§５ 无穷小量与无穷大量引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞=. 我们称之为无穷小数列．通过前面几节对函数极限的学习．我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形．例如：limsin 0,x x →= 20lim 0,x x →=我们给这类函数一个名称——“无穷小量”．既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量．一、无穷小量1．定义１：设f 在某00()U x 内有定义．若0lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量．记作：0()0(1)()f x x x =→.（类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x +-→→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）．例：(1,2,),sin ,1cos k x k x x =- 都是当0x →时的无穷小量；1x -→时的无穷小量；21sin ,x x x是x →∞时的无穷小量． 2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某00()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作：0()(1)()g x O x x =→.例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1sin x是当0x →时的有界量，即1sin (1)(0)O x x=→.注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”．一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤．这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界． （２）性质性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量． 性质２ 无穷小量与有界是的乘积为无穷小量．性质３ 0lim ()()x x f x A f x A →=⇔-是当0x x →时的无穷小量⇔0lim(())0x x f x A →-=.例如；21lim sin0x x x→=，2300lim()0,lim sin 0x x x x x x →→±==.问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：22222200000sin 2lim 0,lim ?,lim 1,lim 1,lim 2x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→=====. 引申：同为无穷小量，20lim0x x x→=，而20lim x x x →不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的．这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢．就上述例子而言，这个“级别”的标志是x 的“指数”，当0x →时，x 的指数越大，它接近于０的速度越快．这样看来，当0x →时，2x 的收敛速度快于x 的收敛速度．所以其变化结果以2x 为主．此时称2x 是（当0x →时）x 的高阶无穷小量，或称0x →时， x 是2x 的低阶无穷小量．一般地，有下面定义：１． 无穷小量阶的比较（主要对0x x →叙述，对其它类似） 设当0x x →时，,f g 均为无穷小量． （１）若0()lim0()x x f x g x →=，则称0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的低阶无穷小量，记作0()0(())()f x g x x x =→. 即0()0(())()f x g x x x =→⇔0()lim0()x x f x g x →=. 例 10l i m 0k k x x x+→=⇒10()(0)k k x x x+=→，001cos limlim tan 01cos 0(sin )(0)sin 2x x x xx x x x →→-==⇔-=→.问题 2111limlim(1)01x x x x x →→-=-=+，此时是可说210(1)(1)x x x -=+→？ 引申 与上述记法：0()0(())()f x g x x x =→相对应有如下记法：0()(())()f x O g x x x =→，这是什么意思？含义如下：若无穷小量f 与g 满足关系式00(),()()f x L x U xg x ≤∈，则记作0()(())()f x O g x x x =→. 例如，（１）21cos ()(0)x O x x -=→，(2sin )()(0)2x x O x x +=→.（２）若00()0(())()()(())()f x g x x x f x O g x x x =→⇒=→.注 等式0()0(())()f x g x x x =→，0()(())()f x O g x x x =→等与通常等式的含义不同的．这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“∈”．例如：1cos 0(sin )(0)x x x -=→，其中0()0(sin )|lim 0()x f x x f g x →⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，而上述等式表示函数1cos x -∈0()|lim 0()x f x f g x →⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．为方便起见，记作1cos 0(sin ).x x -=（２）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某00()U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量． 但需要注意：0()lim()x f x g x →不存在，并不意味着f 与g 不全为同阶无穷小量．如001lim lim (2sin )0x x x x x →→=+=，001(2sin )1limlim(2sin )x x x x x x→→+=+不存在．但1(2sin )13x x x +≤≤，所以x 与1(2sin )x x+为当0x →时的同阶无穷小量．由上述记号可知：若f 与g 是当0x x →时的同阶无穷小量，则一定有：0()(())()f x O g x x x =→． （３）若0()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 是当0x x →时的等价无穷小量，记作0()()()f x g x x x → . 例如：１）0sin lim 1sin (0)x x x x x x →=⇒→ ; ２）2202(1cos )lim 11cos (0)2x x x x x x →-=⇒-→ . 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”．定理 设函数f 、g 、h 在00()U x 内有定义，且有0()()()f x g x x x → . (1) 若lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；(2) 若0()lim,()x x h x B f x →=，则0()lim .()x x h x B g x →=例１． 求0limsin 4x x arctgxx→.例２． 求极限03sin lim sin x x tgx xx→-. 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代． ３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质．无穷小量比较．两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如021lim sinlim 0x x x x x x x →→==. 二、无穷大量１．问题 “无穷小量是以０为极限的函数”．能否仿此说“无穷大量是以∞为极限的函数”．答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数()f x 当0x x →时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“∞”不具有这种属性，它仅仅是一个记号．所以不能简单地讲“无穷大量是以∞为极限的函数”．但是，确实存在着这样的函数，当0x x →时，()f x 与()or ∞+∞-∞无限接近．例如：１）1()f x x =，当0x →时，1x 与∞越来越接近，而且只要x 与０充分接近，1x 就会无限增大；２）1()1f x x =-，当1x →时，也具有上述特性．在分析中把这类函数()f x 称为当0x x →时有非正常极限∞．其精确定义如下： ２．非正常极限定义２（非正常极限） 设函数()f x 在某00()U x 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0δ>，当0000(;)(())x U x U x δ∈⊂时有|()|f x M >，则称函数()f x 当0x x →时有非正常极限∞，记作0lim ()x x f x →=∞．注：１）若“|()|f x M >”换成“()f x M >”，则称()f x 当0x x →时有非正常极限+∞；若换成(),f x M <- 则称()f x 当0x x →时有非正常极限-∞，分别记作0lim (),lim ()x x x x f x f x →→=+∞=-∞.2) 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列{}n a 当n →∞时的非正常极限的定义，都可类似地给出．例如：lim ()0x f x M →+∞=-∞⇔∀>，当x M >时，()f x M <-;lim 0n n a M →∞=+∞⇔∀>，0N ∃>，当n N >时，n a M >.３．无穷大量的定义定义３．对于自变量x 的某种趋向（或n →∞），所有以,or ∞+∞-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量．例如：21x当0x →时是无穷大量；(1)xa a >当x →+∞时是无穷大量． 注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若f 为0x x →时的无穷大量，则易见f 为00()U x 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量．例如；()sin f x x x =在()U +∞上无界，但lim ()x f x →+∞≠∞;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念． ４．利用非正常极限定义验证极限等式 例３ 证明21limx x →=+∞.例４ 证明；当1a >时，lim xx a →+∞=+∞．三、无穷小量与无穷大量的关系定理 （１）设f 在00()U x 内有定义且不等于０，若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为0x x →时的无穷大量；（２）若g 为0x x →时的无穷大量，则1g为0x x →时的无穷小量． 四、曲线的渐近线1. 引言作为函数极限的一个应用．我们讨论曲线的渐近线问题．由平面解析几何知：双曲线22221x y a b-=有两条渐近线0x ya b±=．那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ ２．曲线的渐近线定义定义４ 若曲线Ｃ上的动点p 沿着曲线无限地远离原点时，点p 与某实直线Ｌ的距离趋于零，则称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线．形如y kx b =+的渐近线称为曲线Ｃ的斜渐近线；形如0x x =的渐近线称为曲线Ｃ的垂直渐近线． ３． 曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？ （１）斜渐近线假设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，曲线上动点p 到渐近线的距离为|||cos ||()()|PN PM f x kx b α==-+依渐近线定义，当x →+∞时（x →-∞或x →∞类似），||0PN →，即有lim [()()]0lim [()]x x f x kx b f x kx b →+∞→+∞-+=⇔-=，——③又由()1()lim []lim [()]00lim x x x f x f x k f x kx k k x x x→+∞→+∞→+∞-=-=⋅=⇒=.——④由上面的讨论知，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则常数k 与b 可相继由④和③式求出；反之，若由④和③求得k 与b ，则可知||0PN →（x →∞），从而y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．（２）垂直渐近线若函数f 满足0lim ()(lim (),lim ()x x x x x x f x or f x f x +-→→→=∞=∞=∞），则按渐近线定义可知()y f x =有垂直于x 轴的渐近线0x x =，称为垂直渐近线．例５ 求曲线32()23x f x x x =+-的渐近线．作业：P68 2.(2)，4（3），5（3）（4）。
等价无穷小在求极限中的应用摘要：在数学分析中，极限的计算占据着重要的地位，合理的应用等价无穷小的代换，在某些极限运算中可以使计算更加简便。
本文主要对无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小及误区进行介绍，并总结代换定理加以证明。
关键词：极限等价无穷小代换引言：利用等价无穷小的代换求极限，在求函数极限中是一种比较重要的方法，也是数学分析学习中重要的知识点，而在函数极限运算过程中趋近方式有多种，计算方法比较类似，本文主要对的情况进行介绍，那么了解什么是极限、什么是无穷小和什么是等价无穷小就非常重要了，接下来我们就对极限、无穷小和等价无穷小进行介绍。
、极限：设在某个空心邻域内的函数，现在讨论当时。
对应的函数值能否趋于某个定数 .这类函数极限的精准定义如下:设在某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的 ,存在正数使得当时有 ,则称函数当时的极限为记作:或者、无穷小：设在某个空心邻域上有定义，若则称为当时的无穷小、等价无穷小:设当时与均为无穷小量，若，则称与是当时的等价无穷小记作：、常用的等价无穷小当时以下常用无穷小相互等价、、一、无穷小代换中的四则运算1.1乘法运算定理1设函数在上有定义且，若证明：1.2除法运算定理2设函数在上有定义若则二、特殊等价无穷小当时接下来我们对进行证明证明：利用公式求解，因为所以因为 ,所以证明利用公式求解,因为所以又因为，所以结束语这篇文章我主要对等价无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小代换以及误区进行了介绍，并总结了代换定理，等价无穷小的代换在我们的极限运算过程中比较重要合理利用使我们的计算更加简便，但是并不是所有的极限计算都能利用等价无穷小代换，比如加减法的运算过程有时候就不能直接运用等价无穷小的代换，而且是一个非常容易出错的地方，所以在运用等价无穷小代换的时候一定要看该题是否满足等价无穷小代换定理。
参考文献[1]同济大学应用数学系高等数学上[M].5版.北京.高等教育出版社.2000[2]华东师范大学数学系.数学分析上[M].2版.北京.高等教育出版社.1991[3]唐加冕.等价无穷小代换在求极限中的应用[J].赤峰学院学报.2010.2。
