第三讲 等差数列及前n项和(学生版)
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第二讲 数列的概念及简单表示一、数列概念1．写出下列数列的一个通项公式（1） ,945,734,523,3122222----（2） ,924,715,58,1--（3）5,55,555,5555,…（4） 0,71,0,51,0,31,0,1--2．已知数列1，－1，1，－1，…，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是（ ）A ．1)1(--=n n aB ．2)12(sinπ-=n a n C ．⎩⎨⎧-=)(1)(1为偶数为奇数n n a n D ．n n a )1(-=3．已知数列{a n }中，53111),2()1(,1a a N n n a a a a n n n n 则*--∈≥-+==的值是（ ）A ．1615 B ．815 C ．83D ．43 4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些 数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称 图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既 是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 3785．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.6．在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a =二、数列的函数特征1、已知数列{}n a 的通项公式为nn a n 1+=，则此数列是（ ） A 、递增数列 B 、递减数列 C 、摆动数列 D 、常数数列2.已知（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列命题：①已知数列{a n }中，a n ＝1n n ＋2 (n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第一项．②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1.③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29.④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列． 其中正确命题的个数为( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4.已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = 。
5.已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，则实数λ的最小值是________． 6、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为____________. 7．已知数列{a n }满足a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .(1)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：a n ≥12对一切正整数恒成立．8.已知数列的通项nn n a )1110)(1(+=*n N ∈。
试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由.第三讲 等差数列及其前n 项和一、等差数列的概念及通项公式1.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42.在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++＝3.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于4.设{}lg n a 成等差数列，公差lg3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为 ________5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n*∈均在函数y ＝3x －2的图像上,求数列{}n a 的通项公式。
二、等差数列的性质1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++= （ ）A 、14B 、21C 、28D 、35 2.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则 91113a a -的值为 ( ) A 、14 B 、15C 、16D 、173.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=4.设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=________。
5.设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足56150S S +=。
（Ⅰ）若55S =，求6S 及1a ； （Ⅱ）求d 的取值范围。
三、判定或证明等差数列1.若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的序号是_____________① {3}n a + ②2{}n a ③1{}n n a a +- ④{2}n a ⑤{2}n a n +2.数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式3.各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证:数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列;四、等差数列的前n 项和公式1.若数列{a n }为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为（ ） （A ）60 （B ）85 （C ）2145（D ）其它值2.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．53.设n S 是公差为d （d≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 4.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =____;n S =____. 5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。
6.在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值， 则n = .7.在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大 值，并求出它的最大值.五、等差数列的前n 项和性质1.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.设{}n a 是等差数列，n S 是其不前n 项和，且56678,,S S S S S <=>则下列结论错误的是（ ）A 、0d <B 、70a =C 、95S S >D 、6S 和7S 均为n S 的最大值. 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3B.4C.5D.64.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =A.38B.20C.10D.95．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 。
6. 在等差数列{a n }中，S 4=6,S 8=20,则S 16=7.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列｛nS n｝的前n 项和，则n T =．8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = 9.在等差数列{}n a 中，设n S 为它的前n 项和，若15160,0,S S ><且公差d=－2， （Ⅰ）求1a 的取值范围； （Ⅱ）指出15121215,,,S S S a a a 中哪个值最大，并说明理由．10. 已知数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+（*n N ∈），它的前n 项和为n S ，且36a =-，630S =-。
求数列{||}n a 的前n 项和n T .11.将数列}{n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：记表中的第一列数1a ，2a ，4a ，7a ，⋯，构成的数列为}{n b ，111==a b ，n S 为数列}{n b 的前n 项和，且满足)2(122≥=-n S S b b n n n n.求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1成等差数列，并求数列}{n b 的通项公式；a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10......。
