双曲线的简单几何性质(教学教案设计).doc

双曲线的简单几何性质山丹一中周相年教学目标:(1 知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 .(2能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 .(3 情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 .教学难点:双曲线的渐近线 .教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程:一、复习回顾,问题引入:问题 1:双曲线的定义及其标准方程?问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究?二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(12222>>=-b a by a x 研究它的几何性质 1. 范围:双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 .2. 对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称中心叫双曲线中心 .3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0,它们叫做双曲线的顶点 .(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练:1. 若点 P (2, 4在双曲线上,下列是双曲线上的点有(1 P (-2, 4 (2 P (-4, 2 (3 P(-2, -4 (4 P (2, -42. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 :4. 渐近线(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a by a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-by a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x (3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 . 具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .5. 离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=ac ,叫双曲线的离心率 .(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大 . 思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗? 三、学以致用,巩固双基:例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .练习 1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .思考 1:请你写出一个以为渐近线的双曲线方程 .思考 2:你能写出所有以为渐近线的双曲线方程吗 ?练习 2 求渐近线为 x y 34±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程 .四、小结反思,总结提高:1. 双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离心率,渐进线2. 比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同五、作业布置 :必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12x y 34±=x y 34±=六、教学反思渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对较低,不要求严格证明,为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多媒体展示,帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。

双曲线的简单几何性质在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学.一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质.（二）教学重点与难点的确定及依据对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点.教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.解决办法：1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣；2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力.教学难点:双曲线渐近线概念与性质.解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明.二、学情分析与学法指导学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.学法指导:根据本书的教学内容及教学目标，以及学生的认识规律，这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生自己进行探究,性质类比，找出相同点与不同点，得到类似的结论.在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力.渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法的接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性.例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力.三、教学目标分析平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质.教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤.根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标.(一)知识与技能：通过类比探究，掌握双曲线的几何性质，进一步完善对双曲线的认知结构，提高猜想能力，合情推理能力，培养发现问题、提出问题的意识和数学交流能力.①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明，能a,b运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.③使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解.(二)过程与方法：通过对问题的类比探究活动，让学生类比已知的知识，通过观察、推导、形成新知识，进一步理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法，领悟其中所蕴涵的数学思想.(三)情感态度与价值观：通过类比探究体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情，逐步培养正确的数学观、创新意识和科学精神.四、教学方法与教学手段（一）教学方法1.以类比思维作为教学的主线.2.以自主探究作为学生的学习方式.我采用类比、联想、启发、引导、数形结合以及探索式相结合的教学和由方程研究性质的思想方法.利用“几何画板”课件演示双曲线的几何图形，让学生边观察，边类比，边比较，总结双曲线的五个性质，并将其几何性质与椭圆的性质类比，找出相同点与不同点.在解决相关问题时，作出草图能帮助学生提高解决问题的准确性.（二）教学手段本节课使用多媒体，借助“几何画板”利用描点法较为精确地画出双曲线，便于学生观察几何性质，使观察出的结论让学生信服.动画演示、动手实验，“几何画板”有效运用,多媒体课件.五、教学程序设计设计思路：复习椭圆的几何性质 类比 双曲线的几何性质特有的几何性质（从特殊到一般的规律探索） 双曲线的渐近线的发现及证明 加强应用 深化知识、巩固提高 教学过程：（一）情境设置1.椭圆的简单几何性质有哪些 ？研究方法是什么？ （范围、对称性、顶点、离心率）研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质.2.你能说出椭圆12222=+by a x 的几何性质吗？（学生回答）教师用投影显示右表.3.双曲线是否具有类似的性质? 由此引出课题. （二）探索研究1.让学生探讨双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率．学生：自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论（“几何画板”演示探究与大家交流）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善. 并将性质列表如下：（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）． 2.渐近线的发现与论证: 我们能较为准确地画xy 1=出曲线 ，这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与 x 轴、 y 轴无限接近）此时，x 轴、 y 轴叫做曲线的渐近线．问：双曲线12222=-by a x 有没有渐近线呢？如果有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线范围时，由双曲线标准方程可解出：22221x a x a b a x a b y -±=-±=.当无限增大时， 22xa 就无限趋近于零，也就是说，这时双曲线221x a x ab y -±=与直线 x aby ±=无限接近．（引导学生分析、猜想） 这使我们有理由猜想直线x aby ±=为双曲线的渐近线．直线 恰好是过实轴端点1A 、2A ，虚轴端点1B 、2B ，作平行于坐标轴的直线a x ±=，b y ±=，所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点的沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法，教师可给予适当提示，寻找不同证明方法（“几何画板”演示推理过程）实际证法：如图，设N 为渐近线上与 ),(00y x M 有相同横坐标的点，于是0x aby N =..点M 沿曲线向远处运动，0x 随着增大，MP 逐渐减小，于是MN 也逐渐减小．解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题，从而可较准确地画出双曲线，比如画191622=-y x ，先作双曲线矩形，画出其渐近线，就可随手画出比较精确的双曲线． 3.离心率的几何意义：问：椭圆的离心率反映椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率有何几何意义呢？ 由ac e =,222,1,b a c e a c =->∴>由等式 ， 可得1122222-=-=-=e ac a a c a b . e 越小（接近于1）ab⇔ 越接近于 ⇔0双曲线开口越小（扁狭）. e 越大 ab⇔越大（即渐近线的斜率的绝对值就大）⇔双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.4.说出双曲线12222=-bx a y 的几何性质.（幻灯片演示）（三）讲解范例例1.求双曲线9x 2－16y 2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.变式：求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、顶点和焦点坐标、渐近线方程、离心率.例2．双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图），它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25m ，高55 m ，选择Ox yAA ' C C ' BB '适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1 m ）.解：如图，建立坐标系xOy ，使小圆的直径AA '在x 轴上，圆心与原点重合；这时，上、下口的直径,CC BB ''平行于x 轴，且||132()CC m '=⨯，||252()BB m '=⨯；设曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>.令点C 的坐标为(13,)y ，则点B 的坐标为(25,55)y -，因为点,B C 在双曲线上，所以2222222225(55)1(1)12131(2)12y b y b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，， 化简，得219275181500b b +-=,解得25(m)b ≈. ∴所求双曲线的方程为221144625x y -=. （四）随堂练习 基础练习：1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, 焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.1916).2(,154).1(2222=-=-x y y x .2.求顶点在x 轴上,两顶点间的距离为8,离心率e =45的双曲线的标准方程. 3.双曲线实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点坐标为 (0, 2), 则双曲线的标准方程为 .4.双曲线的一条渐近线方程为x y 21-=, 且过点 P (3,21-),则它的标准方程是 . 历年高考：1.（20XX 年高考题）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为 x y 21±=，则该双曲线的离心率是 .2.（20XX 年高考题）若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点是 )0,10(, 则双曲线的方程是 . （五）总结提炼（1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质；（2）双曲线的几何性质总结(学生填表归纳).双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：椭圆双曲线方程、 、 的关系图形范围对称性对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点顶点、、长轴长，短轴长、实轴长虚轴长离心率有两条，其方程为渐近线无（六）布置作业课本P.61习题.3，4，巩固并掌握课上所学的知识.。

2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）一. 教学任务分析1. 学生已有的主要知识结构学生已经经历了根据标准椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程.2.建立新的知识结构类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程通过学生自我思考，得出结论，同学交流回答展示，得出与椭圆相近的几何性质.通过多媒体展示渐近线的发现与论证过程.3. 在整个过程中教师的作用：启发诱导，点拨释疑，补充完善.二. 教学目标1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质.2.了解双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e的关系及其几何意义.3.通过启发诱导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比，分析，归纳，猜想，概括，讨论等逻辑思维能力.三. 教学重点、难点重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间相互依存关系，特别是双曲线的渐近线的性质.难点：有关离心率，渐近线的问题.四. 教学方法启发诱导、类比探究五. 教学手段多媒体六. 教学情境设计教学程序设计意图［情境设置］提问：（1）双曲线的定义（2）双曲线的标准方程（3）前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质［探索研究］1.类比椭圆22221x ya b+=,（a>b>0）的几何性质，借助22221x ya b-=,（a>0,b>0）图象探讨双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；程序是：学生：自主思考→得出结论→小组讨论→回答所得结论（与大家讨论）教师：启发诱导→点拨释疑→补充完善回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决.通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题解决问题的能力.，2. 渐近线的发现与论证：思考：双曲线22194x y -= ① 在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线032x y-=的距离d 有什么关系？ （学生回答） ② d 能否为0？若d =0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M (x 0,y 0) 则00032x y -=，又22000000()()01943232x y x y x y -=+-=≠∴点M 不在双曲线上， ∴d ≠0 .归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线.（引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系） 结论：①双曲线22221x y a b -=，（a >0,b >0）的渐近线方程为0x y a b±= ②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线.3. 离心率的几何意义通过几何画板的演示，让学生直观感受离心率对双曲线开口大小的影响.通过几何画板的演示，让学生直观感受，以完善对双曲线渐近线的正确认识.思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？（（学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格）e>1e 越大双曲线张口越大·221(0,0)22x y a b a b-=>>双曲线图形yo F 1F 2··x 范围x ≥a 或x ≤-a对称性关于x 轴、y 轴、原点对称顶点（±a ，0）离心率ce a=渐近线x y a b±=双曲线与渐近线无限接近但永不相交221(0,0)22y x a b a b-=>>双曲线（引导学生找出焦点在x 轴和焦点在y 轴上的双曲线的几何性质的异同.以帮助学生准确记忆.）4. 例题：⑴求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.(2)求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、渐近线方程. 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识.培养学生类比归纳，独立思考的能力，巩固双曲线的几何性质.4.巩固练习：6．总结提练1. 通过类比椭圆学习了双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，并且感悟双曲线与渐近线的关系；2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法.3. 渗透了类比、数形结合等重要的数学思想.7．布置作业：1.课本P543,42. 求一个渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点为(4,0)的双曲线方程.3．求以椭圆22185x y+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程.学生自主归纳完成，进一步明确本节课所学内容及体现的思想方法。

一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。

（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。

（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。

（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。

3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。

4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。

（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。

（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。

（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。

（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。

（2）练习双曲线的性质分析。

二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。

4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。

（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。

（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。

（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。

5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。

（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。

三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。

（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。

2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。