i （C ）-2i （D ）2i3．已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为T π=，则该函数图象的一个对称中心的坐标是（A ）(,0)3π（B ）(,0)6π（C ）(,0)12π（D ）(,0)3π-4．二项式61()x x -展开式中的第四项为（A ）-15 （B ）15（C ）-20 （D ）205．已知2()ln(1)f x x x =++，则0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆（A ）5 （B ）52 （C ）2 （D ）1 6．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AB 1与面ABC 1D 1所成的角等于（A ）30 （B ）45（C ）60（D ）907．在等差数列{}n a 中，21250a a +=，413a =，则数列{}n a 的公差等于 （A ）1 （B ）4 （C ）5 （D ）68．已知α、β是两个不重合的平面，l 是空间一条直线，命题p ：若α∥l ，β∥l ，则α∥β；命题q ：若α⊥l ，β⊥l ，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（A ）命题“p 且q ”为真 （B ）命题“p 或q ”为假（C ）命题“p 或q ”为真 （D ）命题“⌝p ”且“⌝q ”为真9．如图3，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，若以该椭圆的右焦点F 2为圆心的圆经过坐标原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于（A ）23 （B ）（C ）49 （D ）10．从A 、B 、C 、D 、E 、F 这6名运动员中选派4人参加4×100接力赛，参赛者每人只跑一棒，其中第一棒只能从A 、B 中选一人，第四棒只能从A 、C 中选一人，则不同的选派方案共有（A ）24种 （B ）36种 （C ）48种 （D ）72种11．过直线21y x =+上的一点作圆22(2)(5)5x y -++=的两条切线l 1、l 2，当直线l 1，l 2关于直线21y x =+对称时，则直线l 1、l 2之间的夹角为（A ）30 （B ）45 （C ）60（D ）9012．在区间[0，1]上任意取两个实数a 、b ，则函数31()2f x x ax b =+-在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为（A ）18 （B ）14 （C ）34（D ）78资阳市2008-2009学年度高三第三次模拟考试数学（理工农医类）试题第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．13．已知函数2()2(1)f x x x x =+≥-的反函数为1()f x -，则1(3)f -= . 14．抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为2，则点P 的坐标是 .15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱底面边长为1面积是_____________．16．△ABC 中 ，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，AH 为BC 边上的高，给出以下四个结论：①()0AH AC AB ⋅-=；②()AH AB BC AH AB ⋅+=⋅；③若0AB AC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形；④sin ||AHAC c B AH ⋅=．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知sin()4πα-=，tan 7β=，其中,(0,)2παβ∈． （Ⅰ）求sin α的值； （Ⅱ）求αβ+．18．（本小题满分12分）某校要组建一支篮球队，需要在高一各班选拔预备队员，按照投篮成绩确定入围选手，选拔过程中每人最多有5次投篮机会．若累计投中3次或累计3次未投中，则终止投篮，其中累计投中3次者直接入围，累计3次未投中者则被淘汰．已知某班学生甲每次投篮投中的概率为23，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求学生甲最多投篮4次就入围的概率；（Ⅱ）设学生甲投篮次数为随机变量ξ，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．19．（本小题满分12分）如图4，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD =CD =DE =2，AB =1，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；（Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥A -BCE 的体积．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x tx =+（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当e t =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设不等式()0f x >的解集为P ，且集合{}|02x x P<≤⊆，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知动圆G过点(2, 0)M，并且与圆22(2)4N x y++=：相外切，记动圆圆心G的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）直线l过点M且与轨迹E交于P、Q两点：①设点(0,4)H-，问：是否存在直线l，使||||HP HQ=成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．②过P、Q作直线12x=的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记||||||PA QBAB+=λ，求λ的取值范围．22．（本小题满分14分）数列{a n}中，11a=，232a=，且2112n n na a a c+=-+（其中n∈N*，c为常数，且1c>）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）证明不等式：112n na a+≤<<；（Ⅲ）比较11nk ka=∑与14039na+的大小，并加以证明．参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1-5：CDACB ； 6-10：ABCDB ； 11-12：CD.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 13．1； 14．(1,2)±； 15．4π； 16．①②④．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）∵(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，∵sin()4πα-=，∴cos()4πα-=． ··············· 2分 则sin αsin[()]44ππα=-+))44ππαα=-+- ········· 4分45=+=． ····················· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，(0,)2πα∈，3cos 5α=，则4tan 3α=． ······ 8分则47tan tan 3tan()141tan tan 173αβαβαβ+++===---⨯． ·············· 10分∵,(0,)2παβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴34παβ+=-． ··········· 12分18．解：（Ⅰ）设“学生甲投篮3次入围”为事件A ；“学生甲投篮4次入围”为事件B ，且事件A 、B 互斥． ····························· 1分则328()()327P A ==； ························· 3分2232128()()33327P B C =⨯⨯⨯=． ····················· 5分故学生甲最多投篮4次就入围的概率为8816()272727P A B +=+=． ······ 6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则22211(3)()()333P ==+=ξ， ··· 7分 22223321212110(4)()()33333327P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， ············ 8分 2224218(5)()()13327P C ξ==⨯⨯⨯=． ··················· 9分则ξ10分故11081073453272727E ξ=⋅+⋅+⋅=． ··················· 12分19．解：方法一 （Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF ．又∵AC =AD ，F 为CD 中点，∴AF ⊥CD ，因CD ∩DE =D ， ∴AF ⊥平面CDE . ··························· 4分（Ⅱ）延长DA ，EB 交于点H ，连结CH ，因为AB ∥DE ，AB =12DE ，所以A 为HD 的中点．因为F 为CD 中点，所以CH ∥AF ，因为AF ⊥平面CDE ，所以CH ⊥平面CDE ，故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角，而△CDE 是等腰直角三角形，则∠DCE =45°，则所求成锐二面角大小为45°． ············· 8分（Ⅲ）12112ABC S ∆=⨯⨯=，因DE ∥AB ，故点E 到平面ABC 的距离h 等于点D 到平面ABC 的距离，也即△AB C 中AC 边上的高2h == ················· 10分∴三棱锥体积A BCE E ABC V V --=三棱锥三棱锥113=⨯． · 12分 方法二 （Ⅱ）取CE 的中点Q ，连接FQ ，因为F 为CD 的中点，则FQ ∥DE ，故DE ⊥平面ACD ，∴FQ ⊥平面ACD ，又由（Ⅰ）可知FD ，FQ ，FA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图坐标系，则F （0，0，0），C （1-，0，0），A （0，0，B （0，1，E （1，2，0）．平面ACD 的一个法向量为(0,1,0)FQ =， ···················· 5分设面BCE 的法向量(,,)n x y z =，(1,1,3),(2,2,0)CB CE ==则0,0,n CB n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220,x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取(1,1,0)n =-．则0cos ,||||FQ n FQ n FQ n ⋅-<>==． ······· 7分∴面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小为45°． ·· 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知面BCE 的一个法向量为(1,1,0)n =-，(0,1,0)AB =．点A 到BCE的距离||0||AB n dn ⋅-===． ······················· 10分又BC ，BECE =，△BCE的面积12BCE S ∆=⨯ 11分三棱锥A -BCE 的体积13V ==． ··············· 12分20．解：（Ⅰ）当e t =-时，()e e x f x x =-，()e e xf x '=-． ·········· 1分由()e e >0x f x '=-，解得1x >；()e e <0xf x '=-，解得1x <． ······ 3分 ∴函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；单调递减区间是(,1)-∞． ······ 4分（Ⅱ）由不等式()0f x >的解集为P ，且{}|02x x P<≤⊆，可知，对于任意(0,2]x ∈，不等式()0f x >恒成立，即e 0x tx +>即e xt x >-在(0,2]x ∈上恒成立． ······· 6分令e ()x g x x =-，∴2(1)e ()xx g x x -'=． ·················· 8分当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时，()0g x '<．∴函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,2)上单调递减． ·········· 10分 所以函数()g x 在1x =处取得极大值(1)e g =-，即为在(0,2]x ∈上的最大值． ∴实数t 的取值范围是(,)e -+∞． ··················· 12分21．解：（Ⅰ）由已知 ||||2||4GN GM MN -=<=，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支． ································· 2分设方程为22221()x y x a a b -=≥，则2c =，22a =，∴23b =． ·········· 3分 故轨迹E 的方程为221(1)3y x x -=≥． ·················· 4分（Ⅱ）①若存在．据题意，直线l 的斜率存在且不等于0，设为k （k ≠0），则l 的方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得2222(3)4430k x k x k --++=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，∴22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >． ·················· 5分由||||HP HQ =知，△HPQ 是等腰三角形，设PQ 的中点为00(,)K x y ，则HK PQ ⊥，即1HK PQ k k ⋅=-． ············· 6分而21202223x x k x k +==-，0026(2)3k y k x k =-=-，即22226(,)33k kK k k --． ∴222643123kk k k k +-⋅=--，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-，因23k >，故3k =-．故存在直线l ，使||||HP HQ =成立，此时l 的方程为36y x =-+． ····· 8分②∵1,2a c ==，∴直线12x =是双曲线的右准线，由双曲线定义得：11||||||2PA PM PM e ==，1||||2QB QM =，∴11||||(||||)||22PM QM PM QM PQ +=+=． ········· 9分方法一：当直线l的斜率存在时，∴21||2||PQ AB ==λ21===23k >，∴21103k <<，∴12<<λ. ····· 11分 当直线l 的斜率不存在时，||||PQ AB =，12λ=，综上1[2λ∈. ····· 12分 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有两个交点，∴233<<ππθ，过Q 作QC PA ⊥，垂足为C ，则||2PQC ∠=-πθ，∴||||2||2||PQ PQ AB CQ ==λ112sin 2cos()2==-πθθ，由233<<ππθ，得sin 1<≤θ，∴1[2λ∈． ··························· 12分22．（Ⅰ）解：11a =，2211113222a a a c c =-+=-=，∴2c =． ······ 2分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知21122n n n a a a +=-+， ∴2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=．∵a 1=1，故11n n a a +≤<． ······················· 4分 下面采用数学归纳法证明2n a <．当n =1时，a 1=1<2，结论成立． ···················· 5分 假设n =k 时，结论成立，即2k a <，则n =k +1时，2113(1)22k k a a +=-+，而函数213(1)22y x =-+在[1,)x ∈+∞上单调递增，由12k a ≤<， ∴2113(21)222k a +<-+=，即当n =k +1时结论也成立． ·········· 7分 综上可知：112n n a a +≤<<． ····················· 8分 （Ⅲ）解：由2112n n n a a a c +=-+，有11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，∴ 11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，∴111122n n n a a a +=---． ········ 10分 故1111111111111()22222n n n k k k n n n n a a a a a a a +==+++-=-=-=-----∑∑， 则1114039n n k k a a +=-∑2111111404139(53)(813)39(2)39(2)n n n n n n a a a a a a ++++++--+-==--． ······· 12分由11a =，232a =，求得3138a =． 当n =1时，2114039a a <；当n =2时，312114039a a a +=；当n ≥3时，由（Ⅱ）知311328n a a +=<<，有1114039n n k k a a +=>∑． ···························· 14分。

2017年四川省资阳市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1} 2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．124．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A．B．C．2 D．36．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log277．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．169．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为吨．x30405060y2530404515．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈，lg3≈）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2①求证：k1•k2为定值；②求△CEF的面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=…）请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O 为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．2017年四川省资阳市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}=（﹣1，3），∵B={x|x﹣1≥0}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．12【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于 a 的等式解之即可．【解答】解：由题意|m|＜2的概率为，则=，解得a=6；故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，所以几何体的体积为2×2×2+=8+故选C．【点评】本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A．B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则b=，c==2a，故双曲线的离心率e==2；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log27【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中f（x）=，将x=3代入可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）=f（1）=f（0）=log28=3，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=2，i=0，m=48，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，…∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，∴共要循环9次，故i=9．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（m，n）的值是解题的关键．8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．16【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性可得ω•+=kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．【解答】解：根据函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，可得ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=12k+4，故ω的最小值为4，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c【考点】不等式比较大小；不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c x，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=x c，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c x，由于0＜c＜1，则函数y=c x是减函数，又由a＞b＞1，则有c a＞c b，故A错误；对于B、构造函数y=x c，由于0＜c＜1，则函数y=x c是增函数，又由a＞b＞1，则有a c＞b c，故B错误；对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a ﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；对于D、log a c﹣log b c=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有log a c﹣log b c=﹣=lgc（）＞0，即有log a c＞log b c，故D正确；故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+【考点】抛物线的简单性质．【分析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周长的最小值为11，故选B．【点评】考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A 三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x﹣y范围．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，设P（m，n）则=（m，n），=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）若，∴（m，n）=（2x﹣y，y）∴m=2x﹣y，n=y∵P在圆内或圆上∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，x∈[，]，则，解得2≤t≤3+，故4x﹣y的最大值为3+，故选：B【点评】本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z（1+i）=2，∴，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为吨．x30405060y25304045【考点】线性回归方程．【分析】求出x，y的平均数，代入y关于x的线性回归方程，求出a，把x=80代入，能求出当产量为80吨时，预计需要生成的能耗．【解答】解：由题意，=45，=35，代入=+a，可得a=，∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为×80+=，故答案为：．【点评】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a范围．对于命题q：当时，利用基本不等式的性质可得：x+≥2，根据恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．【解答】解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a＞1．对于命题q：当时，x+≥2，当且仅当x=1时取等号．由当时，恒成立，∴a＜2．如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈，lg3≈）【考点】数列的应用．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A n=，B n=，由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈．∴估计日蒲、莞长度相等，故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•资阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）求出，即可求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化简得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）（Ⅱ）因为，所以bc=2．（8分）根据余弦定理得，（10分）即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．（12分）【点评】本题考查三角函数知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2017•资阳模拟）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．（II）根据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名女生的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由（++++x）×10=1，解得x=．（4分）（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100××10=6人，其中女生2人，男生4人．设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个，至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9个．所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为．（12分）【点评】本题考查分层抽样，以及古典概型的概率公式，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC 是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC1，交A1C于点F，由三角形中位线定理可得BC1∥DF，再由线面平行的判定可得BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥A1﹣CDE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D为AB的中点，∴BC1∥DF，又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）解：三棱锥A1﹣CDE的体积．其中三棱锥A1﹣CDE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知．又．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2①求证：k1•k2为定值；②求△CEF的面积的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题知b=1，由，b=1，联立解出即可得出．（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），利用斜率计算公式即可得出．证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出．②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得，可得△CEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题知b=1，由，所以a2=2，b2=1．故椭圆的方程为．（3分）（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），所以．（6分）证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，由得，解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，所以．（6分）②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得，而，所以，△CEF的面积==．（8分）由得，=，当且仅当取得等号，则S△CEF所以△CEF的面积的最小值为．（12分）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、项斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=…）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的最大值，证明结论即可；（Ⅱ）问题转化为证明，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则，令f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故当x=1时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（1）=0，所以，f（x）≤0，得证．（4分）（II）原题即对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使成立，只需．设，则，令u（t）=t﹣1﹣lnt，则对于t≥e恒成立，所以u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即对于t≥e恒成立，所以为[e，+∞）上的增函数，则．（8分）令p（x）=﹣f（x）﹣a，则p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，当a≥0时，p（x）=﹣lnx﹣ax为（0，+∞）的减函数，且其值域为R，符合题意．当a＜0时，，由p'（x）=0得，由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数；由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数，所以，从而由，解得．综上所述，a的取值范围是．（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•资阳模拟）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O 为坐标原点）．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由消去θ化为普通方程，由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；（Ⅱ）由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）由得则曲线C1的普通方程为（x+1）2+y2=1．又由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y．把两式作差得，y=﹣x，代入x2+y2=2y，可得交点坐标为为（0，0），（﹣1，1）．（Ⅱ）由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时，直线AB的方程为x﹣y+1=0，则O到AB的距离为，所以△OAB的面积为．（10分）【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论，解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）利用分析法证明不等式．【解答】（Ⅰ）解：原不等式即为|x+9|≥10﹣|x+1|．当x＜﹣9时，则﹣x﹣9≥10+x+1，解得x≤﹣10；当﹣9≤x≤﹣1时，则x+9≥10+x+1，此时不成立；当x＞﹣1时，则x+9≥10﹣x﹣1，解得x≥0．所以原不等式的解集为{x|x≤﹣10或x≥0}．（Ⅱ）证明：要证，即，只需证明．则有====．因为|x|2＞1，|y|2＜1，则=，所以，原不等式得证．（10分）【点评】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．。